《新教材2021-2022學(xué)年人教A版必修第一冊(cè) 1.5.1　全稱量詞與存在量詞 學(xué)案.docx》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新教材2021-2022學(xué)年人教A版必修第一冊(cè) 1.5.1　全稱量詞與存在量詞 學(xué)案.docx（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、1.5全稱量詞與存在量詞 1. 5.1全稱量詞與存在量詞 核心知識(shí)目標(biāo) 核心素養(yǎng)目標(biāo) 1. 通過(guò)已知的數(shù)學(xué)實(shí)例，理解全稱量詞、存在量詞和全稱量詞命題、存在量詞命題的意義. 2. 掌握判斷全稱量詞命題和存在量詞命題真假的基本原則和方法. 1. 通過(guò)對(duì)全稱量詞與存在量詞、全稱量詞命題和存在量詞命題等概念的學(xué)習(xí)，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng). 2. 通過(guò)判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的真假，增強(qiáng)邏輯推理的核心素養(yǎng). ④知識(shí)探究?素養(yǎng)啟迪?情境導(dǎo)入 在某個(gè)城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞是這樣寫(xiě)的：“本人的理發(fā)技藝十分高超，譽(yù)滿全城.我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉

2、.我對(duì)各位表示熱誠(chéng)歡迎！”來(lái)找他刮臉的人絡(luò)繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人.可是，有一天,這位理發(fā)師從鏡子里看見(jiàn)自己的胡子長(zhǎng)了，他本能地抓起了剃刀，你們說(shuō)他能不能給他自己刮臉呢?如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢?他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉.這就是著名的“羅素理發(fā)師悖論”問(wèn)題. |(2)含參數(shù)的存在量詞命題為真時(shí)，常轉(zhuǎn)化為方程或不等式有解的問(wèn)|題來(lái)處理，最終借助根的判別式或函數(shù)等相關(guān)知識(shí)獲得解決. 翅備用例題［例1］用量詞符號(hào)“V”“親表述下列命題. ⑴所有實(shí)數(shù)x都能使x2+x+l>0成立；對(duì)所有實(shí)數(shù)a,b,方

3、程ax+b=O恰有一個(gè)解； (2) 有些整數(shù)既能被2整除,又能被3整除；某個(gè)四邊形不是平行四邊形. 解：(l)VxER,x2+x+l>0. (2) Va,b￡R,ax+b二0恰有一個(gè)解. ⑶3x￡Z,x既能被2整除又能被3整除. (4)北￡｛四邊形｝,x不是平行四邊形. ［例2］判斷下列命題的真假. (1) 3x,y為正實(shí)數(shù)，使x2+y2=0;存在一個(gè)四邊形不是平行四邊形； (2) 在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)都對(duì)應(yīng)一點(diǎn)P;存在兩個(gè)無(wú)理數(shù)，它們的乘積是有理數(shù). 解：⑴由于x2+y2=0時(shí),x二y=0,因此不存在正實(shí)數(shù)x,y使x2+y2=0,故為假命題. (2

4、) 真命題，如梯形. (3) 由有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系知，它是真命題. ⑷由于x=V3+l,y=V3-l時(shí)，xy=(V3+1)(V3-l)=2,因此是真命題. ［例3］若“VxE{x|x3a},x2Nl”是真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：因?yàn)閬V償1,所以xNl或xWT. 又xE{x|xNa}，則{x|xNa}呈{x|xNl}. 故a31.即實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|aNl}. ［例4］已知命題FxER,2齊*1)x+：W0”是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 解析：由題意可得“對(duì)VxER,2x2+(a-l)x+|>0恒成立”是真命題，令△-(a_l)2_4<0得T

5、

6、) 3xeR,x2+l=O3x￡Q,|x|+x，0 (B) Vx￡R,4x2>2x~1+3x2解析：由于方程x2-3x+2=0只對(duì)x=2和x=l成立,不能對(duì)VxGR成立，故A不對(duì),B中不存在x￡R滿足方程,D中x2-2x+l>0僅對(duì)x尹1時(shí)成立,故選C. 4, 若存在x￡(x|x〉0}，使方程x-a=O有解是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 解析：由x~a=O知a6(x|x>0},因此a>0. 答案:(a|a>0) 探究1:文中理發(fā)師說(shuō)：“我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉”. 對(duì)“所有”這一詞語(yǔ),你還能用其他詞語(yǔ)代替嗎？ 提示：“任意一個(gè)”“一切”“每一個(gè)”“任給”“凡是”等.

7、 探究2:上述詞語(yǔ)都有什么含義？ 提示:表示某個(gè)范圍內(nèi)的整體或全部. ?知識(shí)探究 1. 全稱量詞與全稱量詞命題 ［問(wèn)題1］觀察下面的兩個(gè)語(yǔ)句，思考并回答下列問(wèn)題： 下面的兩個(gè)語(yǔ)句都是命題嗎?兩者之間有什么關(guān)系？ P:xW3; Q：對(duì)所有的x￡R,xW3. 提示:語(yǔ)句P無(wú)法判斷真假，不是命題;語(yǔ)句Q在語(yǔ)句P的基礎(chǔ)上增加了“所有的”，可以判斷真假，是命題.語(yǔ)句P是命題Q中的一部分.梳理1全稱量詞與全稱量詞命題 全稱量詞 定義 短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞 符號(hào)表 示 V 全稱量詞命題 定義 含有全稱量詞的命題,叫做全稱量詞命題 一般形

8、式 對(duì)M中任意一個(gè)x,p(x)成立 符號(hào)表 Vx^M,p(x) 示 2. 存在量詞與存在量詞命題 ［問(wèn)題2-1］觀察語(yǔ)句①②:①存在一個(gè)xeR,使3x+l=5;②至少有一個(gè)x￡Z,x能被2和3整除. ①②是命題嗎?若是命題,判斷其真假. 提示:是,都為真命題. ［問(wèn)題2-2］你能寫(xiě)出一些與［問(wèn)題2-1］中具有相同意義的詞語(yǔ)嗎？提示:某些，有的，有些. 梳理2存在量詞與存在量詞命題?小試身手 存在 定義 短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫 做存在量詞 量詞 符號(hào)表 示 a 存在 量 詞命 題 定義 含有存在量詞的命題,叫做存在量詞

9、命題 一般形 式 存在M中的元素x,p(x)成立 符號(hào)表 示 北墨虬p(x) 1.下列命題是存在量詞命題的是(B) (A) 任意給定實(shí)數(shù)x,x2^0 (B) 存在有理數(shù)x,使得3x-2=0(0每一個(gè)有理數(shù)都能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式 (D)所有的自然數(shù)都大于或等于零下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是(C) (A) 每個(gè)二次函數(shù)的圖象都開(kāi)口向上存在一條直線與已知直線不平行 (0對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,若a-bW0,則aWb(D)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使等式x2-2x+1=0成立 解析:選項(xiàng)B,D是存在量詞命題，故應(yīng)排除;對(duì)于A,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的圖象開(kāi)口向下，

10、也應(yīng)排除，故應(yīng)選C. 2. (教材P28練習(xí)Ti、T2改編)下列命題中是假命題的是. (1) VxGR,2x2-3x>0;Vxe(1,3,0),2x+l>0; (2) 3x^N,使VJWx;3x￡N*,使x為29的約數(shù). 解析：因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí),2x2-3x=0,故⑴是假命題，易知⑵,(3),(4)均為真命題. 答案：⑴若命題“任意xER,ax?-ax-2WO"是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍 是?解析：當(dāng)a=0時(shí)，不等式顯然成立. 當(dāng)a^O時(shí)，依題意知｝；上八解得-8Wa〈0.綜上可知-8Wa(J=+8a<0, WO. 答案：(a|-8

11、一全稱量詞命題與存在量詞命題的判定:例1］判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題： (1) 有一個(gè)實(shí)數(shù)a不能有平方根；所有不等式的解集A,都滿足ACR; (2) 不相交的兩條直線是平行直線；銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角； (3) 負(fù)數(shù)的平方是正數(shù). 解：(1)中因?yàn)楹写嬖诹吭~“有一個(gè)”，所以命題(1)為存在量詞命題. (2) 含有全稱量詞，所以(2)為全稱量詞命題. (3) 可以改寫(xiě)為“所有不相交的兩條直線是平行直線”，因此是全稱量詞命題. (4) 省略了“所有”，因此“銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角”是全稱量詞命題. (5) 省略了全稱量詞“所有”或“都”，是全稱量詞命題

12、. 即時(shí)訓(xùn)練1T：判斷下列語(yǔ)句是全稱量詞命題,還是存在量詞命題. ① 凸多邊形的外角和等于360°;矩形的對(duì)角線不相等； ② 若一個(gè)四邊形是菱形,則這個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直；有些實(shí)數(shù)a,b能使|a-b|=|a|+|b|; ③ 方程3x-2y=10有整數(shù)解.解:①可以改為“所有的凸多邊形的外角和等于360?！?，故為全稱量詞命題. ② 可以改為“所有矩形的對(duì)角線不相等”，故為全稱量詞命題. ③ 若一個(gè)四邊形是菱形，也就是所有的菱形，故為全稱量詞命題. ④ 含存在量詞“有些”，故為存在量詞命題. ⑤ 可改寫(xiě)為“存在一對(duì)整數(shù)x,y,使3x-2y=10成立”.故為存在量詞命題. 寸方

13、法總結(jié) (1) 判斷一個(gè)命題是否為全稱量詞命題或存在量詞命題，關(guān)鍵看命題中是否含有全稱量詞或存在量詞. (2) 要注意有些全稱量詞命題并不含全稱量詞，這時(shí)要根據(jù)命岫反的意義去添補(bǔ)量詞再判斷,對(duì)于同一個(gè)全稱量詞命題或存在量詞命題的表述方法可能不同. 孑易錯(cuò)警示全稱量詞命題可能省略全稱量詞,存在量詞命題的存在量詞一艘示能省略. 點(diǎn)探究點(diǎn)二全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷［例2］判斷下列命題的真假： (l)VxER,x2+l>0;(2)VxGN,3x^Z,x30. 因此命題"VxER,x'lX)

14、"是真命題. ⑵由于OGN,而且當(dāng)x=0時(shí),VO^l不成立. 因此命題“Vx￡N,MN1”是假命題. (3) 由于-lez,而且當(dāng)x=-l時(shí)，有(-1)3<1. 因此命題"mxEZ,xll”是真命題. (4) 由于使x』3成立的數(shù)只有龍和-必，而它們都不是有理數(shù)，因而沒(méi)有任何一個(gè)有理數(shù)的平方能等于3. 因此命題FxEQ,x?二3"是假命題. 即時(shí)訓(xùn)練2-1:(多選題)下面的命題中是真命題的是()(A)VxGR,|x|>0(B)VxUN,xNl (B) 3x￡Z,x30”是假命題.

15、對(duì)B,由于0EN,所以命題“VxGN,xNl"是假命題. 對(duì)C,由于TGZ,且當(dāng)x=T時(shí),x3

16、x,使p(x)成立即可;否則，這一存在量詞命題就是假命題. 三Q探究點(diǎn)三由全稱量詞命題與存在量詞命題的真假求參數(shù)［例3］已知命題p:3xeR,x2+x+2-a<0,且p為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解：因?yàn)槊}P為真命題，且二次函數(shù)y=x2+x+2-a的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，所以該拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)，所以二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程有兩個(gè)根， 所以△二1-4(2~a)>0,解得a〉；，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為｛a|a〉；｝. 4［變式訓(xùn)練3-1］將本例中的條件改為FxER,x2+x+2-a=0”，其他條件不變，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解：因?yàn)閜為真命題，所以方程x2+x+2~a=0有實(shí)根

17、，則△=1-4(2-2)N0,解得aN；, 4即實(shí)數(shù)a的取值范圍為｛a|aN；｝. 4［變式訓(xùn)練3-2］將本例中的條件改為^VxGR,x2+x+2-a>0"，其他條件不變，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解:法一因?yàn)镻為真命題,則函數(shù)y=x2+x+2-a的圖象恒在x軸上方,又x2+x+2_a=(x+-)2+--a,則Z-a〉O,故a<-,2444 即實(shí)數(shù)a的取值范圍為｛a|a〈；｝4 法二由于VxER,x2+x+2-a>0恒成立，則△=1-4(2~a)<0,解得a〈；， 即實(shí)數(shù)a的取值范圍為｛a|a〈；｝. 4即時(shí)訓(xùn)練3-1:若對(duì)任意x>3,有x>a恒成立，則a的取值范圍是. 解析：由于對(duì)任意x>3,有x>a恒成立，即大于3的數(shù)恒大于a,所以aW3. 答案:｛a|aW3｝即時(shí)訓(xùn)練3-2:"存在x￡｛x|xWa｝,X?=1”是假命題，則a的取值范圍是. 解析:依題意x2=l在集合(x|x