《（浙江專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 解析幾何學(xué)案.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 解析幾何學(xué)案.doc（90頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

專題四 解析幾何 [析考情明重點] 小題考情分析 大題考情分析 ?？键c 1.雙曲線的漸近線、離心率及焦點問題(5年4考) 2.橢圓的離心率問題，橢圓與直線、雙曲線的綜合問題(5年3考) 直線與圓錐曲線解答題是高考的熱點也是重點部分，主要涉及以下兩種考法： (1)直線與橢圓有關(guān)范圍、最值的綜合問題； (2)直線與拋物線有關(guān)范圍、最值的綜合問題. 偶考點 1.圓與不等式的交匯問題 2.拋物線的焦點、準(zhǔn)線問題 第一講 小題考法——直線與圓 考點(一) 直 線 的 方 程 主要考查直線方程、兩條直線的位置關(guān)系及三個距離公式的應(yīng)用. [典例感悟] [典例]　(1)已知直線l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，則實數(shù)a的值為(　　) A．－　　　　　　　 　B．0 C．－或0 D．2 (2)已知點A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直線y＝ax＋b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是(　　) A．(0,1) B. C. D. (3)過直線l1：x－2y＋3＝0與直線l2：2x＋3y－8＝0的交點，且到點P(0,4)距離為2的直線方程為_________________________________________________________________. [解析]　(1)由l1∥l2得1(－a)＝2a(a＋1)，即2a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－.經(jīng)檢驗，當(dāng)a＝0或a＝－時均有l(wèi)1∥l2，故選C. (2)易知BC所在直線的方程是x＋y＝1，由消去x，得y＝，當(dāng)a＞0時，直線y＝ax＋b與x軸交于點，結(jié)合圖形(圖略)知＝，化簡得(a＋b)2＝a(a＋1)，則a＝.∵a＞0，∴＞0，解得b＜. 考慮極限位置，即當(dāng)a＝0時，易得b＝1－，故b的取值范圍是. (3)由得∴l(xiāng)1與l2的交點為(1,2)．當(dāng)所求直線斜率不存在，即直線方程為x＝1時，顯然不滿足題意． 當(dāng)所求直線斜率存在時，設(shè)所求直線方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0， ∵點P(0,4)到直線的距離為2， ∴2＝，∴k＝0或k＝. ∴直線方程為y＝2或4x－3y＋2＝0. [答案]　(1)C　(2)B　(3)y＝2或4x－3y＋2＝0 [方法技巧] 解決直線方程問題的2個關(guān)注點 (1)求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的情況． (2)求直線方程時應(yīng)根據(jù)條件選擇合適的方程形式，同時要考慮直線斜率不存在的情況是否符合題意． [演練沖關(guān)] 1．已知直線l的傾斜角為，直線l1經(jīng)過點A(3,2)，B(－a,1)，且l1與l垂直，直線l2：2x＋by＋1＝0與直線l1平行，則a＋b＝(　　) A．－4 B．－2 C．0 D．2 解析：選B　由題知，直線l的斜率為1，則直線l1的斜率為－1，所以＝－1，所以a＝－4.又l1∥l2，所以－＝－1，b＝2，所以a＋b＝－4＋2＝－2，故選B. 2．(2018浙江名師預(yù)測卷)“m＝－1”是“直線l1：mx＋(2m－1)y＋1＝0與直線l2：3x＋my＋3＝0垂直”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　若直線l1：mx＋(2m－1)y＋1＝0與直線l2：3x＋my＋3＝0垂直， 則3m＋m(2m－1)＝0，即2m(m＋1)＝0， 解得m＝0或m＝－1， 則“m＝－1”是“直線l1：mx＋(2m－1)y＋1＝0與直線l2：3x＋my＋3＝0垂直”的充分不必要條件．故選A. 3．若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則l1與l2間的距離為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　由l1∥l2，得(a－2)a＝13，且a2a≠36，解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以l1與l2間的距離為d＝＝. 考點(二) 圓 的 方 程 主要考查圓的方程的求法，常涉及弦長公式、直線與圓相切等問題. [典例感悟] [典例]　(1)已知三點A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為(　　) A.　　　　　　　　 　B. C. D. (2)(2018廣州模擬)若一個圓的圓心是拋物線x2＝4y的焦點，且該圓與直線y＝x＋3相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______________． [解析]　(1)設(shè)△ABC外接圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∴∴ ∴△ABC外接圓的一般方程為x2＋y2－2x－y＋1＝0，圓心為，故△ABC外接圓的圓心到原點的距離為 ＝. (2)拋物線x2＝4y的焦點為(0,1)，即圓心為(0,1)，設(shè)該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＋(y－1)2＝r2(r>0)，因為該圓與直線y＝x＋3，即x－y＋3＝0相切，所以r＝＝，故該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＋(y－1)2＝2. [答案]　(1)B　(2)x2＋(y－1)2＝2 [方法技巧] 圓的方程的2種求法 幾何法 通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程 代數(shù)法 用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù) [演練沖關(guān)] 1．圓(x－2)2＋y2＝4關(guān)于直線y＝x對稱的圓的方程是(　　) A．(x－)2＋(y－1)2＝4 B．(x－)2＋(y－)2＝4 C．x2＋(y－2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－)2＝4 解析：選D　圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的半徑相同，只需求圓心(2,0)關(guān)于直線y＝x對稱的點的坐標(biāo)即可．設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(a，b)，則解得所以圓(x－2)2＋y2＝4的圓心關(guān)于直線y＝x對稱的點的坐標(biāo)為(1，)，從而所求圓的方程為(x－1)2＋(y－)2＝4，故選D. 2．已知圓C的圓心是直線x－y＋1＝0與x軸的交點，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程是(　　) A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝8 C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8 解析：選A　根據(jù)題意，直線x－y＋1＝0與x軸的交點坐標(biāo)為(－1,0)，即圓心為(－1,0)．因為圓C與直線x＋y＋3＝0相切，所以半徑r＝＝，則圓C的方程為(x＋1)2＋y2＝2，故選A. 3．圓心在直線x－2y＝0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________． 解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r.由已知又圓心(a，b)到y(tǒng)軸、x軸的距離分別為|a|，|b|，所以|a|＝r，|b|2＋3＝r2.綜上，解得a＝2，b＝1，r＝2，所以圓心坐標(biāo)為(2,1)，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4. 答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4 考點(三) 直線(圓)與圓的位置關(guān)系 主要考查直線(圓)與圓位置關(guān)系的判斷、根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系解決參數(shù)問題或與圓有關(guān)的軌跡問題. [典例感悟] [典例]　(1)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是(　　) A．內(nèi)切　　　　　　　 　B．相交 C．外切 D．相離 (2)(2018麗水、衢州、湖州高三聯(lián)考)已知直線l1：2x－y＋1＝0，直線l2：4x－2y＋a＝0，圓C：x2＋y2－2x＝0.若圓C上任意一點P到兩直線l1，l2的距離之和為定值2，則實數(shù)a＝________. [解析]　(1)由題知圓M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圓心(0，a)到直線x＋y＝0的距離d＝，所以2＝2，解得a＝2，即圓M的圓心為(0,2)，半徑為2.又圓N的圓心為(1,1)，半徑為1，則圓M，圓N的圓心距|MN|＝，兩圓半徑之差為1，半徑之和為3,1<<3，故兩圓相交． (2)由題可知l1∥l2，若圓C上任意一點到兩直線的距離之和為定值2，則兩平行線之間的距離為2，且位于圓的兩側(cè)． 因為直線l1：2x－y＋1＝0，直線l2：2x－y＋＝0， 所以l1與l2之間的距離d＝＝2，解得a＝－18或a＝22，當(dāng)a＝22時，兩條直線在圓的同側(cè)，此時圓C上的點到兩直線的距離之和大于2，舍去，故a＝－18. [答案]　(1)B　(2)－18 [方法技巧] 1．直線(圓)與圓位置關(guān)系問題的求解思路 (1)研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過將圓心到直線的距離同半徑做比較實現(xiàn)，兩圓位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較． (2)直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式．過圓外一點求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外點的距離，再結(jié)合半徑利用勾股定理計算． 2．直線截圓所得弦長的求解方法 (1)根據(jù)平面幾何知識構(gòu)建直角三角形，把弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示，即l＝2(其中l(wèi)為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)． (2)根據(jù)公式：l＝|x1－x2|求解(其中l(wèi)為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標(biāo)，k為直線的斜率)． (3)求出交點坐標(biāo)，用兩點間的距離公式求解． [演練沖關(guān)] 1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝2x＋1與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點，則cos∠AOB＝(　　) A．　　　　　　　 　B．－ C． D．－ 解析：選D　因為圓x2＋y2＝4的圓心為O(0,0)，半徑為2，所以圓心O到直線y＝2x＋1的距離d＝＝，所以弦長|AB|＝2＝2.在△AOB中，由余弦定理得cos∠AOB＝＝＝－. 2．(2018浙江名師預(yù)測卷)已知圓C的方程為x2＋y2＝1，直線l的方程為x＋y＝2，過圓C上任意一點P作與l夾角為45的直線，交l于點A，則|PA|的最小值為(　　) A. B．1 C.－1 D．2－ 解析：選D　由題意可知，直線PA平行于坐標(biāo)軸，或與坐標(biāo)軸重合．不妨設(shè)直線PA∥y軸， 設(shè)P(cos α，sin α)，則A(cos α，2－cos α)， ∴|PA|＝|2－cos α－sin α|＝|2－sin(α＋45)|， ∴|PA|的最小值為2－.故選D. 3．已知動圓C過A(4,0)，B(0，－2)兩點，過點M(1，－2)的直線交圓C于E，F(xiàn)兩點，當(dāng)圓C的面積最小時，|EF|的最小值為________． 解析：依題意得，動圓C的半徑不小于|AB|＝，即當(dāng)圓C的面積最小時，AB是圓C的一條直徑，此時圓心C是線段AB的中點，即點C(2，－1)，又點M的坐標(biāo)為(1，－2)，且|CM|＝＝<，所以點M位于圓C內(nèi)，所以當(dāng)點M為線段EF的中點時，|EF|最小，其最小值為2＝2. 答案：2 (一) 主干知識要記牢 1．直線方程的五種形式 點斜式 y－y1＝k(x－x1)(直線過點P1(x1，y1)，且斜率為k，不能表示y軸和平行于y軸的直線) 斜截式 y＝kx＋b(b為直線在y軸上的截距，且斜率為k，不能表示y軸和平行于y軸的直線) 兩點式 ＝(直線過點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不能表示坐標(biāo)軸和平行于坐標(biāo)軸的直線) 截距式 ＋＝1(a，b分別為直線的橫、縱截距，且a≠0，b≠0，不能表示坐標(biāo)軸、平行于坐標(biāo)軸和過原點的直線) 一般式 Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0) 2．點到直線的距離及兩平行直線間的距離 (1)點P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離為d＝. (2)兩平行線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離為d＝. 3．圓的方程 (1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． (3)圓的直徑式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圓的直徑的兩端點是A(x1，y1)，B(x2，y2))． 4．直線與圓位置關(guān)系的判定方法 (1)代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：Δ>0?相交，Δ<0?相離，Δ＝0?相切． (2)幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設(shè)圓心到直線的距離為d，則dr?相離，d＝r?相切． 5．圓與圓的位置關(guān)系 已知兩圓的圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，則 (1)當(dāng)|O1O2|＞r1＋r2時，兩圓外離； (2)當(dāng)|O1O2|＝r1＋r2時，兩圓外切； (3)當(dāng)|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2時，兩圓相交； (4)當(dāng)|O1O2|＝|r1－r2|時，兩圓內(nèi)切； (5)當(dāng)0≤|O1O2|＜|r1－r2|時，兩圓內(nèi)含． (二) 二級結(jié)論要用好 1．直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置關(guān)系 (1)平行?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0； (2)重合?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0； (3)相交?A1B2－A2B1≠0； (4)垂直?A1A2＋B1B2＝0. [針對練1]　若直線l1：mx＋y＋8＝0與l2：4x＋(m－5)y＋2m＝0垂直，則m＝________. 解析：∵l1⊥l2，∴4m＋(m－5)＝0，∴m＝1. 答案：1 2．若點P(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2上，則圓過該點的切線方程為：x0x＋y0y＝r2. [針對練2]　過點(1，)且與圓x2＋y2＝4相切的直線l的方程為____________． 解析：∵點(1，)在圓x2＋y2＝4上， ∴切線方程為x＋y＝4，即x＋y－4＝0. 答案：x＋y－4＝0 (三) 易錯易混要明了 1．易忽視直線方程的幾種形式的限制條件，如根據(jù)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等設(shè)方程時，忽視截距為0的情況，直接設(shè)為＋＝1；再如，忽視斜率不存在的情況直接將過定點P(x0，y0)的直線設(shè)為y－y0＝k(x－x0)等． [針對練3]　已知直線過點P(1,5)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則此直線的方程為__________________． 解析：當(dāng)截距為0時，直線方程為5x－y＝0； 當(dāng)截距不為0時，設(shè)直線方程為＋＝1，代入P(1,5)，得a＝6，∴直線方程為x＋y－6＝0. 答案：5x－y＝0或x＋y－6＝0 2．討論兩條直線的位置關(guān)系時，易忽視系數(shù)等于零時的討論導(dǎo)致漏解，如兩條直線垂直時，一條直線的斜率不存在，另一條直線斜率為0.如果利用直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件A1A2＋B1B2＝0，就可以避免討論． [針對練4]　已知直線l1：(t＋2)x＋(1－t)y＝1與l2：(t－1)x＋(2t＋3)y＋2＝0互相垂直，則t的值為________． 解析：∵l1⊥l2，∴(t＋2)(t－1)＋(1－t)(2t＋3)＝0，解得t＝1或t＝－1. 答案：－1或1 3．求解兩條平行線之間的距離時，易忽視兩直線系數(shù)不相等，而直接代入公式，導(dǎo)致錯解． [針對練5]　兩平行直線3x＋2y－5＝0與6x＋4y＋5＝0間的距離為________． 解析：把直線6x＋4y＋5＝0化為3x＋2y＋＝0，故兩平行線間的距離d＝＝. 答案： 4．易誤認(rèn)為兩圓相切即為兩圓外切，忽視兩圓內(nèi)切的情況導(dǎo)致漏解． [針對練6]　已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0相切，則m＝________. 解析：由x2＋y2－2x－6y－1＝0，得(x－1)2＋(y－3)2＝11，由x2＋y2－10x－12y＋m＝0，得(x－5)2＋(y－6)2＝61－m.當(dāng)兩圓外切時，有＝＋，解得m＝25＋10；當(dāng)兩圓內(nèi)切時，有＝，解得m＝25－10. 答案：2510 A組——10＋7提速練 一、選擇題 1．已知直線l：y＝k(x＋)和圓C：x2＋(y－1)2＝1，若直線l與圓C相切，則k＝(　　) A．0　　　　　　　　 　B. C.或0 D.或0 解析：選D　因為直線l與圓C相切，所以圓心C(0,1)到直線l的距離d＝＝1，解得k＝0或k＝，故選D. 2．(2018寧波十校高三5月適應(yīng)性考試)已知直線l過圓(x－1)2＋(y－2)2＝1的圓心，當(dāng)原點到直線l距離最大時，直線l的方程為(　　) A．y＝2 B．x－2y－5＝0 C．x－2y＋3＝0 D．x＋2y－5＝0 解析：選D　設(shè)圓心為M，則M(1,2)． 當(dāng)l與OM垂直時，原點到l的距離最大．作出示意圖如圖， ∵kOM＝2，∴l(xiāng)的斜率為－. ∴直線l的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0. 3．直線l：y＝kx＋1與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點，則“k＝1”是“|AB|＝”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　依題意，注意到|AB|＝＝等價于圓心O到直線l的距離等于，即有＝，k＝1.因此，“k＝1”是“|AB|＝”的充分不必要條件． 4．若三條直線l1：4x＋y＝3，l2：mx＋y＝0，l3：x－my＝2不能圍成三角形，則實數(shù)m的取值最多有(　　) A．2個 B．3個 C．4個 D．6個 解析：選C　三條直線不能圍成三角形，則至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點．若l1∥l2，則m＝4；若l1∥l3，則m＝－；若l2∥l3，則m的值不存在；若三條直線相交于同一點，則m＝1或－.故實數(shù)m的取值最多有4個，故選C. 5．(2018溫州模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(0，－1)，B(2,0)，過A的直線交x軸于點C(a,0)，若直線AC的傾斜角是直線AB傾斜角的2倍，則a＝(　　) A. B. C．1 D. 解析：選B　設(shè)直線AC的傾斜角為β，直線AB的傾斜角為α， 即有tan β＝tan 2α＝. 又tan β＝，tan α＝， 所以＝，解得a＝. 6．與直線x＋y－2＝0和曲線x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A．(x＋2)2＋(y－2)2＝2 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2 D．(x－2)2＋(y－2)2＝2 解析：選D　由題意知，曲線方程為(x－6)2＋(y－6)2＝(3)2，過圓心(6,6)作直線x＋y－2＝0的垂線，垂線方程為y＝x，則所求的最小圓的圓心必在直線y＝x上，又圓心(6,6)到直線x＋y－2＝0的距離d＝＝5，故最小圓的半徑為＝，圓心坐標(biāo)為(2,2)，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－2)2＝2. 7．(2018長沙模擬)若直線(2λ－1)x＋(λ＋2)y＋λ＋2＝0(λ∈R)被圓C：(x－1)2＋y2＝4所截得的弦為MN，則|MN|的最小值是(　　) A. B．2 C．2 D．4 解析：選C　直線方程(2λ－1)x＋(λ＋2)y＋λ＋2＝0(λ∈R)可化為λ(2x＋y＋1)＋(－x＋2y＋2)＝0(λ∈R)，若則所以直線恒過圓C：(x－1)2＋y2＝4內(nèi)的定點P(0，－1)，當(dāng)直線(2λ－1)x＋(λ＋2)y＋λ＋2＝0(λ∈R)與直線CP垂直時，|MN|最小，此時|MN|＝2＝2＝2.故選C. 8．(2018合肥質(zhì)檢)設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)且與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝2，則直線l的方程為(　　) A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 B．3x＋4y－12＝0或x＝0 C．4x－3y＋9＝0或x＝0 D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0 解析：選B　由題可知，圓心C(1,1)，半徑r＝2.當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線方程為x＝0，計算出弦長為2，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，由弦長為2可知，圓心到該直線的距離為1，從而有＝1，解得k＝－，所以直線l的方程為y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0. 綜上，直線l的方程為x＝0或3x＋4y－12＝0，故選B. 9．兩個圓C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)與C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三條公切線，則a＋b的最小值為(　　) A．3 B．－3 C．6 D．－6 解析：選B　兩個圓恰有三條公切線，則兩圓外切，兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為圓C1：(x＋a)2＋y2＝4，圓C2：x2＋(y－b)2＝1，所以C1(－a,0)，C2(0，b)，＝＝2＋1＝3，即a2＋b2＝9. 由2≤，得(a＋b)2≤18，所以－3≤a＋b≤3，當(dāng)且僅當(dāng)“a＝b”時等號成立．所以a＋b的最小值為－3. 10．若圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有兩個點到直線4x－3y－2＝0的距離等于1，則半徑r的取值范圍是(　　) A．(4,6) B．[4,6] C．(4,5) D．(4,5] 解析：選A　設(shè)直線4x－3y＋m＝0與直線4x－3y－2＝0之間的距離為1，則有＝1，m＝3或m＝－7.圓心(3，－5)到直線4x－3y＋3＝0的距離等于6，圓心(3，－5)到直線4x－3y－7＝0的距離等于4，因此所求圓半徑的取值范圍是(4,6)，故選A. 二、填空題 11．直線l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)恒過定點________，P(1，1)到直線l的距離的最大值為________． 解析：直線l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)，即λ(y－3)＋x＋2＝0，令解得∴直線l恒過定點(－2,3)．不妨記Q(－2,3)，則P(1,1)到直線l的距離的最大值為|PQ|＝＝. 答案：(－2,3)　 12．若直線l1：y＝x＋a和直線l2：y＝x＋b將圓(x－1)2＋(y－2)2＝8分成長度相等的四段弧，則a2＋b2＝________. 解析：由題意得直線l1和l2截圓所得弦所對的圓心角相等，均為90，因此圓心到兩直線的距離均為r＝2，即＝＝2，得a2＋b2＝(2＋1)2＋(1－2)2＝18. 答案：18 13．已知點M(2,1)及圓x2＋y2＝4，則過M點的圓的切線方程為________，若直線ax－y＋4＝0與該圓相交于A，B兩點，且|AB|＝2，則a＝________. 解析：若過點M的圓的切線斜率不存在，則切線方程為x＝2，經(jīng)驗證滿足條件．若切線斜率存在，可設(shè)切線方程為y＝k(x－2)＋1，由圓心到直線的距離等于半徑得＝2，解得k＝－，故切線方程為y＝－(x－2)＋1，即3x＋4y－10＝0.綜上，過M點的圓的切線方程為x＝2或3x＋4y－10＝0. 由＝，得a＝. 答案：x＝2或3x＋4y－10＝0　 14．已知⊙C的方程為x2－2x＋y2＝0，直線l：kx－y＋x－2k＝0與⊙C交于A，B兩點，當(dāng)|AB|取最大值時，k＝________；當(dāng)△ABC的面積最大時，k＝________. 解析：圓的方程可化為(x－1)2＋y2＝1，圓心C(1,0)，半徑為1，當(dāng)直線過圓心時，弦AB為直徑，|AB|最大，此時k＝1.設(shè)∠ACB＝θ，則S△ABC＝11sin θ＝sin θ，當(dāng)θ＝90時，△ABC的面積最大，此時圓心到直線的距離為，由d＝＝，解得k＝0或k＝6. 答案：1　0或6 15．已知圓O：x2＋y2＝r2與圓C：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)在第一象限的一個公共點為P，過點P作與x軸平行的直線分別交兩圓于不同兩點A，B(異于P點)，且OA⊥OB，則直線OP的斜率是________，r＝________. 解析：兩圓的方程相減得，4x－4＝0，則點P的橫坐標(biāo)x＝1.易知P為AB的中點，因為OA⊥OB，所以|OP|＝|AP|＝|PB|，所以△OAP為等邊三角形，所以∠APO＝60，因為AB∥x軸，所以∠POC＝60，所以直線OP的斜率為.設(shè)P(1，y1)，則y1＝，所以P(1，)，代入圓O，解得r＝2. 答案：　2 16．(2018浦江模擬)設(shè)A是直線y＝x－4上一點，P，Q是圓C：x2＋(y－2)2＝17上不同的兩點，若圓心C是△APQ的重心．則△APQ面積的最大值為________． 解析：如圖，∵圓心C是△APQ的重心，∴AC⊥PQ， 設(shè)C到PQ的距離為x，則PQ＝2， 則A到PQ的距離為3x， ∴S△PAQ＝23x ＝3x≤3＝. 當(dāng)且僅當(dāng)＝x，即x＝時等號成立． ∴△APQ面積的最大值為. 答案： 17．定義：若平面點集A中的任一個點(x0，y0)，總存在正實數(shù)r，使得集合{(x，y)|0}； ③{(x，y)||x＋y|≤6}；④{(x，y)|00)與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點A，B，O是坐標(biāo)原點，且有|＋|≥||，那么k的取值范圍是(　　) A．(，＋∞) B．[，＋∞) C．[，2) D．[，2) 解析：選C　當(dāng)|＋|＝||時，O，A，B三點為等腰三角形AOB的三個頂點，其中OA＝OB＝2，∠AOB＝120，從而圓心O到直線x＋y－k＝0(k>0)的距離為1，即＝1，解得k＝；當(dāng)k>時，|＋|>||，又直線與圓x2＋y2＝4有兩個不同的交點，故<2，即k<2.綜上，k的取值范圍為[，2)． 3．已知圓C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．設(shè)條件p：01，即01，即r>3時，直線與圓相交，此時圓上有4個點到直線的距離為1. 綜上，當(dāng)0b>0)，而拋物線y2＝－4x的焦點為(－1,0)，所以c＝1，又離心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓方程為＋＝1.故選A. [答案]　(1)A　(2)A [方法技巧] 1．圓錐曲線的定義 (1)橢圓：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)雙曲線：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)拋物線：|MF|＝d(d為M點到準(zhǔn)線的距離)． [注意]　應(yīng)用圓錐曲線定義解題時，易忽視定義中隱含條件導(dǎo)致錯誤． 2．求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的思路方法 (1)定型，即指定類型，也就是確定圓錐曲線的類型、焦點位置，從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)計算，即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2或p.另外，當(dāng)焦點位置無法確定時，拋物線常設(shè)為y2＝2px或x2＝2py(p≠0)，橢圓常設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，雙曲線常設(shè)為mx2－ny2＝1(mn>0)． [演練沖關(guān)] 1．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦距為4，漸近線方程為2xy＝0，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：選A　易知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦點在x軸上，所以由漸近線方程為2xy＝0，得＝2，因為雙曲線的焦距為4，所以c＝2.結(jié)合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以雙曲線的方程為－＝1. 2．(2018杭二中高三期中)過雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點F的直線l：y＝x－4與雙曲線C只有一個公共點，則雙曲線C的焦距為________，C的離心率為________． 解析：雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝x，因為過雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點F的直線l：y＝x－4與雙曲線C只有一個公共點，所以又因為a2＋b2＝c2，所以a＝2，b＝2，c＝4，所以2c＝8，e＝＝2. 答案：8　2 3．已知拋物線x2＝4y的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點，過P作PA⊥l于點A，當(dāng)∠AFO＝30(O為坐標(biāo)原點)時，|PF|＝________. 解析：法一：令l與y軸的交點為B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30，|BF|＝2，所以|AB|＝.設(shè)P(x0，y0)，則x0＝，代入x2＝4y中，得y0＝，所以|PF|＝|PA|＝y(tǒng)0＋1＝. 法二：如圖所示，∠AFO＝30， ∴∠PAF＝30， 又|PA|＝|PF|， ∴△APF為頂角∠APF＝120的等腰三角形， 而|AF|＝＝， ∴|PF|＝＝. 答案： 考點(二) 圓錐曲線的幾何性質(zhì) 主要考查橢圓、雙曲線的離心率的計算、雙曲線漸近線的應(yīng)用以及拋物線的有關(guān)性質(zhì). [典例感悟] [典例]　(1)(2018浙江名師預(yù)測卷)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M在拋物線C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則拋物線C的方程為(　　) A．y2＝4x或y2＝8x　 　B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x (2)(2017全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點．若∠MAN＝60，則C的離心率為________． [解析]　(1)因為拋物線C的方程為y2＝2px(p>0)， 所以焦點F. 設(shè)M(x，y)，由拋物線的性質(zhì)可得|MF|＝x＋＝5， 所以x＝5－. 因為圓心是MF的中點，所以根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得圓心橫坐標(biāo)為，又由已知可得圓的半徑也為，故可知該圓與y軸相切于點(0,2)，故圓心縱坐標(biāo)為2，則點M的縱坐標(biāo)為4，所以M.將點M的坐標(biāo)代入拋物線方程，得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8，所以拋物線C的方程為y2＝4x或y2＝16x，故選C. (2)雙曲線的右頂點為A(a,0)，一條漸近線的方程為y＝x，即bx－ay＝0，則圓心A到此漸近線的距離d＝＝.又因為∠MAN＝60，圓的半徑為b，所以bsin 60＝，即＝，所以e＝＝. [答案]　(1)C　(2) [方法技巧] 1．橢圓、雙曲線的離心率(離心率范圍)的求法 求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值． 2．雙曲線的漸近線的求法及用法 (1)求法：把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號右邊的1改為零，分解因式可得． (2)用法：①可得或的值；②利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程． [演練沖關(guān)] 1．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線的夾角為60，則雙曲線C的離心率為(　　) A. B. C.或 D.或2 解析：選D　∵兩條漸近線的夾角為60，且兩條漸近線關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，∴＝tan 30＝或＝tan 60＝. 由＝，得＝＝e2－1＝，∴e＝(舍負(fù))；由＝，得＝＝e2－1＝3，∴e＝2(舍負(fù))．故選D. 2．(2017全國卷Ⅰ)設(shè)A，B是橢圓C：＋＝1長軸的兩個端點．若C上存在點M滿足∠AMB＝120，則m的取值范圍是(　　) A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， ]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， ]∪[4，＋∞) 解析：選A　當(dāng)0＜m＜3時，焦點在x軸上，要使C上存在點M滿足∠AMB＝120，則≥tan 60＝，即≥，解得0＜m≤1.當(dāng)m＞3時，焦點在y軸上，要使C上存在點M滿足∠AMB＝120，則≥tan 60＝，即≥，解得m≥9.故m的取值范圍為(0,1]∪[9，＋∞)． 3．如圖，拋物線y2＝4x的一條弦AB經(jīng)過焦點F，取線段OB的中點D，延長OA至點C，使|OA|＝|AC|，過點C，D作y軸的垂線，垂足分別為點E，G，則|EG|的最小值為________． 解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，則y3＝2y1，y4＝y(tǒng)2，|EG|＝y(tǒng)4－y3＝y(tǒng)2－2y1.因為AB為拋物線y2＝4x的焦點弦，所以y1y2＝－4，所以|EG|＝y(tǒng)2－2＝y(tǒng)2＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)y2＝，即y2＝4時取等號，所以|EG|的最小值為4. 答案：4 考點(三) 圓錐曲線與圓、直線的綜合問題 主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系以及圓錐曲線與圓相結(jié)合的問題. [典例感悟] [典例]　(1)已知直線y＝kx＋t與圓x2＋(y＋1)2＝1相切且與拋物線C：x2＝4y交于不同的兩點M，N，則實數(shù)t的取值范圍是(　　) A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)　 B．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C．(－3,0) D．(－2,0) (2)已知雙曲線C：mx2＋ny2＝1(mn<0)的一條漸近線與圓x2＋y2－6x－2y＋9＝0相切，則C的離心率為(　　) A. B. C.或 D.或 [解析]　(1)因為直線與圓相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.將直線方程代入拋物線方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，解得t>0或t<－3.故選A. (2)圓x2＋y2－6x－2y＋9＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y－1)2＝1，則圓心為M(3,1)，半徑r＝1.當(dāng)m<0，n>0時，由mx2＋ny2＝1得－＝1，則雙曲線的焦點在y軸上，不妨設(shè)雙曲線與圓相切的漸近線方程為y＝x，即ax－by＝0，則圓心到直線的距離d＝＝1，即|3a－b|＝c，平方得9a2－6ab＋b2＝c2＝a2＋b2，即8a2－6ab＝0，則b＝a，平方得b2＝a2＝c2－a2，即c2＝a2，則c＝a，離心率e＝＝；當(dāng)m>0，n<0時，同理可得e＝，故選D. [答案]　(1)A　(2)D [方法技巧] 處理圓錐曲線與圓相結(jié)合問題的注意點 (1)注意圓心、半徑和平面幾何知識的應(yīng)用，如直徑所對的圓周角為直角，構(gòu)成了垂直關(guān)系；弦心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成直角三角形等． (2)注意圓與特殊線的位置關(guān)系，如圓的直徑與橢圓長軸(短軸)，與雙曲線的實軸(虛軸)的關(guān)系；圓與過定點的直線、雙曲線的漸近線、拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系等． [演練沖關(guān)] 1．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P是雙曲線C右支上一點，且|PF2|＝|F1F2|，若直線PF1與圓x2＋y2＝a2相切，則雙曲線的離心率為(　　) A.　　　　　　　　　 　B. C．2 D．3 解析：選B　取線段PF1的中點為A，連接AF2，又|PF2|＝|F1F2|，則AF2⊥PF1，∵直線PF1與圓x2＋y2＝a2相切，∴|AF2|＝2a，∵|PF2|＝|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝2a＋2c，∴|PA|＝|PF1|＝a＋c，則在Rt△APF2中，4c2＝(a＋c)2＋4a2，化簡得(3c－5a)(a＋c)＝0，則雙曲線的離心率為. 2．已知橢圓C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直線l不過原點O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M，則直線OM與直線l的斜率之積為(　　) A．－9 B．－ C．－ D．－3 解析：選A　設(shè)直線l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．將y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故xM＝＝－，yM＝kxM＋b＝，故直線OM的斜率kOM＝＝－，所以kOMk＝－9，即直線OM與直線l的斜率之積為－9. (一) 主干知識要記牢 圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì) 名稱 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 |PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|) |PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M 標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1(a>b>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0) 圖形 幾何性質(zhì) 軸 長軸長2a，短軸長2b　 實軸長2a，虛軸長2b 離心率 e＝＝ (01) e＝1 漸近線 y＝x (二) 二級結(jié)論要用好 1．橢圓焦點三角形的3個規(guī)律 設(shè)橢圓方程是＋＝1(a>b>0)，焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，點P的坐標(biāo)是(x0，y0)． (1)三角形的三個邊長是|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0，|F1F2|＝2c，e為橢圓的離心率． (2)如果△PF1F2中∠F1PF2＝α，則這個三角形的面積S△PF1F2＝c|y0|＝b2tan . (3)橢圓的離心率e＝. 2．雙曲線焦點三角形的2個結(jié)論 P(x0，y0)為雙曲線－＝1(a>0，b>0)上的點，△PF1F2為焦點三角形． (1)面積公式 S△PF1F2＝c|y0|＝r1r2sin θ＝(其中|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ)． (2)焦半徑 若P在右支上，|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a； 若P在左支上，|PF1|＝－ex0－a，|PF2|＝－ex0＋a. 3．拋物線y2＝2px(p>0)焦點弦AB的4個結(jié)論 (1)xAxB＝； (2)yAyB＝－p2； (3)|AB|＝(α是直線AB的傾斜角)； (4)|AB|＝xA＋xB＋p. 4．圓錐曲線的通徑 (1)橢圓通徑長為； (2)雙曲線通徑長為； (3)拋物線通徑長為2p. 5．圓錐曲線中的最值 (1)橢圓上兩點間的最大距離為2a(長軸長)． (2)雙曲線上兩點間的最小距離為2a(實軸長)． (3)橢圓焦半徑的取值范圍為[a－c，a＋c]，a－c與a＋c分別表示橢圓焦點到橢圓上的點的最小距離與最大距離． (4)拋物線上的點中頂點到拋物線準(zhǔn)線的距離最短． (三) 易錯易混要明了 1．利用橢圓、雙曲線的定義解題時，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件．如在雙曲線的定義中，有兩點是缺一不可的：其一，絕對值；其二，2a＜|F1F2|.如果不滿足第一個條件，動點到兩定點的距離之差為常數(shù)，而不是差的絕對值為常數(shù)，那么其軌跡只能是雙曲線的一支． [針對練1]　△ABC的頂點A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點C的軌跡方程是________． 解析：如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為P，過點P作AC，BC的垂線PD，PF，垂足分別為D，F(xiàn)，則|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，∴|CA|－|CB|＝|AD|－|BF|＝6. 根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為－＝1(x>3)． 答案：－＝1(x>3) 2．解決橢圓、雙曲線、拋物線問題時，要注意其焦點的位置． [針對練2]　若橢圓＋＝1的離心率為，則k的值為________． 解析：當(dāng)焦點在x軸上時，a2＝8＋k，b2＝9，e2＝＝＝＝，解得k＝4. 當(dāng)焦點在y軸上時，a2＝9，b2＝8＋k，e2＝＝＝＝，解得k＝－. 答案：4或－ 3．直線與圓錐曲線相交的必要條件是它們構(gòu)成的方程組有實數(shù)解，消元后得到的方程中要注意：二次項的系數(shù)是否為零，判別式Δ≥0的限制．尤其是在應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題時，必須先有“判別式Δ≥0”；在解決交點、弦長、中點、斜率、對稱或存在性問題時都應(yīng)在“Δ>0”下進(jìn)行． A組——10＋7提速練 一、選擇題 1．(2018浙江高考)雙曲線－y2＝1的焦點坐標(biāo)是(　　) A．(－，0)，(，0)　　　 　B．(－2,0)，(2,0) C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0,2) 解析：選B　∵雙曲線方程為－y2＝1， ∴a2＝3，b2＝1，且雙曲線的焦點在x軸上， ∴c＝＝＝2， 即得該雙曲線的焦點坐標(biāo)為(－2,0)，(2,0)． 2．雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率e＝，則它的漸近線方程為(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 解析：選A　由雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率e＝，可得＝，∴＋1＝，可得＝，故雙曲線的漸近線方程為y＝x. 3．(2017全國卷Ⅲ)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝a2，由圓心到直線bx－ay＋2ab＝0的距離d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的離心率e＝ ＝. 4．(2018溫州適應(yīng)性測試)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率e∈(1,2]，則其經(jīng)過第一、三象限的漸近線的傾斜角的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　因為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率e∈(1,2]，所以1<≤2，所以1<≤4，又c2＝a2＋b2，所以0<≤3，所以≥，所以≥. 因為－＝1(a>0，b>0)經(jīng)過第一、三象限的漸近線的方程為y＝x，設(shè)其傾斜角為α，則tan α＝≥，又α∈，所以α∈，故選C. 5．(2017全國卷Ⅱ)過拋物線C：y2＝4x的焦點F，且斜率為的直線交C于點M(M在x軸的上方)，l為C的準(zhǔn)線，點N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為(　　) A. B．2 C．2 D．3 解析：選C　由題意，得F(1,0)， 則直線FM的方程是y＝(x－1)． 由得x＝或x＝3. 由M在x軸的上方，得M(3,2)， 由MN⊥l，得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4. 又∠NMF等于直線FM的傾斜角，即∠NMF＝60， 因此△MNF是邊長為4的等邊三角形， 所以點M到直線NF的距離為4＝2. 6．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓