第20練　圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì) [明晰考情]　1.命題角度：圓錐曲線的定義、方程與幾何性質(zhì)是高考考查的熱點.2.題目難度：中等偏難. 考點一　圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 方法技巧　(1)應(yīng)用圓錐曲線的定義解題時，一定不要忽視定義中的隱含條件. (2)凡涉及橢圓或雙曲線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到焦點距離，一般可以利用定義進行轉(zhuǎn)化. (3)求解圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是“先定型，后計算”. 1.已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C為一個焦點作過A，B的橢圓，則橢圓的另一個焦點F的軌跡方程是(　　) A.y2－＝1 B.x2－＝1 C.y2－＝1(y≤－1) D.x2－＝1(x≥1) 答案　C 解析　由兩點間距離公式，可得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，因為A，B都在橢圓上，所以|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2<14，故F的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的下支.由c＝7，a＝1，得b2＝48，所以F的軌跡方程是y2－＝1(y≤－1)，故選C. 2.已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，則雙曲線的方程為(　　) A.－y2＝1 B.x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　A 解析　依題意得＝，① 又a2＋b2＝c2＝5，② 聯(lián)立①②得a＝2，b＝1. ∴所求雙曲線的方程為－y2＝1. 3.已知橢圓＋＝1的兩個焦點是F1，F(xiàn)2，點P在該橢圓上，若|PF1|－|PF2|＝2，則△PF1F2的面積是________. 答案　 解析　由橢圓的方程可知a＝2，c＝，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2， 所以|PF1|＝3，|PF2|＝1. 又|F1F2|＝2c＝2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2為直角三角形，且∠PF2F1為直角， 所以＝|F1F2||PF2|＝21＝. 4.已知P是拋物線y2＝4x上的一個動點，Q是圓(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一個動點，N(1,0)是一個定點，則|PQ|＋|PN|的最小值為________. 答案　3 解析　由拋物線方程y2＝4x，可得拋物線的焦點F(1,0)，又N(1,0)，所以N與F重合.過圓(x－3)2＋(y－1)2＝1的圓心M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MH，交圓于Q，交拋物線于P，則|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3. 考點二　圓錐曲線的幾何性質(zhì) 方法技巧　(1)確定橢圓和雙曲線的離心率的值及范圍，就是確立一個關(guān)于a，b，c的方程(組)或不等式(組)，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式. (2)要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標(biāo)的范圍等. 5.(2018全國Ⅱ)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　) A.y＝x B.y＝x C.y＝x D.y＝x 答案　A 解析　雙曲線－＝1的漸近線方程為bxay＝0. 又∵離心率＝＝， ∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a(a＞0，b＞0). ∴漸近線方程為axay＝0，即y＝x. 故選A. 6.(2018全國Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點.若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60，則C的離心率為(　　) A.1－ B.2－ C. D.－1 答案　D 解析　在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60，設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0)， 且焦距|F1F2|＝2， 則|PF2|＝1，|PF1|＝， 由橢圓的定義可知，2a＝1＋，2c＝2， 得a＝，c＝1， 所以離心率e＝＝＝－1. 7.(2017山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右支與焦點為F的拋物線x2＝2py(p＞0)交于A，B兩點，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為________. 答案　y＝x 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， ∴y1＋y2＝. 又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|， ∴y1＋＋y2＋＝4， 即y1＋y2＝p， ∴＝p，即＝，∴＝， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝x. 8.已知A是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左頂點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，P為雙曲線上一點，G是△PF1F2的重心，若＝λPF1，則雙曲線的離心率為________. 答案　3 解析　因為＝λPF1，所以∥PF1， 所以＝＝(O為坐標(biāo)原點)，即＝， 所以e＝＝3. 考點三　圓錐曲線的綜合問題 方法技巧　(1)圓錐曲線范圍、最值問題的常用方法 定義性質(zhì)轉(zhuǎn)化法；目標(biāo)函數(shù)法；條件不等式法. (2)圓錐曲線中的定值、定點問題可以利用特例法尋求突破，然后對一般情況進行證明. 9.已知方程－＝1表示橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A.(－∞，－1) B.(－2，＋∞) C.∪(－1，＋∞) D.∪ 答案　D 解析　由－＝1轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1， 假設(shè)焦點在x軸上，則2＋m＞－(m＋1)＞0， 解得－＜m＜－1； 假設(shè)焦點在y軸上，則－(m＋1)＞2＋m＞0， 解得－2＜m＜－. 綜上可知，m的取值范圍為∪. 10.(2016四川)設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是以F為焦點的拋物線y2＝2px(p>0)上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|＝2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為(　　) A.B.C.D.1 答案　C 解析　如圖，由題意可知F，設(shè)P點坐標(biāo)為，顯然， 當(dāng)y0<0時，kOM<0；當(dāng)y0>0時，kOM>0.要求kOM的最大值，不妨設(shè)y0>0，則＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝，kOM＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)y＝2p2時等號成立.故選C. 11.過拋物線y＝ax2 (a>0)的焦點F作一條直線交拋物線于A，B兩點，若線段AF，BF的長分別為m，n，則＝________. 答案　 解析　顯然直線AB的斜率存在，故設(shè)直線方程為y＝kx＋，與y＝ax2聯(lián)立，消去y得ax2－kx－＝0， 設(shè)A(x1，ax)，B(x2，ax)，則x1＋x2＝，x1x2＝－， x＋x＝＋，m＝ax＋，n＝ax＋， ∴mn＝，m＋n＝，∴＝. 12.(2018齊齊哈爾模擬)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的短軸長為2，上頂點為A，左頂點為B，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，且△F1AB的面積為，點P為橢圓上的任意一點，則＋的取值范圍為________. 答案　 解析　由已知得2b＝2，故b＝1， ∵△F1AB的面積為， ∴(a－c)b＝， ∴a－c＝2－， 又a2－c2＝(a－c)(a＋c)＝b2＝1， ∴a＝2，c＝， ∴＋＝ ＝＝， 又2－≤|PF1|≤2＋， ∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4， ∴1≤＋≤4， 即＋的取值范圍為. 1.若點O和點F(－2,0)分別為雙曲線－y2＝1(a＞0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則的取值范圍為(　　) A.[3－2，＋∞) B.[3＋2，＋∞) C. D. 答案　B 解析　由題意，得22＝a2＋1，即a＝，設(shè)P(x，y)，x≥，＝(x＋2，y)，則＝(x＋2)x＋y2＝x2＋2x＋－1＝2－，因為x≥，所以的取值范圍為[3＋2，＋∞). 2.若橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，且短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形，焦點到同側(cè)頂點的距離為，則橢圓的方程為________________. 答案?。?或＋＝1 解析　由題意，得 所以 所以b2＝a2－c2＝9. 所以當(dāng)橢圓焦點在x軸上時，橢圓的方程為＋＝1；當(dāng)橢圓焦點在y軸上時，橢圓的方程為＋＝1. 故橢圓的方程為＋＝1或＋＝1. 3.已知A(1,2)，B(－1,2)，動點P滿足⊥.若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線與動點P的軌跡沒有公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是________. 答案　(1,2) 解析　設(shè)P(x，y)，由題設(shè)條件， 得動點P的軌跡方程為(x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－2)＝0， 即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)為圓心，1為半徑的圓. 又雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝x，即bxay＝0， 由題意，可得>1，即>1，所以e＝<2， 又e>1，故1<e<2. 解題秘籍　(1)橢圓的焦點位置不明確時，要分焦點在x軸上或y軸上進行討論. (2)范圍問題要注意圓錐曲線上點的坐標(biāo)的范圍和幾何意義，不要忽略離心率本身的限制條件. 1. (2018全國Ⅰ)已知橢圓C：＋＝1的一個焦點為(2,0)，則C的離心率為(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　∵a2＝4＋22＝8，∴a＝2，∴e＝＝＝. 故選C. 2.(2017全國Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點，則C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　B 解析　由y＝x，可得＝.① 由橢圓＋＝1的焦點為(3,0)，(－3,0)， 可得a2＋b2＝9.② 由①②可得a2＝4，b2＝5. 所以C的方程為－＝1. 故選B. 3.(2017全國Ⅰ)已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點，P是C上一點，且PF與x軸垂直，點A的坐標(biāo)是(1,3)，則△APF的面積為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因為F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點， 所以F(2,0). 因為PF⊥x軸，所以可設(shè)點P的坐標(biāo)為(2，yP). 因為P是C上一點， 所以4－＝1，解得yP＝3， 所以P(2，3)，|PF|＝3. 又因為A(1,3)，所以點A到直線PF的距離為1， 所以S△APF＝|PF|1＝31＝. 故選D. 4.已知直線l過點A(－1,0)且與⊙B：x2＋y2－2x＝0相切于點D，以坐標(biāo)軸為對稱軸的雙曲線E過點D，一條漸近線平行于l，則E的方程為(　　) A.－＝1 B.－x2＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　D 解析　直線l的斜率存在，可設(shè)直線方程為y＝k(x＋1)， ⊙B：x2＋y2－2x＝0的圓心為(1,0)，半徑為1，由相切可得圓心到直線的距離d＝＝1，即k＝， 所以直線l的方程為y＝(x＋1)，故漸近線方程為y＝x，聯(lián)立直線l和圓的方程，解得x＝，y＝，即D，設(shè)雙曲線方程為y2－x2＝m(m≠0)，代入點D，解得m＝， 所以雙曲線方程為－＝1. 5.(2017全國Ⅱ)若雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則C的離心率為(　　) A.2B.C.D. 答案　A 解析　設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y＝x， 圓的圓心為(2,0)，半徑為2， 由弦長為2，得出圓心到漸近線的距離為＝. 根據(jù)點到直線的距離公式，得＝， 解得b2＝3a2.所以C的離心率e＝＝＝＝2. 故選A. 6.(2018天津)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點.設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　C 解析　如圖，不妨設(shè)A在B的上方， 則A，B.其中的一條漸近線為bx－ay＝0，則d1＋d2＝＝＝2b＝6，∴b＝3. 又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，∴a＝. ∴雙曲線的方程為－＝1. 故選C. 7.已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點，A，B分別為C的左、右頂點.P為C上一點，且PF⊥x軸.過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　設(shè)M(－c，m)(m≠0)，則E，OE的中點為D，則D，又B，D，M三點共線， 所以＝，a＝3c，所以e＝. 8.設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1||PF2|＝ab，則該雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D.3 答案　B 解析　不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點， |PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1－r2＝2a， 又r1＋r2＝3b，故r1＝，r2＝. 又r1r2＝ab，所以＝ab， 解得＝(負(fù)值舍去)， 故e＝＝＝＝， 故選B. 9.若雙曲線x2－＝1的離心率為，則實數(shù)m＝________. 答案　2 解析　由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知， a＝1，b2＝m，c＝， 故雙曲線的離心率e＝＝＝， ∴1＋m＝3，解得m＝2. 10.(2017全國Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|＝________. 答案　6 解析　如圖，不妨設(shè)點M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點A，過點M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點B，交y軸于點P， ∴PM∥OF. 由題意知，F(xiàn)(2,0)， |FO|＝|AO|＝2. ∵點M為FN的中點， PM∥OF， ∴|MP|＝|FO|＝1. 又|BP|＝|AO|＝2， ∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3. 由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3， 故|FN|＝2|MF|＝6. 11.已知拋物線y2＝2px(p>0)上的一點M(1，t)(t>0)到焦點的距離為5，雙曲線－＝1(a>0)的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數(shù)a的值為________. 答案　3 解析　由題意知1＋＝5，∴p＝8. ∴M(1,4)， 由于雙曲線的左頂點A(－a,0)， 且直線AM平行于雙曲線的一條漸近線， ∴＝，則a＝3. 12.已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是橢圓上異于長軸端點的任意一點，若M是線段PF1上一點，且滿足＝2，＝0，則橢圓C的離心率的取值范圍為________. 答案　 解析　設(shè)P(x，y)(y≠0)，取MF1的中點N， 由＝2知，＝， 解得點N， 又＝0， 所以⊥， 連接ON，由三角形的中位線可知⊥， 即(x，y)＝0， 整理得(x－c)2＋y2＝c2(y≠0)， 所以點P的軌跡為以(c,0)為圓心，c為半徑的圓(去除兩點(0,0)，(2c,0))，要使得圓與橢圓有公共點，則 a－c＜c，所以e＝＞，又0<e<1，所以橢圓的離心率的取值范圍為.