江蘇省2019高考數學二輪復習 專題六 應用題講義（含解析）.doc
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應用題 [江蘇卷5年考情分析] “在考查基礎知識的同時，側重考查能力”是高考的重要意向，而應用能力的考查又是近幾年能力考查的重點．江蘇卷一直在堅持以建模為主．所以如何由實際問題轉化為數學問題的建模過程的探索應是復習的關鍵． 應用題的載體很多，前幾年主要考函數建模，以三角、導數、不等式知識解決問題.2014年應用考題(2)可以理解為一次函數模型，也可以理解為條件不等式模型，這樣在建模上增添新意，還是有趣的；2015、2016年應用考題(2)都先構造函數，再利用導數求解；2016、2017年應用考題是立體幾何模型，2017年應用考題需利用空間中的垂直關系和解三角形的知識求解；2018年應用考題是三角模型，需利用三角函數和導數知識求解． 題型(一) 函數模型的構建及求解 主要考查以構建函數模型為背景的應用題，一般常見于經濟問題或立體幾何表面積和體積最值問題中. [典例感悟] [例1] (2016江蘇高考)現需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐PA1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍． (1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，則倉庫的容積是多少？ (2)若正四棱錐的側棱長為6 m，則當PO1為多少時，倉庫的容積最大？ [解] (1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8. 因為A1B1＝AB＝6， 所以正四棱錐PA1B1C1D1的體積 V錐＝A1BPO1＝622＝24(m3)； 正四棱柱ABCDA1B1C1D1的體積 V柱＝AB2O1O＝628＝288(m3)． 所以倉庫的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3)． (2)設A1B1＝a m，PO1＝h m， 則0＜h＜6，O1O＝4h.連結O1B1. 因為在Rt△PO1B1中， O1B＋PO＝PB， 所以2＋h2＝36， 即a2＝2(36－h(huán)2)． 于是倉庫的容積V＝V柱＋V錐＝a24h＋a2h＝a2h＝(36h－h(huán)3)，0＜h＜6， 從而V′＝(36－3h2)＝26(12－h(huán)2)． 令V′＝0，得h＝2或h＝－2(舍去)． 當0＜h＜2時，V′＞0，V是單調增函數； 當2＜h＜6時，V′＜0，V是單調減函數． 故當h＝2時，V取得極大值，也是最大值． 因此，當PO1＝2 m時，倉庫的容積最大． [方法技巧] 解函數應用題的四步驟 [演練沖關] 1．(2018蘇錫常鎮(zhèn)二模)某科研小組研究發(fā)現：一棵水蜜桃樹的產量w(單位：百千克)與肥料費用x(單位：百元)滿足如下關系：w＝4－，且投入的肥料費用不超過5百元．此外，還需要投入其他成本(如施肥的人工費等)2x百元．已知這種水蜜桃的市場售價為16元/千克(即16 百元/百千克)，且市場需求始終供不應求．記該棵水蜜桃樹獲得的利潤為L(x)(單位：百元)． (1)求利潤函數L(x)的函數關系式，并寫出定義域； (2)當投入的肥料費用為多少時，該水蜜桃樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？ 解：(1)由題意可得，L(x)＝16－x－2x＝64－－3x(0≤x≤5)． (2)法一：L(x)＝64－－3x＝67－≤67－2＝43. 當且僅當＝3(x＋1)，即x＝3時取等號． 故L(x)max＝43. 答：當投入的肥料費用為300元時，種植水蜜桃樹獲得的利潤最大，最大利潤是4 300元. 法二：由(1)可得L′(x)＝－3(0≤x≤5)， 由L′(x)＝0，得x＝3. 故當x∈(0,3)時，L′(x)>0，L(x)在(0,3)上單調遞增； 當x∈(3,5)時，L′(x)<0，L(x)在(3,5)上單調遞減． 所以當x＝3時，L(x)取得極大值，也是最大值， 故L(x)max＝L(3)＝43. 答：當投入的肥料費用為300元時，種植水蜜桃樹獲得的利潤最大，最大利潤是4 300元． 2.(2018江蘇六市二調)將一鐵塊高溫熔化后制成一張厚度忽略不計、面積為100 dm2的矩形薄鐵皮(如圖)，并沿虛線l1，l2裁剪成A，B，C三個矩形(B，C全等)，用來制成一個柱體．現有兩種方案： 方案①：以l1為母線，將A作為圓柱的側面展開圖，并從B，C中各裁剪出一個圓作為圓柱的兩個底面； 方案②：以l1為側棱，將A作為正四棱柱的側面展開圖，并從B，C中各裁剪出一個正方形(各邊分別與l1或l2垂直)作為正四棱柱的兩個底面． (1)設B，C都是正方形，且其內切圓恰為按方案①制成的圓柱的底面，求底面半徑； (2)設l1的長為x dm，則當x為多少時，能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大？ 解：(1)設所得圓柱的底面半徑為r dm， 則(2πr＋2r)4r＝100，解得r＝. (2) 設所得正四棱柱的底面邊長為a dm， 則即 法一：所得正四棱柱的體積V＝a2x≤ 記函數p(x)＝ 則p(x)在(0,2 ]上單調遞增，在(2，＋∞)上單調遞減，所以當x＝2時，p(x)max＝20. 所以當x＝2，a＝時，Vmax＝20 dm3. 答：當x為2時，能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大． 法二：由2a≤x≤，得a≤. 所得正四棱柱的體積V＝a2x≤a2＝20a≤20. 所以當a＝，x＝2時，Vmax＝20 dm3. 答：當x為2時，能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大． 題型(二) 與三角形、多邊形有關的實際應用題 主要考查與三角形有關的實際應用題，所建立函數模型多為三角函數模型. [典例感悟] [例2] (2018江蘇高考)某農場有一塊農田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN(P為此圓弧的中點)和線段MN構成．已知圓O的半徑為40米，點P到MN的距離為50米．現規(guī)劃在此農田上修建兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內的地塊形狀為△CDP，要求A，B均在線段MN上，C，D均在圓弧上．設OC與MN所成的角為θ. (1)用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積，并確定sin θ的取值范圍； (2)若大棚Ⅰ內種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產值之比為4∶3.求當θ為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產值最大． [解] (1)如圖，設PO的延長線交MN于點H，則PH⊥MN， 所以OH＝10. 過點O作OE⊥BC于點E， 則OE∥MN，所以∠COE＝θ， 故OE＝40cos θ，EC＝40sin θ， 則矩形ABCD的面積為240cos θ(40sin θ＋10) ＝800(4sin θcos θ＋cos θ)， △CDP的面積為240cos θ(40－40sin θ) ＝1 600(cos θ－sin θcos θ)． 過點N作GN⊥MN，分別交圓弧和OE的延長線于點G和K，則GK＝KN＝10. 連結OG，令∠GOK＝θ0，則sin θ0＝，θ0∈. 當θ∈時，才能作出滿足條件的矩形ABCD， 所以sin θ的取值范圍是. 答：矩形ABCD的面積為800(4sin θcos θ＋cos θ)平方米，△CDP的面積為1 600(cos θ－sin θcos θ)平方米，sin θ的取值范圍是. (2)因為甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產值之比為4∶3， 設甲的單位面積的年產值為4k(k>0)，乙的單位面積的年產值為3k(k＞0)， 則年總產值為4k800(4sin θcos θ＋cos θ)＋3k1 600(cos θ－sin θcos θ) ＝8 000k(sin θ cos θ ＋cos θ)，θ∈. 設f(θ)＝sin θcos θ＋cos θ，θ∈， 則f′(θ)＝cos2θ－sin2θ－sin θ＝－(2sin2θ＋sin θ－1) ＝－(2sin θ－1)(sin θ＋1)． 令f′(θ)＝0，得θ＝， 當θ∈時，f′(θ)＞0，所以f(θ)為增函數； 當θ∈時，f′(θ)＜0，所以f(θ)為減函數． 所以當θ＝時，f(θ)取到最大值． 答：當θ＝時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產值最大． [方法技巧] 三角應用題的解題策略 (1)解三角應用題是數學知識在生活中的應用，要想解決好，就要把實際問題抽象概括，建立相應的數學模型，然后求解． (2)解三角應用題常見的兩種情況： ①實際問題經抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． ②實際問題經抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解． (3)三角函數的值域或最值的求解方法一般有化歸法、換元法、導數法． [演練沖關] 如圖，經過村莊A有兩條夾角為60的公路AB，AC，根據規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N(異于村莊A)，要求PM＝PN＝MN＝2(單位：千米)．記∠AMN＝θ. (1)將AN，AM用含θ的關系式表示出來； (2)如何設計(即AN，AM為多長)，使得工廠產生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離AP最大)? 解：(1)由已知得∠MAN＝60，∠AMN＝θ，MN＝2， 在△AMN中， 由正弦定理得＝＝， 所以AN＝sin θ， AM＝sin(120－θ)＝sin(θ＋60)． (2)在△AMP中，由余弦定理可得 AP2＝AM2＋MP2－2AMMPcos∠AMP ＝sin2(θ＋60)＋4－sin(θ＋60)cos(θ＋60) ＝[1－cos(2θ＋120)]－sin(2θ＋120)＋4 ＝－[sin(2θ＋120)＋cos(2θ＋120)]＋ ＝－sin(2θ＋150)，0＜θ＜120， 當且僅當2θ＋150＝270，即θ＝60時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小，此時AN＝AM＝2. 題型(三) 與圓有關的實際應用題 主要考查與直線和圓有關的實際應用題，在航海與建筑規(guī)劃中的實際 問題中常見. [典例感悟] [例3] 一緝私艇巡航至距領海邊界線l(一條南北方向的直線)3.8海里的A處，發(fā)現在其北偏東30方向相距4海里的B處有一走私船正欲逃跑，緝私艇立即追擊．已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假設緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行． (1)若走私船沿正東方向逃離，試確定緝私艇的追擊方向，使其用最短時間在領海內攔截成功；(參考數據：sin 17≈，≈5.744 6) (2)問：無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇是否總能在領海內成功攔截？并說明理由． [解] (1)設緝私艇在C處與走私船相遇(如圖①)， 依題意，AC＝3BC. 在△ABC中，由正弦定理得， sin∠BAC＝sin∠ABC ＝＝. 因為sin 17≈，所以∠BAC＝17. 從而緝私艇應向北偏東47方向追擊. 在△ABC中，由余弦定理得， cos 120＝， 解得BC＝≈1.686 15. 又B到邊界線l的距離為3.8－4sin 30＝1.8. 因為1.686 15<1.8，所以能在領海上成功攔截走私船． 答：緝私艇應向北偏東47方向追擊． (2)法一： 如圖②，設走私船沿BC方向逃跑，∠ABC＝α， 緝私艇在C處截獲走私船，并設BC＝a，則AC＝3a. 由余弦定理得(3a)2＝a2＋16－8acos α.即cos α＝， 所以sin α＝，1≤a≤2. 所以BCcos(α－120)＝a ＝－(2－a2)＋ ＝(a2－2)＋. 令t＝a2－，－≤t≤， 再令t＝cos θ，0≤θ≤180. 則BCcos(α－120)＝t＋＋ ＝cos θ＋sin θ＋ ＝sin(θ＋30)＋≤1.75<1.8， 所以無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇總能在領海內成功攔截． 法二：如圖③，以A為原點，正北方向所在的直線為y軸建立平面直角坐標系xOy. 則B(2,2)，設緝私艇在P(x，y)處(緝私艇恰好截住走私船的位置)與走私船相遇，則＝3， 即＝3. 整理得，2＋2＝， 所以點P(x，y)的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓. 因為圓心到領海邊界線l：x＝3.8的距離為1.55，大于圓的半徑， 所以緝私艇能在領海內截住走私船. 答：緝私艇總能在領海內成功攔截走私船． [方法技巧] 與圓有關應用題的求解策略 (1)在與圓有關的實際應用題中，有些時候，在條件中沒有直接給出圓方面的信息，而是隱藏在題目中的，要通過分析和轉化，發(fā)現圓(或圓的方程), 從而最終可以利用圓的知識來求解，如本例，需通過條件到兩個定點A，B的距離之比為定值3來確定動點(攔截點)的軌跡是圓． (2)與直線和圓有關的實際應用題一般都可以轉化為直線與圓的位置關系或者轉化為直線和圓中的最值問題． [演練沖關] 如圖，半圓AOB是某愛國主義教育基地一景點的平面示意圖，半徑OA的長為1百米．為了保護景點，基地管理部門從道路l上選取一點C，修建參觀線路C－D－E－F，且CD，DE，EF均與半圓相切，四邊形CDEF是等腰梯形．設DE＝t百米，記修建每1百米參觀線路的費用為f(t)萬元，經測算f(t)＝ (1)用t表示線段EF的長； (2)求修建該參觀線路的最低費用． 解：(1)法一：設DE與半圓相切于點Q，則由四邊形CDEF是等腰梯形知OQ⊥l，DQ＝QE，以OF所在直線為x軸，OQ所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy. 由題意得，點E的坐標為， 設直線EF的方程為y－1＝k(k<0)， 即kx－y＋1－tk＝0. 因為直線EF與半圓相切， 所以圓心O到直線EF的距離為＝1， 解得k＝. 代入y－1＝k可得，點F的坐標為. 所以EF＝ ＝＋， 即EF＝＋(0
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