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1、新編高考數(shù)學復習資料 學案18　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 導學目標： 1.能畫出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值以及與x軸的交點等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性． 自主梳理 1．周期函數(shù) (1)周期函數(shù)的定義 對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得定域內(nèi)的每一個x值，都滿足__________，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)____叫做這個函數(shù)的周期． (2)最小正周期 如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個_____________

2、___，那么這個________________就叫做f(x)的最小正周期． 2．三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖象 定義域 值域 周期性 奇偶性 單調(diào)性 在______________上增，在______________上減 在_____________上增， 在_____________上減 在定義域的每一個區(qū)間____________________內(nèi)是增函數(shù) 對稱性 對稱中心 (kπ，0) (k∈Z) (kπ＋，0) (k∈Z) (，0)

3、 (k∈Z) 對稱軸 x＝kπ＋， (k∈Z) x＝kπ， (k∈Z) 無 自我檢測 1．設點P是函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω≠0)的圖象C的一個對稱中心，若點P到圖象C的對稱軸的距離的最小值是，則f(x)的最小正周期是________． 2．函數(shù)y＝3－2cos(x－)的最大值為________，此時x＝________. 3．函數(shù)y＝tan(－x)的定義域是________． 4．比較大?。簊in(－)________sin(－)． 5．如果函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖象關于點中心對稱，那么|φ|的最小值為________．  探究點一　求三角函數(shù)的定

4、義域 例1　求函數(shù)y＝＋的定義域． 變式遷移1　函數(shù)y＝＋lg(2sin x－1)的定義域為________________________． 探究點二　三角函數(shù)的單調(diào)性 例2　求函數(shù)y＝2sin的單調(diào)區(qū)間． 變式遷移2　(1)求函數(shù)y＝sin，x∈[－π，π]的單調(diào)遞減區(qū)間； (2)求函數(shù)y＝3tan的周期及單調(diào)區(qū)間． 探究點三　三角函數(shù)的值域與最值 例3　已知函數(shù)f(x)＝2asin(2x－)＋b的定義域為[0，]，函數(shù)的最大值為1，最小值為－5，求a和b的值． 變式遷移3　設函數(shù)f(x)＝acos x＋b的

5、最大值是1，最小值是－3，試確定g(x)＝bsin(ax＋)的周期． 轉(zhuǎn)化與化歸思想 例　(14分)求下列函數(shù)的值域： (1)y＝－2sin2x＋2cos x＋2； (2)y＝3cos x－sin x，x∈[0，]； (3)y＝sin x＋cos x＋sin xcos x. 【答題模板】 解　(1)y＝－2sin2x＋2cos x＋2＝2cos2x＋2cos x ＝2(cos x＋)2－，cos x∈[－1,1]． 當cos x＝1時，ymax＝4，當cos x＝－時，ymin＝－， 故函數(shù)值域為[－，4]．[4分] (2)y＝3cos x－sin x

6、＝2cos(x＋)． ∵x∈[0，]，∴≤x＋≤，∵y＝cos x在[，]上單調(diào)遞減， ∴－≤cos(x＋)≤，∴－≤y≤3，故函數(shù)值域為[－，3]．[9分] (3)令t＝sin x＋cos x，則sin xcos x＝，且|t|≤. ∴y＝t＋＝(t＋1)2－1，∴當t＝－1時，ymin＝－1； 當t＝時，ymax＝＋. ∴函數(shù)值域為[－1，＋]．[14分] 【突破思維障礙】　 1．對于形如f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈[a，b]的函數(shù)在求值域時，需先確定ωx＋φ的范圍，再求值域．同時，對于形如y＝asin ωx＋bcos ωx＋c的函數(shù)，可借助輔助角公式，將函數(shù)化為y

7、＝sin(ωx＋φ)＋c的形式，從而求得函數(shù)的最值． 2．關于y＝acos2x＋bcos x＋c(或y＝asin2x＋bsin x＋c)型或可化為此型的函數(shù)求值域，一般可化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題． 給你提個醒！不論用什么方法，切忌忽略函數(shù)的定義域． 1．熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)是研究三角問題的基礎，三角函數(shù)的定義域是研究其他一切性質(zhì)的前提，求三角函數(shù)的定義域?qū)嵸|(zhì)上就是解最簡單的三角不等式(組)． 2．三角函數(shù)的值域問題，實質(zhì)上是含有三角函數(shù)的復合函數(shù)的值域問題． 3．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的單調(diào)區(qū)間的確定，基本思想是

8、把ωx＋φ看作一個整體，利用y＝sin x的單調(diào)區(qū)間來求． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ) (A，ω，φ為常數(shù)，A>0，ω>0)在閉區(qū)間[－π，0]上的圖象如圖所示，則ω＝________. 2．(2010·江蘇6校高三聯(lián)考)已知函數(shù)y＝tan ωx (ω>0)與直線y＝a相交于A、B兩點，且|AB|最小值為π，則函數(shù)f(x)＝sin ωx－cos ωx的單調(diào)增區(qū)間是________． 3．(2011·江蘇四市聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝2sin ωx(ω>0)在[－，]上單調(diào)遞增，則ω的最大值為________． 4．把函

9、數(shù)y＝cos(x＋)的圖象向左平移φ(φ>0)個單位，所得的函數(shù)為偶函數(shù)，則φ的最小值是________． 5．關于函數(shù)f(x)＝4sin(2x＋)(x∈R)有下列命題： (1)由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整數(shù)倍； (2)y＝f(x)的表達式可改寫為y＝4cos(2x－)； (3)y＝f(x)的圖象關于點(－，0)對稱； (4)y＝f(x)的圖象關于x＝－對稱． 其中正確命題的序號是________．(把你認為正確的命題序號都填上) 6．(2011·泰州調(diào)研)定義函數(shù)f(x)＝給出下列四個命題： ①該函數(shù)的值域為[－1,1]； ②當且僅當x＝2kπ＋(k

10、∈Z)時，該函數(shù)取得最大值； ③該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)； ④當且僅當2kπ＋π

11、f(x)＝2sin(ωx＋)＋a(ω>0)與g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖象的對稱軸完全相同． (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間； (3)當x∈[0，]時，f(x)的最小值為－2，求a的值． 10．(14分)已知函數(shù)f(x)＝，求它的定義域和值域，并判斷它的奇偶性． 11．(14分)(2010·宿遷高三二模)已知向量a＝(sin x，2sin x)，b＝(2cos x，sin x)，定義f(x)＝a·b－. (1)求函數(shù)y＝f(x)，x∈R的單調(diào)遞減區(qū)間； (2)若函數(shù)y＝f(x＋θ) (0<θ<)為偶

12、函數(shù)，求θ的值． 答案 自主梳理 1．(1)f(x＋T)＝f(x)　T　(2)最小的正數(shù)　最小的正數(shù) 2．R　R　{x|x≠kπ＋，k∈Z}　[－1,1]　[－1,1]　R　2π　2π　π　奇函數(shù)　偶函數(shù)　奇函數(shù)　[2kπ－，2kπ＋] (k∈Z)　[2kπ＋，2kπ＋π](k∈Z)　[2kπ－π，2kπ] (k∈Z)　[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)　(kπ－，kπ＋)(k∈Z) 自我檢測 1．π　2.5?。?kπ(k∈Z)　3.{x|x≠kπ＋，k∈Z} 4．>　5. 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　求三角函數(shù)的定義域時，需要轉(zhuǎn)化為三角不等式(組)求解，常常

13、借助于三角函數(shù)的圖象和周期解決，求交集時可以利用單位圓，對于周期相同的可以先求交集再加周期的整數(shù)倍即可． 解　要使函數(shù)有意義， 則得 所以函數(shù)的定義域為. 變式遷移1　，k∈Z 解析　由題意得?， 解得， 即x∈，k∈Z. 例2　解題導引　求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：①把“ωx＋φ (ω>0)”視為一個“整體”；②A>0 (A<0)時，所列不等式的方向與y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的單調(diào)區(qū)間對應的不等式方向相同(反)． 解　方法一　y＝2s

14、in化成y＝－2sin. ∵y＝sin u(u∈R)的遞增、遞減區(qū)間分別為 (k∈Z)、(k∈Z)， ∴令2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)， 解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)， 令2kπ－≤x－≤2kπ＋ (k∈Z)， 解得2kπ－≤x≤2kπ＋ (k∈Z)． ∴函數(shù)y＝2sin的單調(diào)遞減區(qū)間、單調(diào)遞增區(qū)間分別為 (k∈Z)、 (k∈Z)． 方法二　y＝2sin可看作是由y＝2sin u與u＝－x復合而成的．又∵u＝－x為減函數(shù)， ∴由2kπ－≤u≤2kπ＋(k∈Z)， 即2kπ－≤－x≤2kπ＋ (k∈Z)， 得－2kπ－≤x≤－2kπ＋ (k∈Z)， 即(

15、k∈Z)為 y＝2sin的遞減區(qū)間． 由2kπ＋≤u≤2kπ＋ (k∈Z)， 即2kπ＋≤－x≤2kπ＋ (k∈Z)， 得－2kπ－≤x≤－2kπ－ (k∈Z)， 即(k∈Z)為 y＝2sin的遞增區(qū)間． 綜上可知，y＝2sin的遞增區(qū)間為 (k∈Z)； 遞減區(qū)間為 (k∈Z)． 變式遷移2　解　(1)由y＝sin， 得y＝－sin， 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，又x∈[－π，π]， ∴－π≤x≤－π，－≤x≤π，π≤x≤π. ∴函數(shù)y＝sin，x∈[－π，π]的單調(diào)遞減區(qū)間為，，. (2)函數(shù)y＝3tan的周期T＝＝4π.

16、 由y＝3tan 得y＝－3tan， 由－＋kπ<－<＋kπ得 －π＋4kπ0，則，解得； 若a<0，則，解得. 綜上可知，a＝12－6，b＝－23＋12 或a＝－12＋6，b＝19－12. 變式遷移3　解　∵x∈R，∴cos x∈[－1,1]． 若a>0，則，解

17、得； 若a<0，則，解得. 所以g(x)＝－sin(2x＋)或g(x)＝sin(2x－)，周期為π. 課后練習區(qū) 1．3 解析　由圖可知，T＝，∴ω＝＝3. 2. (k∈Z)　3. 4. 解析　向左平移φ個單位后的解析式為y＝cos(x＋＋φ)， 當＋φ＝kπ(k∈Z)時，函數(shù)y＝cos(x＋＋φ)為偶函數(shù)， ∴φ＝kπ－(k∈Z)．當k＝2時，φmin＝. 5．(2)(3) 解析　(1)不正確．可舉反例，如f(－)＝f()＝0但－－＝－. (2)正確．∵y＝4sin(2x＋)＝4cos[－(2x＋)] ＝4cos(－2x＋)＝4cos(2x－)． (3)正確．∵

18、f(－)＝0， ∴y＝f(x)的圖象與x軸交于(－，0)點． (4)不正確．∵f(－)既不是y的最大值也不是y的最小值．故答案為(2)(3)． 6．1 解析　當2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)時，sin x≥cos x，所以f(x)＝sin x，f(x)∈[－，1]；x＝2kπ＋(k∈Z)時，該函數(shù)取得最大值； 當且僅當2kπ＋π

19、f(x)<0.綜合得：①②錯誤，④正確，周期還是2π，所以③錯誤． 7．4π 解析　由f(x1)≤f(x)≤f(x2)知，f(x1)、f(x2)分別為f(x)的最小值和最大值，而當＝2kπ－，即x＝8kπ－2π (k∈Z)時，f(x)取最小值；而＝2kπ＋，即x＝8kπ＋2π (k∈Z)時，f(x)取最大值， ∴|x1－x2|的最小值為4π. 8. 解析　線段P1P2的長即為sin x的值，且其中的x滿足6cos x＝5tan x，x∈，解得sin x＝.所以線段P1P2的長為. 9．解　(1)∵f(x)和g(x)的對稱軸完全相同， ∴二者的周期相同，即ω＝2，f(x)＝2sin

20、(2x＋)＋a，…………………………………(3分) ∴f(x)的最小正周期T＝＝π. …………………………………………………………(5分) (2)當2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋， 即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減， 故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 [kπ＋，kπ＋](k∈Z)．………………………………………………………………(10分) (3)當x∈[0，]時，2x＋∈[，]，…………………………………………………(12分) ∴當x＝時，f(x)取得最小值， ∴2sin(2·＋)＋a＝－2，∴a＝－1.……………………………………………………(14分) 10

21、．解　由題意知cos 2x≠0，得2x≠kπ＋， 解得x≠＋ (k∈Z)． ∴f(x)的定義域為{x∈R|x≠＋，k∈Z}．……………………………………………(4分) 又f(x)＝＝ ＝cos2x－1＝－sin2x，……………………………………………………………………(8分) 又∵定義域關于原點對稱，∴f(x)是偶函數(shù)．…………………………………………(10分) 顯然－sin2x∈[－1,0]， 又∵x≠＋，k∈Z，∴－sin2x≠－. ∴原函數(shù)的值域為 .……………………………………………………………(14分) 11．解　f(x)＝2sin xcos x＋2sin2x－ ＝sin 2x＋2·－ ＝sin 2x－cos 2x＝2sin.………………………………………………………(4分) (1)令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z 解得單調(diào)遞減區(qū)間是，k∈Z.………………………………………(8分) (2)f(x＋θ)＝2sin. 根據(jù)三角函數(shù)圖象性質(zhì)可知， y＝f(x＋θ) 在x＝0處取最值， ∴sin＝±1， ∴2θ－＝kπ＋，θ＝＋，k∈Z.……………………………………………………(12分) 又0<θ<，解得θ＝.…………………………………………………………………(14分)