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第26練 應用題
[明晰考情] 1.命題角度：應用題是江蘇高考必考題，常見模型有函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等.
2.題目難度：中檔難度.
考點一 建立函數(shù)模型
方法技巧 現(xiàn)實生活中存在的最優(yōu)化問題，常?？蓺w結為函數(shù)的最值問題，通過建立相應的目標函數(shù)，確定變量的限制條件，運用函數(shù)知識和方法去解決.
1.某經(jīng)銷商計劃銷售一款新型的空氣凈化器，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：當每臺凈化器的利潤為x(單位：元，x＞0)時，銷售量q(x)(單位：百臺)與x的關系滿足：若x不超過20，則q(x)＝；若x大于或等于180，則銷售量為零；當20≤x≤180時，q(x)＝a－b(a，b為實常數(shù)).
(1)求函數(shù)q(x)的表達式；
(2)當x為多少時，總利潤(單位：元)取得最大值，并求出該最大值.
解 (1)當20≤x≤180時，由
得
故q(x)＝
(2)設總利潤f(x)＝xq(x)，
由(1)得f(x)＝
當0＜x≤20時，f(x)＝＝126000－，f(x)在(0,20]上單調(diào)遞增，
所以當x＝20時，f(x)有最大值120000.
當20＜x＜180時，f(x)＝9000x－300x，f′(x)＝9000－450，
令f′(x)＝0，得x＝80.
當20＜x＜80時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，
當80＜x<180時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，
所以當x＝80時，f(x)有最大值240000.
當x≥180時，f(x)＝0.
答 當x為80時，總利潤取得最大值240000元.
2.如圖是某設計師設計的Y型飾品的平面圖，其中支架OA，OB，OC兩兩成120，OC＝1，AB＝OB＋OC，且OA＞OB.現(xiàn)設計師在支架OB上裝點普通珠寶，普通珠寶的價值為M，且M與OB長成正比，比例系數(shù)為k(k為正常數(shù))；在△AOC區(qū)域(陰影區(qū)域)內(nèi)鑲嵌名貴珠寶，名貴珠寶的價值為N，且N與△AOC的面積成正比，比例系數(shù)為4k.設OA＝x，OB＝y(tǒng).
(1)求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
(2)求N－M的最大值及相應的x的值.
解 (1)在△AOB中，∠AOB＝120，OA＝x，OB＝y(tǒng)，AB＝y(tǒng)＋1.
由余弦定理，得(y＋1)2＝x2＋y2＋xy，即y＝.
由x＞y＞0，得x＞＞0，解得1＜x＜.
所以y＝，x∈.
(2)由(1)得M＝ky＝k，N＝4kS△AOC＝3kx，
所以N－M＝k，x∈.
記f(x)＝3x－＝4x＋2＋，x∈.
則f′(x)＝4－，令f′(x)＝0，得x＝2－.
當x變化時，f(x)，f′(x)的變化情況如下：
x
2－
f′(x)
＋
0
－
f(x)
單調(diào)遞增
10－4
單調(diào)遞減
由上表可知，f(x)max＝f＝10－4.
答 當x＝2－時，N－M取最大值k(10－4).
3.如圖，某森林公園有一直角梯形區(qū)域ABCD，其四條邊均為道路，AD∥BC，∠ADC＝90，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米.現(xiàn)甲、乙兩管理員同時從A地出發(fā)勻速前往D地，甲的路線是AD，速度為6千米/時，乙的路線是ABCD，速度為v千米/時.
(1)若甲、乙兩管理員到達D地的時間相差不超過15分鐘，求乙的速度v的取值范圍；
(2)已知對講機有效通話的最大距離是5千米，若乙先到達D地，且乙從A地到D地的過程中始終能用對講機與甲保持有效通話，求乙的速度v的取值范圍.
解 (1)由題意，可得AD＝12千米.
由題意可知≤，
解得≤v≤.
(2)方法一 設經(jīng)過t小時，甲、乙之間的距離的平方為f(t).
由于乙先到達D地，故＜2，即v＞8.
①當0＜vt≤5，即0＜t≤時，f(t)＝(6t)2＋(vt)2－26tvtcos∠DAB＝t2.
因為v2－v＋36＞0，
所以當t＝時，f(t)取最大值，
所以2≤25，解得v≥.
②當5
1)，離地面高am(1≤a≤2)的C處觀賞該壁畫，設觀賞視角∠ACB＝θ.
(1)若a＝1.5，問：觀察者離墻多遠時，視角θ最大？
(2)若tanθ＝，當a變化時，求x的取值范圍.
解 (1)當a＝1.5時，過點C作AB的垂線，垂足為D，則BD＝0.5m，且θ＝∠ACD－∠BCD，
又觀察者離墻xm，且x>1，則tan∠BCD＝，
tan∠ACD＝.
所以tanθ＝tan(∠ACD－∠BCD)
＝＝＝≤＝，
當且僅當x＝，即x＝>1時取等號.
又因為tanθ在上單調(diào)遞增，
所以當觀察者離墻m時，視角θ最大.
(2)由題意得tan∠BCD＝，tan∠ACD＝，
又tanθ＝，所以tanθ＝tan(∠ACD－∠BCD)
＝＝＝.
所以a2－6a＋8＝－x2＋4x，
當1≤a≤2時，0≤a2－6a＋8≤3，所以0≤－x2＋4x≤3，
即解得0≤x≤1或3≤x≤4.
又因為x>1，所以3≤x≤4，所以x的取值范圍為[3,4].
7.某市對城市路網(wǎng)進行改造，擬在原有a個標段(注：一個標段是指一定長度的機動車道)的基礎上，新建x個標段和n個道路交叉口，其中n與x滿足n＝ax＋5.已知新建一個標段的造價為m萬元，新建一個道路交叉口的造價是新建一個標段的造價的k倍.
(1)寫出新建道路交叉口的總造價y(萬元)與x的函數(shù)關系式；
(2)設P是新建標段的總造價與新建道路交叉口的總造價之比.若新建的標段數(shù)是原有標段數(shù)的20%，且k≥3.問：P能否大于？并說明理由.
解 (1)依題意得y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*.
(2)方法一 依題意x＝0.2a.
所以P＝＝＝＝≤＝≤＝＜.
故P不可能大于.
方法二 依題意得x＝0.2a.
所以P＝＝＝＝.
假設P＞，得ka2－20a＋25k＜0.
因為k≥3，所以Δ＝100(4－k2)＜0，所以不等式ka2－20a＋25k＜0無解，與假設矛盾，故P≤.
故P不可能大于.
8.如圖，某工業(yè)園區(qū)是半徑為10km的圓形區(qū)域，離園區(qū)中心O點5km處有一中轉站P，現(xiàn)準備在園區(qū)內(nèi)修建一條筆直公路AB經(jīng)過中轉站，公路AB把園區(qū)分成兩個區(qū)域.
(1)設中心O對公路AB的視角為α，求α的最小值，并求較小區(qū)域面積的最小值；
(2)為方便交通，準備過中轉站P在園區(qū)內(nèi)再修建一條與AB垂直的筆直公路CD，求兩條公路長度和的最小值.
解 (1)如圖1，作OH⊥AB，設垂足為H，記OH＝d，
α＝2∠AOH，因為cos∠AOH＝，
要使α有最小值，只需要d有最大值，結合圖象，
可得d≤OP＝5km，
當且僅當AB⊥OP時，dmax＝5km.
此時αmin＝2∠AOH＝2＝.
設AB把園區(qū)分成兩個區(qū)域，其中較小區(qū)域的面積記為S，
由題意得S＝f(α)＝S扇形－S△AOB＝50(α－sinα)，
f′(α)＝50(1－cosα)≥0恒成立，所以f(α)為增函數(shù)，
所以Smin＝f＝50km2.
答 視角的最小值為，較小區(qū)域面積的最小值是50km2.
圖1
(2)如圖2，過O分別作OH⊥AB，OH1⊥CD，垂足分別是H，H1，記OH＝d1，OH1＝d2，由(1)可知d1∈[0,5]，
所以d＋d＝OP2＝25，且d＝25－d，
因為AB＝2，CD＝2，
所以AB＋CD＝2(＋)
＝2(＋).
記L(d1)＝AB＋CD＝2(＋)
可得L2(d1)＝4[175＋2]，
由d∈[0,25]可知，當d＝0或d＝25時，L2(d1)的最小值是100(7＋4)，
從而AB＋CD的最小值是(20＋10)km.
答 兩條公路長度和的最小值是(20＋10)km.
圖2
考點三 建立三角模型
方法技巧 諸如航行、建橋、測量、人造衛(wèi)星等涉及一定圖形屬性的應用問題，常常需要應用幾何圖形的性質(zhì)，可運用三角函數(shù)知識求解.
9.如圖所示，游樂場中的摩天輪勻速轉動，每轉一圈需要12分鐘，其中心O距離地面40.5米，半徑為40米.如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時間的變化而變化，以你登上摩天輪的時刻開始計時，請解答下列問題：
(1)求出你與地面的距離y(米)與時間t(分鐘)的函數(shù)關系式；
(2)當你第4次距離地面60.5米時，用了多長時間？
解 (1)由已知可設y＝40.5－40cosωt，t≥0，
由周期為12分鐘可知，當t＝6時，摩天輪第1次到達最高點，即此函數(shù)第1次取得最大值，
所以6ω＝π，即ω＝，
所以y＝40.5－40cost(t≥0).
(2)設轉第1圈時，第t0分鐘時距離地面60.5米.
由60.5＝40.5－40cost0，得cost0＝－，
所以t0＝或t0＝，
解得t0＝4或t0＝8，
所以t＝8(分鐘)時，第2次距地面60.5米，
故第4次距離地面60.5米時，用了12＋8＝20(分鐘).
10.如圖，我市有一個健身公園，由一個直徑為2km的半圓和一個以PQ為斜邊的等腰直角三角形PRQ構成，其中O為PQ的中點.現(xiàn)準備在公園里建設一條四邊形健康跑道ABCD，按實際需要，四邊形ABCD的兩個頂點C，D分別在線段QR，PR上，另外兩個頂點A，B在半圓上，AB∥CD∥PQ，且AB，CD間的距離為1km.設四邊形ABCD的周長為ckm.
(1)若C，D分別為QR，PR的中點，求AB的長；
(2)求周長c的最大值.
解 (1)如圖，連結RO并延長分別交AB，CD于M，N，連結OB.
因為C，D分別為QR，PR的中點，PQ＝2，
所以CD＝PQ＝1.
因為△PRQ為等腰直角三角形，PQ為斜邊，
所以RO＝PQ＝1，NO＝RO＝.
因為MN＝1，所以MO＝.
在Rt△BMO中，BO＝1，所以BM＝＝，
所以AB＝2BM＝.
(2)設∠BOM＝θ，0<θ<.
在Rt△BMO中，BO＝1，所以BM＝sinθ，OM＝cosθ.
因為MN＝1，所以CN＝RN＝1－ON＝OM＝cosθ，
所以BC＝AD＝，
所以c＝AB＋CD＋BC＋AD＝2[sinθ＋cosθ＋]
≤2＝2，
當且僅當sinθ＋cosθ＝，即sin2θ＝，即θ＝或時取等號.
所以當θ＝或θ＝時，周長c的最大值為2km.
11.在一個直角邊長為10m的等腰直角三角形ABC的草地上，鋪設一個等腰直角三角形PQR的花地，要求P，Q，R三點分別在△ABC的三條邊上，且要使△PQR的面積最小.現(xiàn)有兩種設計方案(如圖所示)：
方案一：直角頂點Q在斜邊AB上，R，P分別在直角邊AC，BC上；
方案二：直角頂點Q在直角邊BC上，R，P分別在直角邊AC，斜邊AB上.
請問應選用哪一種方案？并說明理由.
解 方案一：過點Q作QM⊥AC于點M，作QN⊥BC于點N(如圖所示)，
因為△PQR為等腰直角三角形，且QP＝QR，
所以△RMQ≌△PNQ，
所以QM＝QN，從而Q為AB的中點，
則QM＝QN＝5m，
設∠RQM＝α，則RQ＝，α∈[0，45)，
所以S△PQR＝RQ2＝，
所以當cosα＝1，即α＝0時，S△PQR取得最小值為m2.
方案二：設CQ＝x，∠RQC＝β，β∈(0，90)，
在△RCQ中，RQ＝，
在△BPQ中，∠PQB＝90－β，
所以＝，即＝，
化簡得＝，
所以S△PQR＝RQ2＝，
因為(sinβ＋2cosβ)2≤5，
所以S△PQR的最小值為10m2.
綜上，應選用方案二.
12.某飛機失聯(lián)，經(jīng)衛(wèi)星偵查，其最后出現(xiàn)在小島O附近.現(xiàn)派出四艘搜救船A，B，C，D，為方便聯(lián)絡，船A，B始終在以小島O為圓心，100海里為半徑的圓周上，船A，B，C，D構成正方形編隊展開搜索，小島O在正方形編隊外(如圖).設小島O到AB的距離為x，∠OAB＝α，船D到小島O的距離為d.
(1)請分別求出d關于x，α的函數(shù)關系式d＝g(x)，d＝f(α)，并分別寫出定義域；
(2)當A，B兩艘船之間的距離是多少時，搜救范圍最大(即d最大)?
解 設x的單位為百海里.
(1)由∠OAB＝α，AB＝2OAcosα＝2cosα，AD＝AB＝2cosα，
在△AOD中，OD＝f(α)
＝
＝，α∈.
若小島O到AB的距離為x，AB＝2，
OD＝g(x)＝
＝，x∈(0,1).
(2)OD2＝4cos2α＋1＋4cosαsinα
＝4＋1＋4＝2(sin2α＋cos2α)＋3
＝2sin＋3，α∈.
則2α＋∈，當2α＋＝，即α＝時，OD取得最大值，
此時AB＝2cos＝2＝(百海里).
答 當A，B間距離為100海里時，搜救范圍最大.
例 (14分)如圖，在半徑為30cm的半圓形鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD(點A，B在直徑上，點C，D在半圓周上)，并將其卷成一個以AD為母線的圓柱體罐子的側面(不計剪裁和拼接損耗)，
(1)若要求圓柱體罐子的側面積最大，應如何截??？
(2)若要求圓柱體罐子的體積最大，應如何截?。?
審題路線圖
(1)―→
―→―→
(2)―→―→
規(guī)范解答評分標準
解 (1)如圖，設圓心為O，連結OC，設BC＝x，
方法一 易得AB＝2，x∈(0,30)，故所求矩形ABCD的面積為S(x)＝2x
3分
＝2≤x2＋(900－x2)＝900(cm2)
(當且僅當x2＝900－x2，即x＝15(cm)時等號成立)，此時BC＝15cm. 6分
方法二 設∠COB＝θ，θ∈，則BC＝30sinθ，OB＝30cosθ，
所以矩形ABCD的面積為S(θ)＝230sinθ30cosθ＝900sin2θ， 3分
當sin2θ＝1，即θ＝時，S(θ)max＝900(cm2).
此時BC＝15cm. 6分
(2)設圓柱的底面半徑為r，體積為V，
由AB＝2＝2πr，得r＝，
所以V＝πr2x＝(900x－x3)，其中x∈(0,30). 9分
令V′＝(900－3x2)＝0，得x＝10，所以，V＝(900x－x3)在(0,10)上單調(diào)遞增，
在(10，30)上單調(diào)遞減，故當x＝10時，體積最大為cm3. 13分
答 (1)當截取的矩形鐵皮的一邊BC為15cm時，圓柱體罐子的側面積最大.
(2)當截取的矩形鐵皮的一邊BC為10cm時，圓柱體罐子的體積最大.14分
構建答題模板
[第一步] 審題：閱讀理解，審清題意
[第二步] 建模：引進數(shù)學符號，建立數(shù)學模型.
[第三步] 解模：利用數(shù)學的方法將得到的常規(guī)函數(shù)問題(即數(shù)學模型)予以解答，求得結果.
[第四步] 回答：將所得結果再轉譯成具體問題的解答.
1.植物園擬建一個多邊形苗圃，苗圃的一邊緊靠著長度大于30m的圍墻.現(xiàn)有兩種方案：
方案① 多邊形為直角三角形AEB(∠AEB＝90)，如圖1所示，其中AE＋EB＝30m；
方案② 多邊形為等腰梯形AEFB(AB>EF)，如圖2所示，其中AE＝EF＝BF＝10m.
請你分別求出兩種方案中苗圃的最大面積，并從中確定使苗圃面積最大的方案.
圖1 圖2
解 設方案①，②中多邊形苗圃的面積分別為S1，S2.
方案① 設AE＝x，則S1＝x(30－x)
≤2＝(當且僅當x＝15時，“＝”成立).
方案② 設∠BAE＝θ，則S2＝100sinθ(1＋cosθ)，θ∈.
令S＝100(2cos2θ＋cos θ－1)＝0，得cos θ＝(cos θ＝－1舍去)，因為θ∈，所以θ＝，
當θ變化時S，S2的變化情況如下：
θ
S
＋
0
－
S2
遞增
極大值
遞減
所以當θ＝時，(S2)max＝75.
因為＜75，所以建苗圃時用方案②，且∠BAE＝.
答 方案①②苗圃的最大面積分別為m2,75m2，建苗圃時用方案②，且∠BAE＝.
2.經(jīng)市場調(diào)查，某商品每噸的價格為x(10)；月需求量為y2萬噸，y2＝－x2－x＋1，當該商品的需求量大于供給量時，銷售量等于供給量；當該商品的需求量不大于供給量時，銷售量等于需求量，該商品的月銷售額等于月銷售量與價格的乘積.
(1)若a＝，問商品的價格為多少時，該商品的月銷售額最大？
(2)記需求量與供給量相等時的價格為均衡價格，若該商品的均衡價格不低于每噸6百元，求實數(shù)a的取值范圍.
解 (1)若a＝，由y2>y1，得－x2－x＋1>x＋2－，解得－400，得x<8，
所以g(x)在[6,8)上是增函數(shù)，在(8,14)上是減函數(shù)，
故當x＝8時，g(x)有最大值g(8)＝.
(2)設f(x)＝y(tǒng)1－y2＝x2＋x＋a2－1－a，
因為a>0，所以f(x)在區(qū)間(1,14)上是增函數(shù)，
若該商品的均衡價格不低于6百元，即函數(shù)f(x)在區(qū)間[6,14)上有零點，
所以即解得0
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