《新教材2021-2022學年人教A版必修第一冊 5.4.1　正弦函數、余弦函數的圖象 學案.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《新教材2021-2022學年人教A版必修第一冊 5.4.1　正弦函數、余弦函數的圖象 學案.docx（13頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、5.4三角函數的圖象與性質 5.4.1正弦函數、余弦函數的圖象 核心知識目標 核心素養(yǎng)目標 1.能利用三角函數的定義，畫出函數 y二sinx,y二cosx的圖象. 2.掌握“五點法”畫y=sinx,y=cosx 通過對正弦函數、余弦函數的 的圖象的步驟和方法，能利用“五點 圖象的學習與應用，提升直觀 法”作出簡單的正弦、余弦曲線. 想象、邏輯推理的核心素養(yǎng). 3.理解y=sinx與y=cosx圖象之間 的聯(lián)系. 途知識探究-素養(yǎng)啟迪 ?情境導入 將塑料瓶底部扎一個小孔做成一個漏斗，再掛在架子上,就做成了一個簡易單擺，如圖（1）所示.在漏斗下方放一

2、塊紙板，板的中間畫一條直線作為坐標系的橫軸.把漏斗灌上細沙并拉離平衡位置，放手使它擺動，同時勻速拉動紙板.這樣就可在紙板上得到一條曲線，它就是簡諧運動的圖象物理中把簡諧運動的圖象叫做“正弦曲線”或“余弦曲線”.它表示了漏斗對平衡位置的位移s（縱坐標）隨時間t（橫坐標）變化的情況.圖（2）就是某個簡諧運動的圖象. ⑴ ⑴ ⑵ 如圖所示. sinx 0 1 0 -1 0 -1+sinx -1 0 -1 -2 -1 y=sinx^G［O^ir］3rt T2” 0"""1~y* -/-2y=-l+?inxjtGw］ 由圖象可以發(fā)現，把y=sinx,xe［0

3、,2JT］的圖象向下平移1個單位長度即可得y二T+sinx,xe［0,2k］的圖象. ［例2］利用正弦曲線，求滿足|

4、0,2Ji)內使sinx>|cosx|的x的取值范圍是() (A) (片(B)(J；］(罕,？)(C)§9(D)(?,?) 解析:因為sinx>|cosx|,所以sinx>0,所以xe（0,兀）, cosx|,xE(0,兀)的 在同一坐標系中畫出y=sinx,xe（0,兀）與y=|圖象,觀察圖象易得（：,?）.故選A. ?課堂達標 1. （多選題）下列對y=2cosx的圖象描述正確的是（ABD）（A）在［0,2兀］和［4兀，6兀］上的圖象形狀相同，只是位置不同 （B）介于直線y=2與直線y=-2之間（C）關于x軸對稱 （D）與y軸僅有一個交點解析：由y=2cosx

5、的圖象可知A,B,D項正確，y=2cosx圖象的對稱軸 方程為x=kn,kez,故C項錯誤.故選ABD. 2. （2020?吉林實驗中學高一月考）函數y=l-sinx,xe［0,2ji］的大致圖象是（B）解析:當x=0時,y=l;當時,y=0;當x=n時,y=l;當爐普時,y=2;當x=2H時,y=l,結合正弦函數的圖象可知B正確.故選B. (C) (D) 函數y=sinx的圖象和y二三的圖象交點個數是 2TT解析:在同一直角坐標系內作出兩個函數的圖象如圖所示, 由圖可知交點個數是3. 答案：34.不等式sinx<-|,xe[0,2n]的解集為解析:如圖所示,不等式sin

6、探究:通過上述實驗，你對正弦函數、余弦函數圖象的直觀印象是怎樣的？ 提示:正、余弦函數的圖象是“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線. ?知識探究 正弦函數、余弦函數的圖象［問題1-1］在［0,2II］上任取一個值X。,如何利用正弦函數的定義，確定正弦函數值sinX。,并畫出點T(x0,sinx0)? 提示:在直角坐標系中畫出以原點0為圓心的單位圓，與x軸正半軸的交點為A(l,0).在單位圓上，將點A繞著點。旋轉x。弧度至點B,根據正弦函數的定義，點B的縱坐標y0=sinx0.由此，以x°為橫坐標,y°為縱坐標畫點，即得到函數圖象上的點T(x0,sinxo). ［問題1-2］你能畫出x。的值分別

7、為0,；,：,2兀時對應的正弦函632 數圖象上的點嗎？ 提示:如圖，把X軸上從0到2這一段分成12等份，使X。的值分別為0,p…,2Ji,它們所對應的角的終邊與單位圓0的交點將圓周12 632等分,再按上述畫點T(x。,sinxo)的方法，就可畫出自變量取這些值時對應的函數圖象上的點. ［問題1-3］你能畫出正弦函數在［0,2兀］上的圖象嗎? 提示:將上述得到的12個點用光滑的曲線連接起來. ［問題1-4］你如何得到正弦函數在R上的圖象呢？ 提示:將函數y=sinx,xe［0,2ji］的圖象不斷向左、向右平移(每次移動2n個單位長度)，就可以得到正弦函數y=sinx,x《

8、R的圖象，如圖. ［問題1-5］以上作圖方法雖然精確，但是太麻煩，你如何快捷的畫出正弦函數y=sinx,xe［0,2n］的圖象?對余弦函數而言呢? 提示:五點作圖法:y=sinx的五點：(0,0),(；,1),(幾，0),號,~1),(2Ji,0);y=cosx的五點:(0,1),(?,0),(只，T),(y,0),(2n,1).［問題1-6］正弦函數和余弦函數這兩者的圖象能否通過左右平移得到？ 提示:能.將正弦函數的圖象向左平移?個單位長度，得到余弦函數的圖象. 梳理正弦函數、余弦函數的圖象?小試身手 函數 y=sinx y=cosx 圖象 y 亨 y i -

9、1 圖象 畫法 五點法 五點法 關鍵 (0,0),(p 1),(兀，o), (0,1),(p0),(叭 五點 (￥，-1),(2叭0) -1),(學,o),(2n,D 1.用“五點法”作y=2sinx的圖象時，首先描出的五個點的橫坐標是(A)0,pn,|n,2n⑻0,n 2 2424(C)0,ji,2Ji,3n,4Ji(D)0,羅 6323 解析：由五點作圖法可知，首先描出的五個點的橫坐標為x=o,兀，： n,2n.故選A. 2. 函數y=-sinx,xe[-Hy]的簡圖是(D) (C)(D) 解析:可以用特殊點來驗證.當x=0時,y=-sin0=0

10、,排除A,C;當x=—時,y=-siny=l,排除B.故選D. 3.不等式cosx<0,xG[0,2n]的解集為. 解析：由函數y=cosx的圖象可知，不等式cosx<0在［0,2n］的解集為寫3）?答案：（；,?）函數y=cosx,xe［0,2n］的圖象與直線y=的交點有 個. 解析:作y=cosx,xe［0,2n］的圖象及直線y=［（圖略），可知兩函數圖象有2個交點. 答案：2￡課堂探究?素養(yǎng)培育 點探究點一“五點法”作圖的應用 ［例1］用“五點法”作出函數y=l-2sinx,xe［-n,jt］的簡圖并觀察函數圖象,寫出滿足下列條件的x的區(qū)間. ① y>l;②y〈l. 解

11、:按五個關鍵點，列表如下： X -兀 TC — 2 0 71 2 n sinx 0 -1 0 1 0 l~2sinx 1 3 1 -1 1 描點并連線得 由圖象可知圖象在y=l上方部分時y>l,在y=l下方部分時y y=l-2Binx9x 所以①當xe(-n,O)時,y>l;②當x￡(0,n)時,y

12、-1 0 1 -1-COSX -2 -1 0 -1 -2  (2)描點連線，如圖所示. 拿方法總結 用“五點法”畫函數y=Asinx+b(AKO)或y二Acosx+b(A五0)在［0,2 兀］上簡圖的步驟 (1)列表: X sinx（或cosx） y 0 0（或1） b（或A+b） 7T 2 1（或0） A+b（或b） 0（或-1） b（或-A+b） 3n T T（或0） -A+b（或b） 2n 0（或1） b（或A+b） (2)描點:在平面直角坐標系中描出五個點 (0,yi),(py2),3,Y3),(y,y

13、4),(2兀，y5),這里的yi(i=l,2,3,4,5)值是通過函數解析式計算得到的. ⑶連線:用光滑的曲線將描出的五個點連接起來，就得到正(余)弦函 數y=Asinx+b（y=Acosx+b）（A/0）在［0,2兀］上的圖象. 寸易錯警示 用“五點法”作函數圖象時，連線要保持光滑，注意凸凹方向. 8探究點二正、余弦函數圖象的應用［例2］函數y=V2sinx-l的定義域為 解析：由2sinxTN0得sinxN=2 畫出y=sinx的圖象和直線匕1。3G\/4ir* -1 匕1。3G\/4ir* -1 可知sinxN：的解集，即函數定義域為(x|-+2k兀W

14、xW^+2kir,kez}. 66答案：(x|-+2kJT+2kn,k￡Z) 66［變式訓練2-1］本例中的“sinx”改為“cosx”，應如何解答? 解：由2cosxTm0得cosxN=畫出y=cosx的圖象和直線y—. 22 觀察圖象可知函數的定義域為{x|2kit二WxW2kn+=kGZ}. 3 3［變式訓練2-2］將本例中的函數變?yōu)閒(x)=Vl-2sinx,求函數定義域. 解：因為f(x)=Vl-2sinx,所以l-2sinxNO, 所以sinxWL2 畫出y=sinx的圖象與直線的圖象如圖所示. 由圖象可知，不等式的解集即函數的定義域為 (x12k

15、H--JiWxW2knkeZ). 66［變式訓練2-3］將本例中的函數變?yōu)閒(x)=Vl-2cosx,求函數的定義域. 解：因為f(x)=Vl-2cosx,所以l~2cosxNO, 所以cos畫出y=cosx與的圖象如圖所示. 由圖象可知不等式的解集，即函數的定義域為{x|?+2kJiWxW2kn ° ,kez}. 3寸方法總結 (1) 求解與正、余弦函數有關的定義域，首先根據函數解析式的特征,列出關于正、余弦的不等式. (2) 用三角函數的圖象解sinx>a(或cosx>a)的方法作出y=a,y=sinx(或y=cosx)的圖象. ① 確定sinx二a(或cosx=a

16、)的x值(一般是先求函數在［0,2兀］或［-兀,兀］內的x值). ② 確定sinx>a(或cosx>a)的解集. 3Q探究點三正、余弦曲線的綜合應用［例3］在(0,2兀)內，使sinx>cosx成立的x的取值范圍是() (A)(拓)u(孔乎)(B)(Hk) 4 244（0馬罕）（D）C）UT） 解析:在同一坐標系中作出y=sinx,xe（0,2n）與y=cosx,xE（0,2兀）的圖象如圖所示，由圖象可觀察出當x&（?,乎）時，sinx>cosx. 44 故選C. ［變式訓練3-1］函數f（x）=Vcosx-sinx在（0,2n）內的定義域 是. 解析：由題意,cosxNsinx. 在同一直角坐標系內作出函數y二cosx與y=sinx的圖象（圖略），可知不等式的解集為（0,：］U呼,2n）. 即函數的定義域為（0,：］U［罕,2兀）. 答案：（0,?］胃,2244 寸方法總結 涉及關于sinx'cosx（或sinxWcosx）的不等式問題,可以在同一直角坐標系內作出兩函數的圖象，根據圖象確定不等式的解集. ⑥備用例題 ［例1］作函數y=sinx,xG［0,2兀］與函數y=-l+sinx,xE［0,2n］的簡圖，并研究它們之間的關系. 解:按五個關鍵點列表： X 0 71 2 兀 3n T 2n