[80分] 解答題標(biāo)準(zhǔn)練(一) 1．如圖，在△ABC中，已知B＝，AC＝4，D為BC邊上一點． (1)若AD＝2，S△DAC＝2，求DC的長； (2)若AB＝AD，試求△ADC的周長的最大值． 解　(1)∵S△DAC＝2， ∴ADACsin∠DAC＝2， ∴sin∠DAC＝. ∵∠DAC<∠BAC<π－＝， ∴∠DAC＝. 在△ADC中，由余弦定理得， DC2＝AD2＋AC2－2ADACcos ， ∴DC2＝4＋48－224＝28， ∴DC＝2. (2)∵AB＝AD，B＝， ∴△ABD為正三角形． 在△ADC中，根據(jù)正弦定理，可得 ＝＝， ∴AD＝8sin C，DC＝8sin， ∴△ADC的周長為 AD＋DC＋AC ＝8sin C＋8sin＋4 ＝8＋4 ＝8＋4 ＝8sin＋4， ∵∠ADC＝，∴0<C<， ∴<C＋<， ∴當(dāng)C＋＝， 即C＝時，△ADC的周長取得最大值，且最大值為8＋4. 2．(2018鄭州模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，其前n項和為Sn，若a2＋a8＝22，且a4，a7，a12成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若Tn＝＋＋…＋，證明：Tn<. (1)解　∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a2＋a8＝22， ∴a5＝(a2＋a8)＝11. ∵a4，a7，a12成等比數(shù)列， ∴a＝a4a12， 即(11＋2d)2＝(11－d)(11＋7d)， 又d≠0， ∴d＝2， ∴a1＝11－42＝3， ∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1(n∈N*)． (2)證明　由(1)得，Sn＝＝n(n＋2)， ∴＝＝， ∴Tn＝＋＋…＋ ＝ ＝ ＝－<. ∴Tn<. 3．(2018廈門質(zhì)檢)如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝，BC＝2AD＝2，E為CD的中點，PB⊥AE. (1)證明：平面PBD⊥平面ABCD； (2)若PB＝PD，PC與平面ABCD所成的角為，求二面角B－PD－C的余弦值． (1)證明　由ABCD是直角梯形， AB＝，BC＝2AD＝2，可得DC＝2，BD＝2， 從而△BCD是等邊三角形， ∠BCD＝，BD平分∠ADC， ∵E為CD的中點，DE＝AD＝1， ∴BD⊥AE. 又∵PB⊥AE，PB∩BD＝B， 又PB，BD?平面PBD， ∴AE⊥平面PBD. ∵AE?平面ABCD， ∴平面PBD⊥平面ABCD. (2)解　方法一　作PO⊥BD于點O，連接OC， ∵平面PBD⊥平面ABCD， 平面PBD∩平面ABCD＝BD， PO?平面PBD， ∴PO⊥平面ABCD， ∴∠PCO為PC與平面ABCD所成的角，∠PCO＝， 又∵PB＝PD， ∴O為BD的中點，OC⊥BD，OP＝OC＝， 以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)B，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，P(0,0，)， ＝(0，，－)，＝(－1,0，－)． 設(shè)平面PCD的一個法向量為n＝(x，y，z)， 由得 令z＝1，則x＝－，y＝1，得n＝(－，1,1)． 又平面PBD的一個法向量為m＝(0,1,0)， 設(shè)二面角B－PD－C的平面角為θ， 則|cos θ|＝＝＝， 由圖可知θ為銳角， ∴所求二面角B－PD－C的余弦值是. 方法二　作PO⊥BD于點O，連接OC， ∵平面PBD⊥平面ABCD， 平面PBD∩平面ABCD＝BD， PO?平面PBD， ∴PO⊥平面ABCD， ∴∠PCO為PC與平面ABCD所成的角，∠PCO＝， 又∵PB＝PD， ∴O為BD的中點，OC⊥BD，OP＝OC＝， 作OH⊥PD于點H，連接CH， 則PD⊥平面CHO， 又HC?平面CHO，則PD⊥HC， 則∠CHO為所求二面角B－PD－C的平面角． 由OP＝，得OH＝， ∴CH＝， ∴cos∠CHO＝＝＝. 4．(2018益陽模擬)某大型水果超市每天以10元/千克的價格從水果基地購進(jìn)若干A水果，然后以15元/千克的價格出售，若有剩余，則將剩余的水果以8元/千克的價格退回水果基地，為了確定進(jìn)貨數(shù)量，該超市記錄了A水果最近50天的日需求量(單位：千克)，整理得下表： 日需求量 140 150 160 170 180 190 200 頻數(shù) 5 10 8 8 7 7 5 以50天記錄的各日需求量的頻率代替各日需求量的概率． (1)若該超市一天購進(jìn)A水果150千克，記超市當(dāng)天A水果獲得的利潤為X(單位：元)，求X的分布列及期望； (2)若該超市計劃一天購進(jìn)A水果150千克或160千克，請以當(dāng)天A水果獲得的利潤的期望值為決策依據(jù)，在150千克與160千克之中任選其一，應(yīng)選哪一個？若受市場影響，剩余的水果以7元/千克的價格退回水果基地，又該選哪一個？ 解　(1)若A水果日需求量為140千克， 則X＝140(15－10)－(150－140)(10－8) ＝680(元)， 且P(X＝680)＝＝0.1. 若A水果日需求量不小于150千克， 則X＝150(15－10)＝750(元)， 且P(X＝750)＝1－0.1＝0.9. 故X的分布列為 X 680 750 P 0.1 0.9 E(X)＝6800.1＋7500.9＝743. (2)設(shè)該超市一天購進(jìn)A水果160千克， 當(dāng)天的利潤為Y(單位：元)， 則Y的可能取值為 1405－202,1505－102,1605， 即660,730,800， 則Y的分布列為 Y 660 730 800 P 0.1 0.2 0.7 E(Y)＝6600.1＋7300.2＋8000.7＝772. 因為772>743，所以該超市應(yīng)購進(jìn)160千克A水果． 若剩余的水果以7元/千克的價格退回水果基地， 同理可得X，Y的分布列分別為 X 670 750 P 0.1 0.9 Y 640 720 800 P 0.1 0.2 0.7 因為6700.1＋7500.9<6400.1＋7200.2＋8000.7， 所以該超市還是應(yīng)購進(jìn)160千克A水果． 5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)過點，離心率為. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過點K(2,0)作一直線與橢圓C交于A，B兩點，過A，B兩點作直線l：x＝的垂線，垂足分別為A1，B1，試問直線AB1與A1B的交點是否為定點，若是，求出定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由． 解　(1)由題意得? 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. (2)①當(dāng)直線AB的斜率不存在時，直線l：x＝， AB1與A1B的交點是. ②當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直線AB為y＝k(x－2)， 由 得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝， A1，B1， 所以：y＝＋y2， ：y＝＋y1， 聯(lián)立解得x＝＝ ＝＝， 代入上式可得y＝＋y2 ＝ ＝＝0. 綜上，直線AB1與A1B過定點. 6．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)(a∈R)． (1)當(dāng)a＝1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)≥0對任意x∈[1，＋∞)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍； (3)當(dāng)θ∈時，試比較ln(tan θ)與tan的大小，并說明理由． 解　(1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝(x＋1)ln x－(x－1)， f′(x)＝ln x＋， 設(shè)g(x)＝ln x＋(x>0)，則g′(x)＝， 當(dāng)x∈(0,1)時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減， 當(dāng)x∈(1，＋∞)時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增， g(x)min＝g(1)＝1>0， ∴f′(x)>0.故f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 無單調(diào)遞減區(qū)間． (2)f′(x)＝ln x＋＋1－a＝g(x)＋1－a， 由(1)可知g(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增， 則g(x)≥g(1)＝1， 即f′(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，且f′(1)＝2－a， ①當(dāng)a≤2時，f′(x)≥0， f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴f(x)≥f(1)＝0滿足條件； ②當(dāng)a>2時，設(shè)h(x)＝ln x＋＋1－a(x≥1)， 則h′(x)＝－＝≥0(x≥1)， ∴h(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增， 且h(1)＝2－a<0，h(ea)＝1＋e－a>0， ∴?x0∈[1，ea]，使得h(x0)＝0， ∴當(dāng)x∈[1，x0)時，h(x)<0，f(x)單調(diào)遞減， 即當(dāng)x∈[1，x0)時，f(x)≤f(1)＝0，不滿足題意． 綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為(－∞，2]． (3)由(2)可知，取a＝2， 當(dāng)x>1時，f(x)＝(x＋1)ln x－2(x－1)>0， 即ln x>， 當(dāng)0<x<1時，>1， ∴l(xiāng)n>?<， 又∵tan＝， ∴當(dāng)0<θ<時，0<tan θ<1， ln(tan θ)<tan； 當(dāng)θ＝時，tan θ＝1，ln(tan θ)＝tan； 當(dāng)<θ<時，tan θ>1， ln(tan θ)>tan. 綜上，當(dāng)θ∈時，ln(tan θ)<tan； 當(dāng)θ＝時，ln(tan θ)＝tan； 當(dāng)θ∈時，ln(tan θ)>tan.