(江蘇專版)2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題2.5 二次函數(shù)與冪函數(shù)(講).doc
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5 二次函數(shù)與冪函數(shù) 【考綱解讀】 內(nèi) 容 要 求 備注 A B C 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 二次函數(shù) √ 1.理解并掌握二次函數(shù)的定義、圖像及性質(zhì). 2.會求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值. 3.能用二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式之間的聯(lián)系去解決有關(guān)問題. 【直擊教材】 1.已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點(diǎn)(2,),則函數(shù)的解析式為________________. 【答案】f(x)=x(x≥0) 2.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù),且其定義域?yàn)閇a-1,2a],則y=f(x)的值域?yàn)開_______. 【答案】 【知識清單】 1 二次函數(shù)解析式的求法 二次函數(shù)有三種形式:一般式、頂點(diǎn)式、兩根式.求二次函數(shù)的解析式,使用待定系數(shù)法,即根據(jù)題設(shè)條件,恰當(dāng)選擇二次函數(shù)的形式,可使運(yùn)算簡捷. 2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用 ①二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型:軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動,不論哪種類型,解決的關(guān)鍵是考查對稱軸與區(qū)間的關(guān)系,當(dāng)含有參數(shù)時(shí),要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論. ②二次函數(shù)的單調(diào)性問題則主要依據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸進(jìn)行分析討論求解.對于與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立或存在問題注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用. 3.五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 函數(shù)特征性質(zhì) y=x y=x2 y=x3 y=x y=x-1 圖象 定義域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 單調(diào)性 增 (-∞,0)減,(0,+∞)增 增 增 (-∞,0)和(0,+∞)減 公共點(diǎn) (1,1) 4.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) f(x)=ax2+bx+c a>0 a<0 圖象 定義域 R 值域 單調(diào)性 在上遞減,在上遞增 在上遞增,在上遞減 奇偶性 b=0時(shí)為偶函數(shù),b≠0時(shí)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 圖象特點(diǎn) ①對稱軸: x=-; ②頂點(diǎn): 【考點(diǎn)深度剖析】 從近幾年的高考試題來看,二次函數(shù)圖像的應(yīng)用與其最值問題是高考的熱點(diǎn),題型多以小題或大題中關(guān)鍵的一步的形式出現(xiàn),主要考查二次函數(shù)與一元二次方程及一元二次不等式三者的綜合應(yīng)用. 【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】 1.已知冪函數(shù)f(x)=(m2-3m+3)xm+1為偶函數(shù),則m=________. 【答案】1 【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)f(x)=(m2-3m+3)xm+1為偶函數(shù),所以m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,解得m=1或m=2.當(dāng)m=1時(shí),冪函數(shù)f(x)=x2為偶函數(shù),滿足條件.當(dāng)m=2時(shí),冪函數(shù)f(x)=x3為奇函數(shù),不滿足條件. 2.已知冪函數(shù)f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對稱,且在(0,+∞)上是減函數(shù),則n=________. 【答案】1 3.若(a+1)<(3-2a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 【答案】 【解析】易知函數(shù)y=x的定義域?yàn)閇0,+∞),在定義域內(nèi)為增函數(shù), 所以解得-1≤a<. [謹(jǐn)記通法] 冪函數(shù)的指數(shù)與圖象特征的關(guān)系 (1)冪函數(shù)的形式是y=xα(α∈R),其中只有一個(gè)參數(shù)α,因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式. (2)若冪函數(shù)y=xα(α∈R)是偶函數(shù),則α必為偶數(shù).當(dāng)α是分?jǐn)?shù)時(shí),一般將其先化為根式,再判斷. (3)若冪函數(shù)y=xα在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則α>0,若在(0,+∞)上單調(diào)遞減,則α<0. 已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,試確定此二次函數(shù)的解析式. 解:法一:(利用一般式) 設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由題意得解得 故所求二次函數(shù)為f(x)=-4x2+4x+7. 法二:(利用頂點(diǎn)式) 設(shè)f(x)=a(x-m)2+n. [由題悟法] 求二次函數(shù)解析式的方法 [即時(shí)應(yīng)用] 已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,3),它在x軸上截得的線段長為2,并且對任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式. 解:因?yàn)閒(2-x)=f(2+x)對x∈R恒成立, 所以f(x)的對稱軸為x=2. 又因?yàn)閒(x)的圖象被x軸截得的線段長為2, 所以f(x)=0的兩根為1和3. 設(shè)f(x)的解析式為f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0). 又因?yàn)閒(x)的圖象過點(diǎn)(4,3), 所以3a=3,a=1. 所以所求f(x)的解析式為f(x)=(x-1)(x-3), 即f(x)=x2-4x+3. 角度一:二次函數(shù)的單調(diào)性問題 1.若函數(shù)f(x)=x2+a|x-2|在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 【答案】[-4,0] 角度二:二次函數(shù)的最值問題 2.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+4在區(qū)間[0,m]( m>0)上的最大值為4,最小值為3,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________. 【答案】[1,2] 【解析】作出函數(shù)的圖象如圖所示,從圖中可以看出當(dāng)1≤m≤2時(shí),函數(shù)f(x)=x2-2x+4在區(qū)間[0,m](m>0)上的最大值為4,最小值為3. 角度三:二次函數(shù)中恒成立問題 3.已知函數(shù)f(x)=ax2-2x+2,若對一切x∈,f(x)>0都成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________. 【解析】由題意得,對一切x∈,f(x)>0都成立, 即a>=-+=-22+, 而-22+≤, 則實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 【答案】 [通法在握] 1.二次函數(shù)最值問題的3種類型及解題思路 (1)類型:①對稱軸、區(qū)間都是給定的;②對稱軸動、區(qū)間固定;③對稱軸定、區(qū)間變動. (2)思路:抓“三點(diǎn)一軸”,三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn),一軸指的是對稱軸. 2.由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的2大思路及1個(gè)關(guān)鍵 (1)思路:一是分離參數(shù);二是不分離參數(shù). (2)關(guān)鍵:兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值,至于用哪種方法,關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離.這兩個(gè)思路的依據(jù)是:a≥f(x)?a≥f(x)max,a≤f(x)?a≤f(x)min. [演練沖關(guān)] 已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)當(dāng)a=-1時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值和最小值; (2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍,使y=f(x)在區(qū)間[-5,5]上是單調(diào)函數(shù). 【易錯(cuò)試題常警惕】 設(shè)函數(shù),對于滿足的一切值都有,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 【答案】 【解析】當(dāng)時(shí),,由,得:或或,解得: 或或,所以或或,即;當(dāng)時(shí),- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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