(浙江專版)2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.2 第2課時(shí) 橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc
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第2課時(shí) 橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.進(jìn)一步鞏固橢圓的簡單幾何性質(zhì).2.掌握直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí).3.會(huì)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系. 知識(shí)點(diǎn)一 點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系 思考 類比點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定,你能給出點(diǎn)P(x0,y0)與橢圓+=1(a>b>0)的位置關(guān)系的判定嗎? 答案 當(dāng)P在橢圓外時(shí),+>1; 當(dāng)P在橢圓上時(shí),+=1; 當(dāng)P在橢圓內(nèi)時(shí),+<1. 梳理 設(shè)P(x0,y0),橢圓+=1(a>b>0),則點(diǎn)P與橢圓的位置關(guān)系如下表所示: 位置關(guān)系 滿足條件 P在橢圓外 +>1 P在橢圓上 +=1 P在橢圓內(nèi) +<1 知識(shí)點(diǎn)二 直線與橢圓的位置關(guān)系 思考 類比直線與圓的位置關(guān)系,給出直線與橢圓的位置關(guān)系. 答案 有三種位置關(guān)系:相離、相切和相交. 梳理 判斷直線和橢圓位置關(guān)系的方法 直線y=kx+m與橢圓+=1(a>b>0)的位置關(guān)系的判斷方法: 聯(lián)立消去y,得關(guān)于x的一元二次方程. 當(dāng)Δ>0時(shí),方程有兩個(gè)不同解,直線與橢圓相交; 當(dāng)Δ=0時(shí),方程有兩個(gè)相同解,直線與橢圓相切; 當(dāng)Δ<0時(shí),方程無解,直線與橢圓相離. 知識(shí)點(diǎn)三 弦長公式 設(shè)直線l:y=kx+m(k≠0,m為常數(shù))與橢圓+=1(a>b>0)相交,兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),則線段AB叫做直線l截橢圓所得的弦,線段AB的長度叫做弦長.弦長公式:|AB|=,其中x1+x2與x1x2均可由根與系數(shù)的關(guān)系得到. (1)若直線的斜率一定,則當(dāng)直線過橢圓的中心時(shí),弦長最大.(√) (2)直線-y=1被橢圓+y2=1截得的弦長為.(√) (3)已知橢圓+=1(a>b>0)與點(diǎn)P(b,0),過點(diǎn)P可作出該橢圓的一條切線.() (4)直線y=k(x-a)與橢圓+=1的位置關(guān)系是相交.(√) 類型一 點(diǎn)、直線與橢圓位置關(guān)系的判斷 命題角度1 點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系的判斷 例1 已知點(diǎn)P(k,1),橢圓+=1,點(diǎn)在橢圓外,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為____________. 考點(diǎn) 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn) 點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系 答案 ∪ 解析 由題可知+>1, 解得k<-或k>. 引申探究 若將本例中P點(diǎn)坐標(biāo)改為“P(1,k)”呢? 答案 ∪ 解析 由+>1,解得k2>, 即k<-或k>. 反思與感悟 處理點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系問題時(shí),緊扣判定條件,然后轉(zhuǎn)化為解不等式等問題,注意求解過程與結(jié)果的準(zhǔn)確性. 跟蹤訓(xùn)練1 已知點(diǎn)(3,2)在橢圓+=1(a>b>0)上,則( ) A.點(diǎn)(-3,-2)不在橢圓上 B.點(diǎn)(3,-2)不在橢圓上 C.點(diǎn)(-3,2)在橢圓上 D.以上都不正確 考點(diǎn) 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn) 點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系 答案 C 解析 由已知,得+=1,只有選項(xiàng)C正確. 命題角度2 直線與橢圓位置關(guān)系的判斷 例2 對(duì)不同的實(shí)數(shù)m,討論直線y=x+m與橢圓+y2=1的位置關(guān)系. 考點(diǎn) 直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn) 直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問題 解 由消去y, 得5x2+8mx+4m2-4=0, Δ=(8m)2-45(4m2-4)=16(5-m2). 當(dāng)-<m<時(shí),Δ>0,直線與橢圓相交; 當(dāng)m=-或m=時(shí),Δ=0,直線與橢圓相切; 當(dāng)m<-或m>時(shí),Δ<0,直線與橢圓相離. 反思與感悟 判斷直線與橢圓位置關(guān)系時(shí),準(zhǔn)確計(jì)算出判別式Δ是解題關(guān)鍵. 跟蹤訓(xùn)練2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,經(jīng)過點(diǎn)(0,)且斜率為k的直線l與橢圓+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q,求k的取值范圍. 考點(diǎn) 直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn) 直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問題 解 由已知條件知直線l的方程為y=kx+, 代入橢圓方程得+(kx+)2=1, 整理得x2+2kx+1=0, 直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于Δ=8k2-4=4k2-2>0,解得k<-或k>, 所以k的取值范圍為∪. 類型二 弦長問題 例3 已知橢圓4x2+5y2=20的一個(gè)焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F且傾斜角為45的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),求弦長|AB|. 考點(diǎn) 直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn) 直線與橢圓相交求弦長與三角形面積 解 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1, a=,b=2,c=1, ∴直線l的方程為y=x+1(不失一般性,設(shè)l過左焦點(diǎn)). 由消去y,得9x2+10x-15=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=-,x1x2=-, |AB|=|x1-x2|= ===. 反思與感悟 求解弦長時(shí),需正確記憶公式內(nèi)容,其次,準(zhǔn)確得到x1+x2和x1x2的值. 跟蹤訓(xùn)練3 橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,且橢圓與直線x+2y+8=0相交于P,Q兩點(diǎn),若|PQ|=,求橢圓方程. 考點(diǎn) 由橢圓的簡單幾何性質(zhì)求方程 題點(diǎn) 由橢圓的幾何特征求方程 解 ∵e=,∴b2=a2, ∴橢圓方程為x2+4y2=a2, 與x+2y+8=0聯(lián)立消去y, 得2x2+16x+64-a2=0, 由Δ>0,得a2>32, 由弦長公式,得10=[64-2(64-a2)], ∴a2=36,b2=9, ∴橢圓方程為+=1. 類型三 橢圓中的最值(或范圍)問題 例4 已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m. (1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍; (2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程. 考點(diǎn) 直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn) 橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問題 解 (1)由 消去y,得5x2+2mx+m2-1=0, 因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn), 所以Δ=4m2-20(m2-1)≥0,解得-≤m≤. (2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn), 由(1)知,5x2+2mx+m2-1=0, 所以x1+x2=-,x1x2=(m2-1), 所以|AB|= == ==. 所以當(dāng)m=0時(shí),|AB|最大,此時(shí)直線方程為y=x. 反思與感悟 求最值問題的基本策略 (1)求解形如|PA|+|PB|的最值問題,一般通過橢圓的定義把折線轉(zhuǎn)化為直線,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)|PA|+|PB|取得最值. (2)求解形如|PA|的最值問題,一般通過二次函數(shù)的最值求解,此時(shí)一定要注意自變量的取值范圍. (3)求解形如ax+by的最值問題,一般通過數(shù)形結(jié)合的方法轉(zhuǎn)化為直線問題解決. (4)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范圍. 跟蹤訓(xùn)練4 已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)在橢圓+=1上,若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),||=1,且=0,求||的最小值. 考點(diǎn) 直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn) 橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問題 解 由||=1,A(3,0), 知點(diǎn)M在以A(3,0)為圓心,1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng), ∵=0且P在橢圓上運(yùn)動(dòng), ∴PM⊥AM,即PM為⊙A的切線,連接PA(如圖),則||= =, ∴當(dāng)||min=a-c=5-3=2時(shí),||min=. 1.若直線l:2x+by+3=0過橢圓C:10x2+y2=10的一個(gè)焦點(diǎn),則b的值是( ) A.-1 B. C.-1或1 D.-或 考點(diǎn) 由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn) 由橢圓幾何特征求參數(shù) 答案 C 解析 易知橢圓x2+=1的焦點(diǎn)為F1(0,-3),F(xiàn)2(0,3),所以b=1或-1. 2.已知橢圓的方程是x2+2y2-4=0,則以M(1,1)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程是( ) A.x+2y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x-2y+3=0 D.2x-y+3=0 考點(diǎn) 直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn) 求橢圓中的直線方程 答案 A 解析 由題意易知所求直線的斜率存在,設(shè)過點(diǎn)M(1,1)的直線方程為y=k(x-1)+1,即y=kx+1-k. 由消去y, 得(1+2k2)x2+(4k-4k2)x+2k2-4k-2=0, 所以==1, 解得k=-, 所以所求直線方程為y=-x+, 即x+2y-3=0. 3.(2017牌頭中學(xué)期中)設(shè)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),若在直線x=上存在點(diǎn)P,使線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2,則橢圓離心率的取值范圍是( ) A.B.C.D. 答案 D 解析 方法一 由題意知F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),P, ∵PF1的中垂線過點(diǎn)F2,∴|F1F2|=|F2P|, 即2c=,整理得y2=3c2+2a2-. ∵y2≥0, ∴3c2+2a2-≥0, 即3e2-+2≥0,解得e≥. 又∵0- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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