（江蘇專用）2019高考數學二輪復習 第三篇 第30練 計數原理、隨機變量、數學歸納法試題 理.docx
《（江蘇專用）2019高考數學二輪復習 第三篇 第30練 計數原理、隨機變量、數學歸納法試題 理.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（江蘇專用）2019高考數學二輪復習 第三篇 第30練 計數原理、隨機變量、數學歸納法試題 理.docx（15頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
第30練 計數原理、隨機變量、數學歸納法 [明晰考情] 1.命題角度：計數原理與排列、組合的簡單應用；n次獨立重復試驗的模型及二項分布、離散型隨機變量的均值與方差；數學歸納法的簡單應用.2.題目難度：中檔難度. 考點一 計數原理與二項式定理的綜合 方法技巧 (1)區(qū)分某一項的二項式系數與這一項的系數兩個不同的概念；(2)在二項式展開式中，利用通項公式求一些特殊的項，如常數項、有理項、整式項等；(3)根據所給式子的結構特征，對二項式定理的逆用或變用；(4)關于x的二項式(a＋bx)n(a，b為常數)的展開式可以看成是關于x的函數，當展開式涉及到與系數有關的問題時，可以利用函數思想來解決. 1.設A，B均為非空集合，且A∩B＝?，A∪B＝{1,2,3，…，n}(n≥3，n∈N*).記A，B中元素的個數分別為a，b，所有滿足“a∈B，且b∈A”的集合對(A，B)的個數為an. (1)求a3，a4的值； (2)求an. 解 (1)當n＝3時，A∪B＝{1,2,3}，且A∩B＝?. 若a＝1，b＝2，則1∈B,2∈A，共C種； 若a＝2，b＝1，則2∈B,1∈A，共C種， 所以a3＝C＋C＝2； 當n＝4時，A∪B＝{1,2,3,4}，且A∩B＝?. 若a＝1，b＝3，則1∈B,3∈A，共C種； 若a＝2，b＝2，則2∈B,2∈A，這與A∩B＝?矛盾； 若a＝3，b＝1，則3∈B,1∈A，共C種， 所以a4＝C＋C＝2. (2)當n為偶數時，A∪B＝{1,2,3，…，n}，且A∩B＝?. 若a＝1，b＝n－1，則1∈B，n－1∈A，共C(考慮A)種； 若a＝2，b＝n－2，則2∈B，n－2∈A，共C(考慮A)種； …； 若a＝－1，b＝＋1，則－1∈B，＋1∈A，共(考慮A)種； 若a＝，b＝，則∈B，∈A，這與A∩B＝?矛盾； 若a＝＋1，b＝－1，則＋1∈B，－1∈A，共(考慮A)種； …； 若a＝n－1，b＝1，則n－1∈B,1∈A，共C(考慮A)種. 所以an＝C＋C＋…＋＋＋…＋C＝2n－2－； 當n為奇數時，同理，an＝C＋C＋…＋C＝2n－2. 綜上所述，當n≥3，且n∈N*時，an＝ 2.已知等式(1＋x)2n－1＝(1＋x)n－1(1＋x)n. (1)求(1＋x)2n－1的展開式中含xn的項的系數，并化簡：CC＋CC＋…＋CC； (2)證明：(C)2＋2(C)2＋…＋n(C)2＝nC. (1)解 (1＋x)2n－1的展開式中含xn的項的系數為C， 由(1＋x)n－1(1＋x)n＝(C＋Cx＋…＋Cxn－1)(C＋Cx＋…＋Cxn)可知，(1＋x)n－1(1＋x)n的展開式中含xn的項的系數為CC＋CC＋…＋CC. 所以CC＋CC＋…＋CC＝C. (2)證明 當k∈N*時，kC＝k＝＝n＝nC， 所以(C)2＋2(C)2＋…＋n(C)2＝[k(C)2]＝ (kCC)＝(nCC)＝n(CC)＝n (CC). 由(1)知，CC＋CC＋…＋CC＝C， 即(CC)＝C，所以(C)2＋2(C)2＋…＋n(C)2＝nC. 3.設f(x)是定義在R上的函數，已知n∈N*，且g(x)＝Cfx0(1－x)n＋Cfx1(1－x)n－1＋Cfx2(1－x)n－2＋…＋Cfxn(1－x)0. (1)若f(x)＝1，求g(x)； (2)若f(x)＝x，求g(x). 解 (1)∵f(x)＝1， ∴f＝f＝…＝f＝1， ∴g(x)＝Cx0(1－x)n＋Cx1(1－x)n－1＋Cx2(1－x)n－2＋…＋Cxn(1－x)0＝[(1－x)＋x]n＝1. ∵零的零次冪無意義， ∴g(x)＝1，且x≠0，x≠1，x∈R. (2)∵rC＝r＝＝n＝nC，其中r＝1,2，…，n， ∴rC＝nC(r＝1,2，…，n).又∵f(x)＝x， ∴g(x)＝C0x0(1－x)n＋Cx1(1－x)n－1＋Cx2(1－x)n－2＋…＋Cxn(1－x)0 ＝[Cx1(1－x)n－1＋2Cx2(1－x)n－2＋…＋rCxr(1－x)n－r＋…＋nCxn(1－x)0] ＝n[Cx1(1－x)n－1＋Cx2(1－x)n－2＋…＋Cxr(1－x)n－r＋…＋Cxn(1－x)0] ＝x[Cx0(1－x)n－1＋Cx1(1－x)n－2＋…＋Cxr－1(1－x)(n－1)－(r－1)＋…＋Cxn－1(1－x)0] ＝x[(1－x)＋x]n－1＝x， 即g(x)＝x，x≠0，x≠1，x∈R. 4.設集合S＝{1,2,3，…，n}(n∈N*，n≥2)，A，B是S的兩個非空子集，且滿足集合A中的最大數小于集合B中的最小數，記滿足條件的集合對(A，B)的個數為Pn. (1)求P2，P3的值； (2)求Pn的表達式. 解 (1)當n＝2時，即S＝{1,2}，此時A＝{1}，B＝{2}，所以P2＝1. 當n＝3時，即S＝{1,2,3}. 若A＝{1}，則B＝{2}或B＝{3}或B＝{2,3}； 若A＝{2}或A＝{1,2}，則B＝{3}. 所以P3＝5. (2)當集合A中的最大元素為“k”時，集合A的其余元素可在1,2，…，k－1中任取若干個(包含不取)，所以集合A共有C＋C＋C＋…＋C＝2k－1(種)情況， 此時集合B的元素只能在k＋1，k＋2，…，n中任取若干個(至少取1個)，所以集合B共有C＋C＋C＋…＋C＝2n－k－1(種)情況， 所以當集合A中的最大元素為“k”時，集合對(A，B)共有2k－1(2n－k－1)＝2n－1－2k－1(對)， 當k依次取1,2,3，…，n－1時，可分別得到集合對(A，B)的個數，求和可得Pn＝(n－1)2n－1－(20＋21＋22＋…＋2n－2)＝(n－2)2n－1＋1. 考點二 隨機變量及其概率分布 方法技巧 求解離散型隨機變量的概率分布問題，先要明確離散型隨機變量的所有可能取值及其對應事件，然后確定概率分布的類型，求出相應事件的概率，即可列出概率分布，再求其數學期望與方差即可.若所求事件比較復雜，可以根據事件的性質將其分為互斥事件之和或轉化為對立事件求解即可. 5.(2018蘇州調研)某公司年會舉行抽獎活動，每位員工均有一次抽獎機會.活動規(guī)則如下：一個盒子里裝有大小相同的6個小球，其中3個白球，2個紅球，1個黑球，抽獎時從中一次摸出3個小球，若所得的小球同色，則獲得一等獎，獎金為300元；若所得的小球顏色互不相同，則獲得二等獎，獎金為200元；若所得的小球恰有2個同色，則獲得三等獎，獎金為100元. (1)求小張在這次活動中獲得的獎金數X的概率分布及數學期望； (2)若每個人獲獎與否互不影響，求該公司某部門3個人中至少有2個人獲二等獎的概率. 解 (1)小張在這次活動中獲得的獎金數X的所有可能取值為100,200,300. P(X＝300)＝＝， P(X＝200)＝＝＝， P(X＝100)＝＝＝， 所以獎金數X的概率分布為 X 100 200 300 P 獎金數X的數學期望E(X)＝100＋200＋300＝140. (2)設3個人中獲二等獎的人數為Y，則Y～B， 所以P(Y＝k)＝Ck3－k (k＝0,1,2,3)， 設該公司某部門3個人中至少有2個人獲二等獎為事件A， 則P(A)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3) ＝C2＋C3＝. 答 該公司某部門3個人中至少有2個人獲二等獎的概率為. 6.射擊測試有兩種方案.方案1：先在甲靶射擊一次，以后都在乙靶射擊；方案2：始終在乙靶射擊.某射手命中甲靶的概率為，命中一次得3分；命中乙靶的概率為，命中一次得2分.若沒有命中則得0分.用隨機變量ξ表示該射手一次測試累計得分，如果ξ的值不低于3分就認為通過測試，立即停止射擊；否則繼續(xù)射擊，但一次測試最多打靶3次，每次射擊的結果相互獨立. (1)如果該射手選擇方案1，求其測試結束后所得總分ξ的概率分布和數學期望E(ξ)； (2)該射手選擇哪種方案通過測試的可能性大？請說明理由. 解 在甲靶射擊命中記作A，不中記作，在乙靶射擊命中記作B，不中記作，其中P(A)＝，P()＝1－＝，P(B)＝，P()＝1－＝. (1)ξ的所有可能取值為0,2,3,4，則 P(ξ＝0)＝P()＝P()P()P()＝＝， P(ξ＝2)＝P(B)＋P(B)＝P()P(B)P()＋P()P()P(B)＝＋＝， P(ξ＝3)＝P(A)＝， P(ξ＝4)＝P(BB)＝P()P(B)P(B)＝＝. 所以ξ的概率分布為 ξ 0 2 3 4 P 所以E(ξ)＝0＋2＋3＋4＝3. (2)設射手選擇方案1通過測試的概率為P1，選擇方案2通過測試的概率為P2， P1＝P(ξ≥3)＝＋＝. P2＝P(ξ≥3)＝P(BB)＋P(BB)＋P(BB)＝＋＋＝. 因為P1＞P2，所以選擇方案1通過測試的概率更大. 7. (2018無錫調研)有甲、乙兩個游戲項目，要參與游戲，均需每次先付費10元(不返還)，游戲甲有3種結果：可能獲得15元，可能獲得10元，可能獲得5元，這三種情況的概率分別為，，；游戲乙有2種結果：可能獲得20元，可能獲得0元，這兩種情況的概率均為. (1)某人花20元參與游戲甲兩次，用X表示該人參加游戲甲的收益(收益＝參與游戲獲得的錢數－付費錢數)，求X的概率分布及數學期望； (2)用ξ表示某人參加n次游戲乙的收益，n為任意正整數，求證：ξ的數學期望為0. (1)解 X的所有可能取值為10,5,0，－5，－10， P(X＝10)＝2＝，P(X＝5)＝C＝， P(X＝0)＝C＋2＝， P(X＝－5)＝C＝， P(X＝－10)＝2＝， 所以X的概率分布為 X 10 5 0 －5 －10 P E(X)＝10＋5＋0＋(－5)＋(－10)＝－. (2)證明 ξ的所有可能取值為10n,10(n－2)，10(n－4)，…，10(n－2k)，…，－10n(k∈N且0≤k≤n)， P(ξ＝10(n－2k))＝Cn(k∈N且0≤k≤n)， E(ξ)＝10nCn＋10(n－2)Cn＋…＋10(n－2k)Cn＋…＋10(n－2n)Cn ＝[nC＋(n－2)C＋…＋(n－2k) C＋…＋(－n)C]， 又E(ξ)＝{－nC＋[n－(2n－2)]C＋…＋[n－(2n－2k)]C＋…＋nC}， ①＋②，得 2E(ξ)＝[(n－n)C＋(n－2＋2－n)C＋…＋(n－2k＋2k－n)C＋…＋(－n＋n)C]， 所以E(ξ)＝0. 8.(2017江蘇)已知一個口袋有m個白球，n個黑球(m，n∈N*，n≥2)，這些球除顏色外完全相同.現將口袋中的球隨機的逐個取出，并放入如圖所示的編號為1,2,3，…，m＋n的抽屜內，其中第k次取球放入編號為k的抽屜(k＝1,2,3，…，m＋n). 1 2 3 … m＋n (1)試求編號為2的抽屜內放的是黑球的概率P； (2)隨機變量X表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數，E(X)是X的數學期望，證明：E(X)<. (1)解 編號為2的抽屜內放的是黑球的概率為 P＝＝. (2)證明 隨機變量X的概率分布為 X … … P … … 隨機變量X的期望為 E(X)＝＝. 所以E(X)< ＝ ＝(1＋C＋C＋…＋C) ＝(C＋C＋C＋…＋C) ＝(C＋C＋…＋C) ＝…＝(C＋C) ＝＝， 即E(X)<. 考點三 數學歸納法 方法技巧 利用數學歸納法證明問題，在第二步證明n＝k＋1成立時，一定要利用歸納假設，即必須把歸納假設“n＝k時命題成立”作為條件來導出“n＝k＋1時命題也成立”，在書寫f(k＋1)時，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項，這是數學歸納法的核心. 9.在數列{an}中，an＝cos(n∈N*) (1)試將an＋1表示為an的函數關系式； (2)若數列{bn}滿足bn＝1－(n∈N*)，猜想an與bn的大小關系，并證明你的結論. 解 (1)an＝cos＝cos ＝22－1， ∴an＝2a－1， ∴an＋1＝， 又n∈N*，n＋1≥2，an＋1＞0， ∴an＋1＝. (2)當n＝1時，a1＝－，b1＝1－2＝－1， ∴a1＞b1， 當n＝2時，a2＝，b2＝1－＝， ∴a2＝b2， 當n＝3時，a3＝，b3＝1－＝，∴a3＜b3， 猜想：當n≥3時，an＜bn，下面用數學歸納法證明. ①當n＝3時，由上知，a3＜b3，結論成立. ②假設當n＝k，k≥3，n∈N*時，ak＜bk成立， 即ak＜1－， 則當n＝k＋1時，ak＋1＝＜ ＝， bk＋1＝1－， 要證ak＋1＜bk＋1，即證明2＜2， 即證明1－＜1－＋2， 即證明－＋2＞0， 即證明＋2＞0，顯然成立. ∴當n＝k＋1時，結論也成立. 綜合①②可知：當n≥3時，an＜bn成立. 綜上可得：當n＝1時，a1＞b1；當n＝2時，a2＝b2， 當n≥3，n∈N*時，an＜bn. 10.(2018江蘇省南京六校聯考)把圓分成n(n≥3)個扇形，設用4種顏色給這些扇形染色，每個扇形恰染一種顏色，并且要求相鄰扇形的顏色互不相同，設共有f(n)種方法. (1)寫出f(3)，f(4)的值； (2)猜想f(n)(n≥3)，并用數學歸納法證明. 解 (1)f(3)＝24，f(4)＝84. (2)當n≥4時，首先，對于第1個扇形a1，有4種不同的染法，由于第2個扇形a2的顏色與a1的顏色不同，所以，對于a2有3種不同的染法，類似地，對扇形a3，…，an－1均有3種染法.對于扇形an，用與an－1不同的3種顏色染色，但是，這樣也包括了它與扇形a1顏色相同的情況，而扇形a1與扇形an顏色相同的不同染色方法數就是f(n－1)，于是可得， f(n)＝43n－1－f(n－1) ， 猜想f(n)＝3n＋(－1)n3(n≥3，n∈N*)，證明如下： 當n＝3時，左邊f(3)＝24，右邊33＋(－1)33＝24， 所以等式成立. 假設當n＝k(k≥3)時，f(k)＝3k＋(－1)k3， 則當n＝k＋1時，f(k＋1)＝43k－f(k)＝43k－3k－(－1)k3 ＝3k＋1＋(－1)k＋13， 即當n＝k＋1時，等式也成立， 綜上，f(n)＝3n＋(－1)n3(n≥3). 11.設f(n)是定義在N*上的增函數，f(4)＝5，且滿足： ①對任意的n∈N*，f(n)∈Z；②對任意的m，n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1). (1)求f(1)，f(2)，f(3)的值； (2)求f(n)的表達式. 解 因為f(1)f(4)＝f(4)＋f(4)， 所以5f(1)＝10，所以f(1)＝2. 因為f(n)是定義在N*上的增函數， 所以2＝f(1)
- 配套講稿：
如PPT文件的首頁顯示word圖標，表示該PPT已包含配套word講稿。雙擊word圖標可打開word文檔。
- 特殊限制：
部分文檔作品中含有的國旗、國徽等圖片，僅作為作品整體效果示例展示，禁止商用。設計者僅對作品中獨創(chuàng)性部分享有著作權。
- 關 鍵 詞：
- 江蘇專用2019高考數學二輪復習 第三篇 第30練 計數原理、隨機變量、數學歸納法試題 江蘇 專用 2019 高考 數學 二輪 復習 第三 30 計數 原理 隨機變量 歸納法 試題
裝配圖網所有資源均是用戶自行上傳分享，僅供網友學習交流，未經上傳用戶書面授權，請勿作他用。
鏈接地址：http://www.hcyjhs8.com/p-6413778.html