《人教A版數(shù)學(xué)選修44：第2講3直線的參數(shù)方程【教學(xué)參考】》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《人教A版數(shù)學(xué)選修44：第2講3直線的參數(shù)方程【教學(xué)參考】（8頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 三直線的參數(shù)方程 課標(biāo)解讀 1.掌握直線的參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義． 2.能用直線的參數(shù)方程解決簡(jiǎn)單問(wèn)題. 　直線的參數(shù)方程 經(jīng)過(guò)點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α(α≠)的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其中參數(shù)t的幾何意義是：|t|是直線l上任一點(diǎn)M(x，y)到點(diǎn)M0(x0，y0)的距離，即|t|＝||. 1．若直線l的傾斜角α＝0，則直線l的參數(shù)方程是什么？ 【提示】　參數(shù)方程為(t為參數(shù)) 2．如何理解直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義？ 【提示】　過(guò)定點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其中t表示

2、直線l上以定點(diǎn)M0為起點(diǎn)，任意一點(diǎn)M(x，y)為終點(diǎn)的有向線段的長(zhǎng)度，即|t|＝||. ①當(dāng)t＞0時(shí)，的方向向上； ②當(dāng)t＜0時(shí)，的方向向下； ③當(dāng)t＝0時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)M0重合. 直線的參數(shù)方程 　已知直線l：(t為參數(shù))． (1)求直線l的傾斜角； (2)若點(diǎn)M(－3，0)在直線l上，求t，并說(shuō)明t的幾何意義． 【思路探究】　將直線l的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求得傾斜角，利用參數(shù)的幾何意義求得t. 【自主解答】　(1)由于直線l： (t為參數(shù))表示過(guò)點(diǎn)M0(－，2)且斜率為tan 的直線， 故直線l的傾斜角α＝. (2)由(1)知，直線l的單位方向向量 e＝(c

3、os，sin)＝(，)． ∵M(jìn)0(－，2)，M(－3，0)， ∴＝(－2，－2)＝－4(，)＝－4e， ∴點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)t＝－4， 幾何意義為||＝4，且與e方向相反(即點(diǎn)M在直線l上點(diǎn)M0的左下方)． 1．一條直線可以由定點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角α(0≤α＜π)惟一確定，直線上的動(dòng)點(diǎn)M(x，y)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，這是直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式． 2．直線參數(shù)方程的形式不同，參數(shù)t的幾何意義也不同，過(guò)定點(diǎn)M0(x0，y0)，斜率為的直線的參數(shù)方程是(a、b為常數(shù)，t為參數(shù))． 　設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)P(－3,3)，且傾斜角為. (1)寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程； (2)

4、設(shè)此直線與曲線C：(θ為參數(shù))交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|·|PB|. 【解】　(1)直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)) (2)把曲線C的參數(shù)方程中參數(shù)θ消去，得4x2＋y2－16＝0. 把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程中，得 4(－3－t)2＋(3＋t)2－16＝0. 即13t2＋4(3＋12)t＋116＝0. 由t的幾何意義，知 |PA|·|PB|＝|t1·t2|， 故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝. 直線參數(shù)方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用 　已知直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則該直線被圓x2＋y2＝9截得的弦長(zhǎng)是多少？ 【思路探究】　考慮參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)形式中參數(shù)t的幾何

5、意義，所以首先要把原參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式 再把此式代入圓的方程，整理得到一個(gè)關(guān)于t的一元二次方程，弦長(zhǎng)即為方程兩根之差的絕對(duì)值． 【自主解答】　將參數(shù)方程(t為參數(shù))轉(zhuǎn)化為直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為 (t′為參數(shù)) 代入圓方程x2＋y2＝9， 得(1＋ t′)2＋(2＋ t′)2＝9， 整理，有t′2＋8t′－4＝0. 由根與系數(shù)的關(guān)系，t′1＋t′2＝－， t′1·t′2＝－4. 根據(jù)參數(shù)t′的幾何意義． |t′1－t2′|＝＝. 故直線被圓截得的弦長(zhǎng)為. 1．在直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式下，直線上兩點(diǎn)之間的距離可用|t1－t2|來(lái)求．本題易錯(cuò)的地方是：將題目所給

6、參數(shù)方程直接代入圓的方程求解，忽視了參數(shù)t的幾何意義． 2．根據(jù)直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式中t的幾何意義，有如下常用結(jié)論： (1)直線與圓錐曲線相交，交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則弦長(zhǎng)l＝|t1－t2|； (2)定點(diǎn)M0是弦M1M2的中點(diǎn)?t1＋t2＝0； (3)設(shè)弦M1M2中點(diǎn)為M，則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)值tM＝(由此可求|M2M|及中點(diǎn)坐標(biāo))． 　若將條件改為“直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)，傾斜角為，圓x2＋y2＝9不變”，試求： (1)直線l的參數(shù)方程； (2)直線l和圓x2＋y2＝9的兩個(gè)交點(diǎn)到點(diǎn)A的距離之積． 【解】　(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (2)將代入x

7、2＋y2＝9，得 t2＋(1＋2)t－4＝0，∴t1t2＝－4. 由參數(shù)t的幾何意義，得直線l和圓x2＋y2＝9的兩個(gè)交點(diǎn)到點(diǎn)A的距離之積為|t1t2|＝4. 參數(shù)方程與極坐標(biāo)的綜合問(wèn)題 　在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝2sin θ. (1)求圓C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，)，求|PA|＋|PB|. 【思路探究】　(1)利用公式可求． (2)可考慮將參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為普通方程，求交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)

8、，也可考慮利用t的幾何意義求解． 【自主解答】　(1)由ρ＝2sin θ， 得ρ2＝2ρsin θ. ∴x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－)2＝5. (2)法一　直線l的普通方程為y＝－x＋3＋. 與圓C：x2＋(y－)2＝5聯(lián)立，消去y，得x2－3x＋2＝0， 解之得或 不妨設(shè)A(1,2＋)，B(2,1＋)． 又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，)， 故|PA|＋|PB|＝＋＝3. 法二　將l的參數(shù)方程代入x2＋(y－)2＝5，得(3－t)2＋(t)2＝5， 即t2－3t＋4＝0，(*) 由于Δ＝(3)2－4×4＝2＞0. 故可設(shè)t1，t2是(*)式的兩個(gè)實(shí)根． ∴t1＋t2＝

9、3，且t1t2＝4. ∴t1>0，t2>0. 又直線l過(guò)點(diǎn)P(3，)， ∴由t的幾何意義，得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝3. 1．第(2)問(wèn)中，法二主要運(yùn)用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，簡(jiǎn)化了計(jì)算． 2．本題將所給的方程化為考生所熟悉的普通方程，然后去解決問(wèn)題，這是考生在解決參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程相互交織問(wèn)題時(shí)的一個(gè)重要的思路． 　(2012·課標(biāo)全國(guó)卷)已知曲線C1的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ＝2，正方形ABCD的頂點(diǎn)都在C2上，且A，B，C，D依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2，)

10、． (1)求點(diǎn)A，B，C，D的直角坐標(biāo)； (2)設(shè)P為C1上任意一點(diǎn)，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范圍． 【解】　(1)由已知可得A(2cos ，2sin )， B(2cos (＋)，2sin(＋))， C(2cos (＋π)，2sin(＋π))， D(2cos (＋)，2sin(＋))， 即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)． (2)設(shè)P(2cos φ，3sin φ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，則S＝(2cos φ－1)2＋(－3sin φ)2＋(－－2cos φ)2＋(1－3sin φ)2＋(－1－2

11、cos φ)2＋(－－3sin φ)2＋(－2cos φ)2＋(－1－3sin φ)2＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ. ∵0≤sin2φ≤1，∴S的取值范圍是[32,52]． (教材第39頁(yè)習(xí)題2.3第1題) 設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M0(1,5)、傾斜角為. (1)求直線l的參數(shù)方程； (2)求直線l和直線x－y－2＝0的交點(diǎn)到點(diǎn)M0的距離． 　(2013·湖南高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l1：(s為參數(shù))和直線l2：(t為參數(shù))平行，則常數(shù)a的值為_(kāi)_______． 【命題意圖】　考查參數(shù)方程的理解、兩直線的位置關(guān)系．將參數(shù)方程消去參數(shù)后得到

12、平面直角坐標(biāo)系下的方程是考查轉(zhuǎn)化與化歸的能力，由平面直角坐標(biāo)系下的方程及兩直線平行得到a的值是考查運(yùn)算求解能力． 【解析】　由消去參數(shù)s，得x＝2y＋1. 由消去參數(shù)t，得2x＝ay＋a. ∵l1∥l2， ∴＝，∴a＝4. 【答案】　4 1．直線(t為參數(shù))的傾斜角α等于(　　) A．30°　　　　　　　B．60° C．－45° D．135° 【解析】　由直線的參數(shù)方程知傾斜角α等于60°，故選B. 【答案】　B 2．直線(α為參數(shù)，0≤a＜π)必過(guò)點(diǎn)(　　) A．(1，－2)　　　　　B．(－1,2) C．(－2,1) D．(2，－1) 【解析】　直線表示過(guò)點(diǎn)

13、(1，－2)的直線． 【答案】　A 3．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則直線l的斜率為(　　) A．1 B．－1 C. D．－ 【解析】　消去參數(shù)t，得方程x＋y－1＝0， ∴直線l的斜率k＝－1. 【答案】　B 4．(2013·濮陽(yáng)模擬)若直線(t為參數(shù))與直線4x＋ky＝1垂直，則常數(shù)k＝________. 【解析】　將化為y＝－x＋， ∴斜率k1＝－， 顯然k＝0時(shí)，直線4x＋ky＝1與上述直線不垂直． ∴k≠0，從而直線4x＋ky＝1的斜率k2＝－. 依題意k1k2＝－1，即－×(－)＝－1， ∴k＝－6. 【答案】?。? (時(shí)間40分鐘，滿分

14、60分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．下列可以作為直線2x－y＋1＝0的參數(shù)方程的是(　　) A.(t為參數(shù)) B.(t為參數(shù)) C.(t為參數(shù)) D.(t為參數(shù)) 【解析】　題目所給的直線的斜率為2，選項(xiàng)A中直線斜率為1，選項(xiàng)D中直線斜率為，所以可排除選項(xiàng)A、D.而選項(xiàng)B中直線的普通方程為2x－y＋3＝0，故選C. 【答案】　C 2．(2013·許昌模擬)極坐標(biāo)方程ρ＝cos θ和參數(shù)方程(t為參數(shù))所表示的圖形分別是(　　) A．直線、直線　　　　　　B．直線、圓 C．圓、圓 D．圓、直線 【解析】　∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ， 即x2＋

15、y2＝x，即(x－)2＋y2＝， ∴ρ＝cos θ所表示的圖形是圓． 由(t為參數(shù))消參得：x＋y＝1，表示直線． 【答案】　D 3．原點(diǎn)到直線(t為參數(shù))的距離為(　　) A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4 【解析】　消去t，得3x－4y－15＝0， ∴原點(diǎn)到直線3x－4y－15＝0的距離 d＝＝3. 【答案】　C 4．直線，(t為參數(shù))和圓x2＋y2＝16交于A、B兩點(diǎn)，則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(3，－3) B．(－，3) C．(，－3) D．(3，－) 【解析】　將x＝1＋，y＝－3＋t代入圓方程， 得(1＋)2＋(－3＋t)2＝16，

16、 ∴t2－8t＋12＝0，則t1＝2，t2＝6， 因此AB的中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)參數(shù)t＝＝4， ∴x＝1＋×4＝3，y＝－3＋×4＝－， 故AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，－)． 【答案】　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(2013·湖南高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過(guò)橢圓C：(φ為參數(shù))的右頂點(diǎn)，則常數(shù)a的值為_(kāi)_______． 【解析】　直線l：消去參數(shù)t后得y＝x－a. 橢圓C：消去參數(shù)φ后得＋＝1. 又橢圓C的右頂點(diǎn)為(3,0)，代入y＝x－a得a＝3. 【答案】　3 6．(2012·廣東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分

17、別為(θ為參數(shù)，0≤θ≤)和(t為參數(shù))，則曲線C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______． 【解析】　曲線C1和C2的普通方程分別為 (0≤x≤，0≤y≤) 聯(lián)立①②解得 ∴C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)． 【答案】　(2,1) 三、解答題(每小題10分，共30分) 7．化直線l的參數(shù)方程，(t為參數(shù))為普通方程，并求傾斜角，說(shuō)明|t|的幾何意義． 【解】　由消去參數(shù)t，得 直線l的普通方程為x－y＋3＋1＝0. 故k＝＝tan α，即α＝. 因此直線l的傾斜角為. 又得(x＋3)2＋(y－1)2＝4t2， ∴|t|＝. 故|t|是t對(duì)應(yīng)點(diǎn)M到定點(diǎn)M0(－3,1)的

18、向量的模的一半． 8．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cos θ，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))求直線l與曲線C相交所成的弦的弦長(zhǎng)． 【解】　由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ. ∴直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4x＝0， 即(x－2)2＋y2＝4. 直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)) 化為普通方程為x－y－1＝0. 曲線C的圓心(2,0)到直線l的距離為＝， 所以直線l與曲線C相交所成的弦的弦長(zhǎng)為2 ＝. 9．(2013·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(

19、θ為參數(shù))．試求直線l和曲線C的普通方程，并求出它們的公共點(diǎn)的坐標(biāo)． 【解】　因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直線l的普通方程為2x－y－2＝0. 同理得到曲線C的普通方程為y2＝2x. 聯(lián)立方程組解得公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2)，(，－1)． 教師備選 10．(2012·沈陽(yáng)模擬)已知直線l的參數(shù)方程為，(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ＝，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)M(－1,0)，直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)． (1)求直線l的極坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程； (2)線段MA，MB長(zhǎng)度分別記為|MA|，|MB|，求|MA|·|MB|的值． 【解】　(1)直線l：，(t為參數(shù))的直角坐標(biāo)方程為x－y＋1＝0，所以極坐標(biāo)方程為ρcos(θ＋)＝－1， 曲線C：ρ＝即(ρcos θ)2＝ρsin θ， 所以曲線的普通方程為y＝x2. (2)將，(t為參數(shù)) 代入y＝x2得t2－3t＋2＝0， ∴t1t2＝2，∴|MA|·|MB|＝|t1t2|＝2. 最新精品語(yǔ)文資料