解答題標(biāo)準(zhǔn)練(一) 1．如圖，在△ABC中，已知B＝，AC＝4，D為BC邊上一點(diǎn)． (1)若AD＝2，S△DAC＝2，求DC的長(zhǎng)； (2)若AB＝AD，試求△ADC的周長(zhǎng)的最大值． 解　(1)∵S△DAC＝2， ∴ADACsin∠DAC＝2， ∴sin∠DAC＝. ∵∠DAC<∠BAC<π－＝， ∴∠DAC＝. 在△ADC中，由余弦定理得， DC2＝AD2＋AC2－2ADACcos ， ∴DC2＝4＋48－224＝28， ∴DC＝2. (2)∵AB＝AD，B＝， ∴△ABD為正三角形． 在△ADC中，根據(jù)正弦定理，可得 ＝＝， ∴AD＝8sin C，DC＝8sin， ∴△ADC的周長(zhǎng)為 AD＋DC＋AC＝ 8sin C＋8sin＋4 ＝8＋4 ＝8＋4 ＝8sin＋4， ∵∠ADC＝，∴0<C<， ∴<C＋<， ∴當(dāng)C＋＝， 即C＝時(shí)，△ADC的周長(zhǎng)取得最大值，且最大值為8＋4. 2．(2018河北省衡水中學(xué)模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式； (2)若cn＝設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求T2n. 解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 等比數(shù)列{bn}的公比為q(q≠0)， ∵a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3， ∴ 解得d＝2，q＝2， ∴an＝2n＋1(n∈N*)，bn＝2n－1(n∈N*)． (2)由(1)知，Sn＝＝n(n＋2)， ∴cn＝ ∴T2n＝＋(21＋23＋25＋…＋22n－1) ＝－(n∈N*)． 3．(2018南昌模擬)十九大提出：堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，做到精準(zhǔn)扶貧，某幫扶單位為幫助定點(diǎn)扶貧村真正脫貧，堅(jiān)持扶貧同扶智相結(jié)合，幫助貧困村種植蜜柚，并利用互聯(lián)網(wǎng)電商渠道進(jìn)行銷售．為了更好地銷售，現(xiàn)從該村的蜜柚樹(shù)上隨機(jī)摘下了100個(gè)蜜柚進(jìn)行測(cè)重，其質(zhì)量分布在區(qū)間[1 500,3 000]內(nèi)(單位：克)，統(tǒng)計(jì)質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出其頻率分布直方圖如圖所示： (1)按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在[1 750,2 000)，[2 000,2 250)內(nèi)的蜜柚中隨機(jī)抽取5個(gè)，再?gòu)倪@5個(gè)蜜柚中隨機(jī)抽取2個(gè)，求這2個(gè)蜜柚質(zhì)量均小于2 000克的概率； (2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均值，以頻率代表概率，已知該貧困村的蜜柚樹(shù)上大約還有5 000個(gè)蜜柚待出售，某電商提出兩種收購(gòu)方案： A．所有蜜柚均以40元/千克收購(gòu)； B．低于2 250克的蜜柚以60元/個(gè)收購(gòu)，高于或等于2 250的以80元/個(gè)收購(gòu)． 請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算為該村選擇收益最好的方案． 解　(1)由題意得蜜柚質(zhì)量在[1 750,2 000)和[2 000，2 250)內(nèi)的比例為2∶3， ∴應(yīng)分別在質(zhì)量為[1 750,2 000)，[2 000,2 250)內(nèi)的蜜柚中各抽取2個(gè)和3個(gè)． 記抽取質(zhì)量在[1 750,2 000)內(nèi)的蜜柚為A1，A2， 質(zhì)量在[2 000,2 250)內(nèi)的蜜柚為B1，B2，B3， 則從這5個(gè)蜜柚中隨機(jī)抽取2個(gè)的情況共有以下10種： (A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)， 其中質(zhì)量均小于2 000克的僅有(A1，A2)這1種情況， 故所求概率為. (2)方案A好，理由如下： 由頻率分布直方圖可知，蜜柚質(zhì)量在[1 500,1 750)的頻率為2500.000 4＝0.1， 同理，蜜柚質(zhì)量在[1 750,2 000)，[2 000,2 250)，[2 250，2 500)，[2 500,2 750)，[2 750,3 000]內(nèi)的頻率依次為0.1，0.15,0.4,0.2,0.05. 若按方案A收購(gòu)： 根據(jù)題意各段蜜柚個(gè)數(shù)依次為 500,500,750,2 000,1 000,250， 于是總收益為 401 000 ＝250[(6＋7)2＋(7＋8)2＋(8＋9)3＋(9＋10)8＋(10＋11)4＋(11＋12) 1]401 000＝2550(26＋30＋51＋152＋84＋23)＝457 500(元)． 若按方案B收購(gòu)： ∵蜜柚質(zhì)量低于2 250克的個(gè)數(shù)為 (0.1＋0.1＋0.15)5 000＝1 750， 蜜柚質(zhì)量高于2 250克的個(gè)數(shù)為 5 000－1 750＝3 250， ∴收益為1 75060＋3 25080 ＝25020(73＋134)＝365 000(元)， ∴方案A的收益比方案B的收益高，應(yīng)該選擇方案A. 4．(2018威海模擬)如圖，在多面體ABCDEF中，BC∥EF，BF＝，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，四邊形ACDF是菱形，∠FAC＝60，M，N分別是AB，DF的中點(diǎn)．求證： (1)MN∥平面AEF； (2)平面ABC⊥平面ACDF. 證明　(1)取AC的中點(diǎn)O，連接OM，ON， 因?yàn)镸，N分別是AB，DF的中點(diǎn)， 所以在菱形ACDF中，ON∥AF， 又ON?平面AEF，AF?平面AEF， 所以O(shè)N∥平面AEF. 在△ABC中，OM∥BC， 又BC∥EF，所以O(shè)M∥EF， 又OM?平面AEF，EF?平面AEF， 所以O(shè)M∥平面AEF， 又OM∩ON＝O，所以平面OMN∥平面AEF， 又MN?平面OMN，所以MN∥平面AEF. (2)連接OF，OB， 因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形， 所以BO⊥AC，BO＝， 因?yàn)樗倪呅蜛CDF是菱形，所以AF＝2， 因?yàn)椤螰AC＝60， 所以O(shè)F⊥AC，OF＝， 因?yàn)锽F＝，所以BO2＋OF2＝BF2， 所以BO⊥OF. 又FO∩AC＝O，F(xiàn)O，AC?平面ACDF， 所以BO⊥平面ACDF， 又BO?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACDF. 5．(2018咸陽(yáng)模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)重合，且橢圓C的離心率為. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)P是橢圓C的右頂點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作兩條直線分別與橢圓C交于另一點(diǎn)A，B，若直線PA，PB的斜率之積為－，求證：直線AB恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)． 解　(1)依題意得 解得a＝2，b＝，即橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)直線AB的方程為x＝ty＋m(－2<m<2)， 則由得3(ty＋m)2＋4y2＝12， 即(3t2＋4)y2＋6tmy＋3m2－12＝0， Δ＝(6tm)2－4(3t2＋4)(3m2－12) ＝144t2－48m2＋192>0， y1＋y2＝，y1y2＝. 設(shè)A(ty1＋m，y1)，B(ty2＋m，y2)， 而P(2,0)，則由kPAkPB＝－，得 ＝－， 即4y1y2＋9(ty1＋m－2)(ty2＋m－2)＝0， ∴(4＋9t2)y1y2＋9t(m－2)(y1＋y2)＋9(m－2)2＝0， 即(4＋9t2)＋9t(m－2)＋9(m－2)2＝0， 整理得m2－3m＋2＝0， 解得m＝1或m＝2(舍去)，當(dāng)m＝1時(shí)，滿足Δ>0， ∴直線AB的方程為x＝ty＋1， 即直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(1,0)． 6．(2018峨眉山模擬)已知函數(shù)f(x)＝ex(sin x－ax2＋2a－e)，其中a∈R，e＝2.718 28…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)． (1)當(dāng)a＝0時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)當(dāng)≤a≤1時(shí)，求證：對(duì)任意的x∈[0，＋∞)，f(x)<0. (1)解　當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝ex(sin x－e)， f′(x)＝ex(sin x＋cos x－e) ＝ex<0， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減． (2)證明　要證ex<0對(duì)任意的x∈[0，＋∞)恒成立， 即證sin x－ax2＋2a－e<0對(duì)任意的x∈[0，＋∞)恒成立， 令g(a)＝(2－x2)a＋sin x－e， 即證當(dāng)a∈時(shí)， g(a)＝(2－x2)a＋sin x－e<0恒成立， 即證　成立． ∵sin x＋1<e， ∴①式成立． 現(xiàn)證明②式成立： 令h(x)＝sin x－x2＋2－e，h′(x)＝cos x－2x， 設(shè)存在x0∈[0，＋∞)， 使得h′(x0)＝cos x0－2x0＝0， 則0<x0<， h(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，在[x0，＋∞)上單調(diào)遞減， ∴h(x)max＝h(x0)＝sin x0－x＋2－e ＝sin x0－＋2－e ＝＋sin x0＋－e. ∵0<x0<，∴sin x0∈， ∴＋sin x0＋－e<－e<0. 綜上所述，當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)<0恒成立．