《數(shù)學(xué)下冊(cè)（基礎(chǔ)模塊）》 配套PPT課件,數(shù)學(xué)下冊(cè)（基礎(chǔ)模塊）,《數(shù)學(xué)下冊(cè)（基礎(chǔ)模塊）》,配套PPT課件,數(shù)學(xué),下冊(cè),基礎(chǔ),模塊,配套,PPT,課件 第 6 章數(shù) 列目錄Contents6.1數(shù)列的概念6.2等差數(shù)列 6.3等比數(shù)列6.4數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用舉例PART 6.1數(shù)列的概念數(shù)列6.1 數(shù)列的概念 某場(chǎng)地堆放著一些圓鋼(見圖6-1)，最底層有100根，在其上一層（稱為第二層）有99根，第三層有98根，依此類推.問：(1)第四層有多少根？(2)從第五層到第十層的圓鋼數(shù)分別為多少？情景導(dǎo)入數(shù)列 細(xì)胞一小時(shí)分裂一次，1個(gè)細(xì)胞分裂一次變成2個(gè)，分裂兩次變成4個(gè)，各次分裂后的細(xì)胞數(shù)排成一列數(shù)：2，4，8，16，.（1）自然數(shù)1，2，3，4，5，的倒數(shù)排成一列數(shù)：1，1/2，1/3，1/4，1/5，.（2）-1的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，排成一列數(shù)：-1，1，-1，1，.（3）6.1 數(shù)列的概念知識(shí)探究數(shù)列 “零存整取”存款，每月存入500元，每月存款數(shù)排成一列數(shù)：500，500，500，500，.（4）像上述例子中那樣，按照一定次序排成的一列數(shù)，稱為數(shù)列.6.1 數(shù)列的概念知識(shí)探究數(shù)列 數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，其中第1個(gè)數(shù)為第1項(xiàng)，第2個(gè)數(shù)為第2項(xiàng)第n個(gè)數(shù)為第n項(xiàng)，第n項(xiàng)中的“n”稱為該項(xiàng)的序號(hào).有有限多項(xiàng)的數(shù)列稱為有窮數(shù)列.有無限多項(xiàng)的數(shù)列稱為無窮數(shù)列.用項(xiàng)數(shù)n來表示該數(shù)列相應(yīng)項(xiàng)的公式，叫作數(shù)列的通項(xiàng)公式.一個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)記作an（nN*)，第n項(xiàng)為an的數(shù)列記做an.例如，數(shù)列（1）的通項(xiàng)公式是an=2n（nN*）.由數(shù)列通項(xiàng)公式的定義可知，數(shù)列的通項(xiàng)是以正整數(shù)集的子集為其定義域的函數(shù)。故通項(xiàng)為6.1 數(shù)列的概念知識(shí)探究數(shù)列 像數(shù)列 這樣，如果一個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)（nN*）能用它前面若干項(xiàng)來表示，則把這個(gè)公式稱為這個(gè)數(shù)列的遞推公式.從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都比前一項(xiàng)大，這樣的數(shù)列叫作遞增數(shù)列.從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都比前一項(xiàng)小，這樣的數(shù)列叫作遞減數(shù)列.6.1 數(shù)列的概念知識(shí)探究數(shù)列 例1 根據(jù)通項(xiàng)公式，求出下面數(shù)列an的前5項(xiàng).（1）an=;（2）an=（1）n n .6.1 數(shù)列的概念例題分析數(shù)列的概念解 （1）在通項(xiàng)公式中依次取n=1,2,3,4,5，得到數(shù)列的前五項(xiàng)為 （2）在通項(xiàng)公式中依次取n=1,2,3,4,5，得到數(shù)列的前五項(xiàng)為 -1 ,2，-3,4，-56.1 數(shù)列的概念例題分析數(shù)列的概念例2 根據(jù)數(shù)列an的首項(xiàng)和遞推關(guān)系寫出數(shù)列的前5項(xiàng)，并推測(cè)通項(xiàng)公式.（1）a1=0,an+1=an+（2n-1）（nN*）;（2）a1=1,an+1=（nN*）解 （1）由已知a1=0，得 a2=a1+1=1,a3=a2+3=4,a4=a3+5=9,a5=a4+7=16.由a1=（1-1）,a2=（2-1）2,a3=（3-1）2,a4=（4-1）2,a5=（5-1）2,可推測(cè)出 an=（n-1）2.6.1 數(shù)列的概念例題分析數(shù)列的概念解 （2）由已知a1=1,得 由 可推測(cè)出6.1 數(shù)列的概念例題分析數(shù)列的概念1.根據(jù)下列數(shù)列an的通項(xiàng)公式，寫出它的前5項(xiàng).(1)an=5n ;(2)an=n(n+1);(3)an=n2 ;(4)an=(-1)n.2.觀察下面數(shù)列的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空，并寫出每個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.(1)2,4,(),16,32,(),128;(2)-1,12,(),14,-15,16,().6.1 數(shù)列的概念課堂練習(xí)PART 6.2等差數(shù)列數(shù)列6.2.1 等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式 某班參加義務(wù)植樹勞動(dòng)，分為5個(gè)小組，第1小組到第5小組植樹的棵數(shù)恰好構(gòu)成下面的數(shù)列：20，22，24，26，28.在過去的300多年里，人們分別在下列時(shí)間里觀測(cè)到了哈雷彗星，可以得到下面的數(shù)列：1682，1758，1834，1910，1986.情景導(dǎo)入數(shù)列6.2.1 等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式 2008年，在北京舉行的奧運(yùn)會(huì)上，女子舉重項(xiàng)目共設(shè)置了7個(gè)級(jí)別.其中較輕的4個(gè)級(jí)別體重構(gòu)成下面的數(shù)列（單位：kg)：48，53，58，63.試分析上述的3個(gè)數(shù)列有什么共同的特點(diǎn).情景導(dǎo)入數(shù)列6.2.1 等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式 觀察數(shù)列 20，22，24，26，28.我們可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)數(shù)列有這樣的特點(diǎn)：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于2.觀察數(shù)列 1682，1758，1834，1910，1986.我們可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)數(shù)列有這樣的特點(diǎn)：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于76.知識(shí)探究數(shù)列6.2.1 等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式 觀察數(shù)列 48，53，58，63.我們可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)數(shù)列有這樣的特點(diǎn)：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于5.一般地，如果一個(gè)數(shù)列從它的第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列叫作等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差，通常用字母d 來表示.知識(shí)探究數(shù)列6.2.1 等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式 例如，數(shù)列1，3，5，7，2n-1，就是等差數(shù)列，它的公差d=2.特別地，數(shù)列2，2，2，2，也是等差數(shù)列，它的公差為0.公差為0的數(shù)列叫作常數(shù)數(shù)列.如果一個(gè)數(shù)列 ,是等差數(shù)列，它的公差是d,那么 ,.由此可知，如果已知首項(xiàng)和公差，則等差數(shù)列 的通項(xiàng)公式可表示為 .知識(shí)探究數(shù)列例1 求等差數(shù)列 12，8，4，0，的通項(xiàng)公式與第10項(xiàng).解 因?yàn)?,d=8-12=-4,所以這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ,即 .從而 .例題分析6.2.1 等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式數(shù)列例2 等差數(shù)列 -1，2，5，8，的第幾項(xiàng)是152？解 設(shè)這個(gè)等差數(shù)列的第n 項(xiàng)是152.由于 ,因此由通項(xiàng)公式得 152=-1+（n-1）3,解得 n=52.即這個(gè)數(shù)列的第52項(xiàng)是152.例題分析6.2.1 等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式數(shù)列6.2.1 等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式 在 與b 兩個(gè)數(shù)之間插入一個(gè)數(shù)D，使得 ,D,b 成等差數(shù)列.即 D 是 與 b 的算術(shù)平均數(shù).一般地，如果 ,D,b 成等差數(shù)列，那么D 稱為 與 b 的等差中項(xiàng).從上述討論看到，D 是 與b 的等差中項(xiàng).當(dāng)且僅當(dāng)D 是 與b 的算術(shù)平均數(shù).在一個(gè)等差數(shù)列 中，任取連續(xù)的3項(xiàng)，這3項(xiàng)當(dāng)然是等差數(shù)列，因此中間項(xiàng)就是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng).知識(shí)探究數(shù)列6.2.1 等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式 例3 已知3個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為21，積為168，求這3個(gè)數(shù).解 設(shè)這3個(gè)數(shù)分別為a-d,a,a+d,則 （a-d）+a+（a+d）=21 （a-d）a（a+d）=168，整理，得 3a=21 a(a2-d2)=168.解得 a=7,d=5.因此所求的3個(gè)數(shù)為2，7，12或12，7，2.例題分析數(shù)列1.（1）求等差數(shù)列3，7，11，的第4，7，10項(xiàng)；（2）求等差數(shù)列10，8，6，的第20項(xiàng).2.求滿足下列條件的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.（1）（2）3.求下列各組數(shù)的等差中項(xiàng).（1）100與20；（2）-6 與42.課堂練習(xí)6.2.1 等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式數(shù)列6.2.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 如圖6-2所示，某劇場(chǎng)共有20排座位，第一排有38個(gè)座位，以后每一排都比前一排多2個(gè)座位.某校一年級(jí)全體師生共840人要到該劇場(chǎng)舉行聯(lián)歡會(huì)，分析他們能否使用此劇場(chǎng)，你是如何分析的？情景導(dǎo)入數(shù)列數(shù)列的前n項(xiàng)和通常記做 .已知數(shù)列2n，求它的前100項(xiàng)的和 （1）將上式右邊各項(xiàng)的次序反過來，S100又可寫成 （2）6.2.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式知識(shí)探究數(shù)列 將（1）（2）兩式上下對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加，我們發(fā)現(xiàn)其和都等于202，所以將（1）（2）兩式的兩邊分別相加，得一般地，（3）6.2.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式知識(shí)探究數(shù)列再把各項(xiàng)次序反過來，又可寫成 （4）把（3）（4）兩式分別相加，得 由此可得到等差數(shù)列前n 項(xiàng)和公式 （5）6.2.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式知識(shí)探究數(shù)列因?yàn)?.所以式（5）又可寫成 （6）6.2.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式知識(shí)探究數(shù)列例4 求前1000個(gè)正整數(shù)的和.解 正整數(shù)從小到大排成一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，第1000項(xiàng)為1000，從而前1000個(gè)正整數(shù)的和為 例5 已知一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng) =-5,公差d=3，求它的前20項(xiàng)的和.解 6.2.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式例題分析數(shù)列1.求前1500個(gè)正整數(shù)的和.2.根據(jù)下列各題條件，求相應(yīng)等差數(shù)列 的前n 項(xiàng)和 （1）（2）（3）（4）6.2.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式課堂練習(xí)PART 6.3等比數(shù)列數(shù)列 一輛汽車的售價(jià)為15萬元，年折舊率約為10%，那么，該車今后5年的價(jià)值構(gòu)成下面的一個(gè)數(shù)列（單位：萬元）：復(fù)利存款問題：月利率5%，那么1000元存入銀行，從第1個(gè)月后到第12個(gè)月后的本利和構(gòu)成下面的一個(gè)數(shù)列（單位：元）：情景導(dǎo)入6.3.1 等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式數(shù)列觀察數(shù)列這個(gè)數(shù)列有這樣的特點(diǎn)：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于常數(shù)0.9.觀察數(shù)列這個(gè)數(shù)列有這樣的特點(diǎn)：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于常數(shù)1.05.知識(shí)探究6.3.1 等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式數(shù)列 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列稱為等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)稱為這個(gè)等比數(shù)列的公比，通常用字母 q 來表示.由于0不能做分母，因此如果 是等比數(shù)列，那么它的任何一項(xiàng)都不等于0，從而公比 q 0.因?yàn)樵谝粋€(gè)等比數(shù)列里，從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于公比，所以每一項(xiàng)都等于它的前一項(xiàng)乘以公比.這就是說，如果等比數(shù)列 .的公比是q，那么知識(shí)探究6.3.1 等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式數(shù)列 .由此可知，等比數(shù)列 的通項(xiàng)公式是 ，從等比數(shù)列的通項(xiàng)公式看出，只要知道首項(xiàng) 和公比 q,就可以求出等比數(shù)列的任何一項(xiàng).知識(shí)探究6.3.1 等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式數(shù)列例 1 求等比數(shù)列 .的通項(xiàng)公式以及第7項(xiàng)、第10項(xiàng).解 因?yàn)樗赃@個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是于是 6.3.1 等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式例題分析數(shù)列例2 在等比數(shù)列an中，a1=4,q=2.試問：第幾項(xiàng)是1024？解 設(shè)第n項(xiàng)是1024，根據(jù)通項(xiàng)公式得 42n-1=1024,即 2n-1=256,從而 n-1=8,因此 n=9.即這個(gè)等比數(shù)列的第9項(xiàng)是1024.6.3.1 等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式例題分析數(shù)列在兩個(gè)數(shù)a與b之間插入一個(gè)數(shù)G，使得 a,G,b 成等比數(shù)列 .即.一般地，如果 和 兩個(gè)數(shù)之間插入一個(gè)數(shù) ,使 ，成等比數(shù)列，則 稱為 和 的等比中項(xiàng).從上述推導(dǎo)過程看到，當(dāng) 與 都是正實(shí)數(shù)時(shí)，它們的等比中項(xiàng) 等于這兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)或者幾何平均數(shù)的相反數(shù).6.3.1 等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式知識(shí)探究數(shù)列例 3 求-4和7的等比中項(xiàng).解 -4和-7的等比中項(xiàng)為 .6.3.1 等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式例題分析數(shù)列例4 已知3個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的和為14，積為-216，求這3個(gè)數(shù).解 設(shè)這3個(gè)數(shù)是 ,a,aq.由已知條件得 +a+aq=14 aaq=-216.由第二個(gè)方程，得a3=-216，所以a=-6.代入第一個(gè)方程，得-6(+1+q)=14,整理，得3q2+10q+3=0,解得q=-或q=-3.從而所求的3個(gè)數(shù)為18，-6，2或2，-6，18.6.3.1 等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式例題分析數(shù)列1.求下列等比數(shù)列的第五項(xiàng)與第十項(xiàng).（1）.；（2）.；（3）.；（4）.；2.求下列各對(duì)數(shù)的等比中項(xiàng).（1）2與8；（2）16與4；6.3.1 等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式課堂練習(xí)數(shù)列 假如你是經(jīng)銷商，一位供貨商提出要與你簽訂一份交易合同，合同的期限為30天，他每天給你提供價(jià)值10萬元的商品，而你第一天只需付給他1分錢的貨款，第二天付給他2分錢的貨款，第三天付給他4分錢的貨款，依此類推，以后每天所付的貨款都是前一天所付貨款的2倍.你是否同意簽這份合同呢？6.3.2 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式情境導(dǎo)入數(shù)列根據(jù)等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列 的前n項(xiàng)和 可以寫成 （1）我們知道，把等比數(shù)列的任一項(xiàng)乘以公比，就可得到它后面相鄰的一項(xiàng).現(xiàn)將式（1）的兩邊分別乘以公比q,得 （2）比較（1）（2）兩式，我們可看到式（1）的右邊第二項(xiàng)到最后一項(xiàng)，與式（2）的右邊第一項(xiàng)到倒數(shù)第二項(xiàng)完全相同。6.3.2 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式知識(shí)探究數(shù)列 于是將式（1）的兩邊分別減去式（2）的兩邊，可以消去相同的項(xiàng)，得到從而得出 時(shí)，等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式為 （3）因?yàn)樗缘缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和公式還可寫成 （4）當(dāng)q=1時(shí)，經(jīng)計(jì)算可知 6.3.2 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式情境導(dǎo)入數(shù)列例 5 求等比數(shù)列 .的前10項(xiàng)和.解 因?yàn)?所以 6.3.2 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式例題分析數(shù)列例6 設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=2n-1，nN*.求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)的和.解 因?yàn)?nN*,因此an是一個(gè)等比數(shù)列，它的公比q=2，首項(xiàng)a1=1.從而它的前n項(xiàng)和為 Sn=2n-1,即 1+2+22+23+2n-1=2n-1.6.3.2 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式例題分析數(shù)列1.（1）求等比數(shù)列1，2，4，從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和；（2）求等比數(shù)列 從第3項(xiàng)到第7項(xiàng)的和.2.已知一個(gè)等比數(shù)列的前5項(xiàng)的和是242，公比為3，求它的第5項(xiàng).6.3.2 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式課堂練習(xí)數(shù)列 在科學(xué)研究與工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，經(jīng)常會(huì)碰到等差數(shù)列和等比數(shù)列.等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式在計(jì)數(shù)中起著重要作用.6.4 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用舉例情境導(dǎo)入數(shù)列例1 圖6-3表示堆放的鋼管，共堆了6層，求這堆鋼管的數(shù)量.解 由圖6-3可知，每層放的鋼管數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列 ，其中所以6.4 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用舉例情境導(dǎo)入數(shù)列例2 某企業(yè)2008年的生產(chǎn)利潤(rùn)為5萬元，計(jì)劃采用一項(xiàng)新技術(shù)，有望在今后5年使生產(chǎn)利潤(rùn)每年比上一年增長(zhǎng)20%，如果這一計(jì)劃得以實(shí)現(xiàn)，那么該企業(yè)從20082013年的總利潤(rùn)是多少萬元（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后面兩位）？6.4 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用舉例情境導(dǎo)入數(shù)列解 由于該企業(yè)計(jì)劃在今后5年使生產(chǎn)利潤(rùn)每年比上一年增長(zhǎng)20%，因此20082013年每年的生產(chǎn)利潤(rùn)組成的數(shù)列為 5，51.2,51.22,51.23,51.24,51.25 這是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)為5，公比為1.2，從而該企業(yè)20082013年的總利潤(rùn)是等比數(shù)列的前6項(xiàng)的和 即總利潤(rùn)為49.65萬元.6.4 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用舉例情境導(dǎo)入數(shù)列1.下面是全國(guó)統(tǒng)一鞋號(hào)中成年女鞋的各種尺碼（表示鞋底長(zhǎng)，單位是cm）：這些尺碼是否構(gòu)成等差數(shù)列?如果是，公差是多少？2.一個(gè)階梯形教室，共有10排座位，從第二排起，每一排比前一排少2個(gè)座位，最后一排有22個(gè)座位.試問：這個(gè)教室有多少個(gè)座位？3.某林場(chǎng)計(jì)劃第1年造林80公頃,以后每一年比前一年多造林20%，第5年造林多少公頃？課堂練習(xí)6.4 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用舉例THANK YOU第 7 章平面向量（矢量）目錄Contents7.1平面向量的概念7.2平面向量的運(yùn)算7.3平面向量的坐標(biāo)表示7.4平面向量的內(nèi)積PART 7.1平面向量的概念平面向量（矢量）7.1 平面向量的概念 如圖7-1所示，一只老鼠由O處向正西方向跑，1 min后，一只貓由O 處向西北方向追.思考：貓能否追上老鼠？情景導(dǎo)入平面向量（矢量）如圖7-2所示，拉木塊的力F,它是既有大小又有方向的物理量,我們稱既有大小又有方向的量為向量，物理學(xué)中又叫做矢量.例如力、速度、加速度、位移等都是向量.7.1 平面向量的概念知識(shí)探究平面向量（矢量）向量可以用一條有向線段（帶有方向的線段）來表示，用有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向.如圖7-3中所示的向量可以用有向線段 來表示，其中，的長(zhǎng)度表示向量的大小，起點(diǎn) A 往終點(diǎn)B 的方向（箭頭的方向）表示向量的方向.我們記圖中的向量為向量 ,向量 的起點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B.7.1 平面向量的概念知識(shí)探究平面向量（矢量）通常用一個(gè)黑體的小寫英文字母 ，來表示向量，書寫為 .大小和方向是向量的兩個(gè)要素.向量 的大小，也就是向量 的長(zhǎng)度，記作|，讀作向量 的模.a的模記作|.因此，向量的模不同于向量，它是一個(gè)非負(fù)數(shù)，可以進(jìn)行大小比較.長(zhǎng)度為零的向量叫作零向量，記作0.也可以用起點(diǎn) 和終點(diǎn) 重合的有向線段AA 或BB 等表示.顯然，零向量的模為零，它的方向是不確定的.7.1 平面向量的概念知識(shí)探究平面向量（矢量），長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫作單位向量.與 同方向的單位向量可以記作 .觀察非零向量 與向量 ，它們大小相等方向相反，我們稱 為 的負(fù)向量（或反向量），記作 .非零向量a的負(fù)向量記作-a,0 的負(fù)向量記作 0.7.1 平面向量的概念知識(shí)探究平面向量（矢量）長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.記作 .零向量與零向量相等.任意兩個(gè)相等的非零向量，都可以用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān).例如，在圖7-4中，把有向線段AB 平移得到CD，它們的長(zhǎng)度相等且方向相同，因此向量AB 與向量CD 相等.7.1 平面向量的概念知識(shí)探究平面向量（矢量）在同一平面內(nèi)，方向相同或者相反的非零向量，叫作平行向量，也叫作共線向量.若向量 與向量 平行，記作 /,規(guī)定0 與任何向量都平行.如圖7-5所示，向量 ，是共線的，而向量 與 是不共線的.7.1 平面向量的概念知識(shí)探究 圖 7-5平面向量（矢量）例1 如圖7-6所示，D 是 的邊BC 的中點(diǎn).在 中找出與向量 相等的向量、的負(fù)向量以及與 共線的非零向量.解 與向量 共線的非零向量有 7.1 平面向量的概念例題分析平面向量（矢量）例2 如圖7-7所示，設(shè)O 是正六邊形 ABCDEF 的中 心，分別找出圖中與向量 OA，OB，OC 相等的向量.解 7.1 平面向量的概念例題分析平面向量（矢量）1.把平面上所有單位向量歸結(jié)到共同的起點(diǎn)，那么這些向量的終點(diǎn)構(gòu)成什么圖形？2.如圖7-8所示，D，E，F(xiàn) 分別是ABC 中AB，AC，BC 邊的中點(diǎn)，找出與向量 相等、相反、共線的非零向量.7.1 平面向量的概念課堂練習(xí)PART 7.2平面向量的運(yùn)算平面向量（矢量）7.2.1 平面向量的加法 觀察圖7-9，一架飛機(jī)從A處向正北方向飛行5 km到達(dá)B處，接著又從B 處沿北偏東45方向飛行5 km，到達(dá)C 處，顯然這兩次位移 和 的總效果是飛機(jī)從A 處到達(dá)了C 處，我們稱位移 與 的和為 ，記作 情景導(dǎo)入平面向量（矢量）由于向量可以平行移動(dòng)而且不會(huì)改變其大小和方向，當(dāng)把向量b平移，使 b 的起點(diǎn)與 a 的終點(diǎn)重合，那么以向量 a 的起點(diǎn)為起點(diǎn)，以向量 b 的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量就叫作向量 a 與向量 b 的和.求向量和的運(yùn)算，叫作向量的加法，上述關(guān)于向量和的定義稱為向量加法的三角形法則.如圖7-10所示，即c=a+b.7.2.1 平面向量的加法知識(shí)探究平面向量（矢量）我們還可以把圖7-10中的ABC 補(bǔ)成 ABCD,如圖7-11所示，則向量a 與b 的和可以看成是 ABCD的對(duì)角線AC，于是我們得到向量加法的平行四邊形法則：求不共線的兩個(gè)向量a，b 的和時(shí)，可以從同一起點(diǎn)A作有向線段AB，AD分別表示 a，b,然后以AB，AD作為鄰邊作平行四邊形ABCD，則有向線段 （平行四邊形ABCD的對(duì)角線）就表示a+b.7.2.1 平面向量的加法知識(shí)探究平面向量（矢量）7.2.1 平面向量的加法知識(shí)探究平面向量（矢量）例1 已知向量a 的長(zhǎng)度為3，方向水平向右；向量b 的長(zhǎng)度為2，方向水平向左.求a+b.解 如圖7-12所示，作有向線段 表示向量a，作有向線段 表示向量b，則有向線段 表示a+b,它的長(zhǎng)度為1，方向水平向右.例題分析7.2.1 平面向量的加法平面向量（矢量）例2 如圖7-13（a）所示，AD=a,AB=b,分別用三角形法則和平行四邊形法則求 a+b.例題分析7.2.1 平面向量的加法平面向量（矢量）解（1）利用三角形法則.如圖7-13(b)所示，將有向線段 平移得到 ，則 =a,由三角形法則知有向線段 =a+b.（2）利用平行四邊形法則.如圖7-13(c)所示，以 AD，AB 為一組鄰邊作平行四邊形ABCD，連接對(duì)角線 AC，則由平行四邊形法則得有向線段 =a+b.例題分析7.2.1 平面向量的加法平面向量（矢量）類似于實(shí)數(shù)運(yùn)算具有運(yùn)算律，向量的加法滿足下列交換律與結(jié)合律.對(duì)于任意向量a，b，c,有（1）交換律：a+b=b+a；（2）結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）.易得a+0=0+a=a,a+(-a)=(-a)+a=0.向量的加法適合交換律與結(jié)合律，如圖7-14所示，有：7.2.1 平面向量的加法知識(shí)探究平面向量（矢量）例3 利用向量加法的運(yùn)算法則來求下列向量和.(1)(2)(3)解 （1）（2）（3）例題分析7.2.1 平面向量的加法平面向量（矢量）1.已知向量a的長(zhǎng)度為2，方向水平向右；向量b 的長(zhǎng)度為4,向水平向左.求a+b.2.如圖7-15所示，四邊形ABCD 為平行四邊形，求 .3.已知向量a，b，c 的長(zhǎng)度分別為2，3，1，方向分別為正東，北偏東45，北偏西30，作出有向線段表示a+b+c.課堂練習(xí)7.2.1 平面向量的加法平面向量（矢量）4.求下列向量和.（1）（2）5.非零向量a，b 滿足|a|=|b|=|a+b|,則a 與a+b 的夾角為多少？課堂練習(xí)7.2.1 平面向量的加法平面向量（矢量）如圖7-16所示，四邊形ABCD為平行四邊形，求：(1)；(2)你能求出 嗎？7.2.2 平面向量的減法情景導(dǎo)入平面向量（矢量）向量a 加上向量b 的反向量，叫作向量a 與向量b 的差，即a-b=a+（-b）.求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫作向量的減法.觀察圖7-17中起點(diǎn)相同的兩個(gè)向量 和 ，則由向量差的定義知，即 7.2.2 平面向量的減法知識(shí)探究平面向量（矢量）于是我們得到兩個(gè)向量的減法運(yùn)算法則：起點(diǎn)相同的兩個(gè)向量的差等于減向量的終點(diǎn)到被減向量的終點(diǎn)形成的向量.例如，在圖7-18（a）中，；在圖7-18（b）中，7.2.2 平面向量的減法知識(shí)探究平面向量（矢量）例4 已知 ABC,如圖7-9所示,用向量AB和AC表示向量CB和BC.解 7.2.2 平面向量的減法例題分析平面向量（矢量）1.在圖7-20(a)(b)中，分別畫出向量差.（1）;（2）2.如圖7-21所示，在 ABCD 中，用向量 和 表示向量 ，.7.2.2 平面向量的減法課堂練習(xí)平面向量（矢量）觀察本章圖7-2中的力F,若我們?cè)诹的方向上再作用上一個(gè)力F，而力F的大小為力F 的2倍，那么就把力F 記為2F，于是我們引入數(shù)乘向量的概念.7.2.3 平面向量的數(shù)乘運(yùn)算情景導(dǎo)入平面向量（矢量）實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記做a,它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（1）向量a 的長(zhǎng)度為|a|=|a|;（2）當(dāng)0時(shí)，a 的方向與a 的方向相同；當(dāng)0時(shí),a 的方向與a 的方向相反.由上可知 0a=0,0=0.7.2.3 平面向量的數(shù)乘運(yùn)算知識(shí)探究平面向量（矢量）可以證明，數(shù)乘向量滿足下列運(yùn)算律：設(shè)，為任意實(shí)數(shù)，對(duì)于任意a，b,有（1）（a）=（）a;（2）（+）a=a+a;（3）（a+b）=a+b.由數(shù)乘向量的定義，可知 1a=a,（-1）a=-a,a=0 =0或a=0.7.2.3 平面向量的數(shù)乘運(yùn)算知識(shí)探究平面向量（矢量）例5 知向量a的長(zhǎng)度為2，方向水平向右如圖7-22(a)所示，分別作有向線段表示 ;解 如圖 7-22（b),7-22(c)所示.7.2.3 平面向量的數(shù)乘運(yùn)算例題分析平面向量（矢量）例6 化簡(jiǎn)下列各式.（1）3（-2a+b）-（5a-b）；（2）2（a+3b-2c）+7（-a-b+3c）.7.2.3 平面向量的數(shù)乘運(yùn)算例題分析平面向量（矢量）解（1）3（-2a+b）-（5a-b）=-6a+3b-5a+b=-11a+4b.（2）2（a+3b-2c）+7（-a-b+3c）=2a+6b-4c-7a-7b+21c=-5a-b+17c.7.2.3 平面向量的數(shù)乘運(yùn)算例題分析平面向量（矢量）例7 如圖7-23所示，設(shè)D為ABC 的邊 BC 的中點(diǎn)，用向量 ，表示向量 .解 因?yàn)樵?ABC 中,D為BC邊上的中點(diǎn),分別過B，C 點(diǎn)作BEAC,CEAB，且BE 與CE 交于點(diǎn)E，則在平行四邊形ABEC 中，AE=2AD.故 7.2.3 平面向量的數(shù)乘運(yùn)算例題分析平面向量（矢量）1.已知向量a方向?yàn)檎龞|方向,且|a|=2,向量b方向?yàn)楸逼珫|45，且|b|=3.以原點(diǎn)O為起點(diǎn)，分別作有向線段表示2a+b,-a+b.2.化簡(jiǎn)下列各式.（1）5（a+b）-7（a-3b）;（2）12（a-2b+c）-2（6a+b-3c）.3.ABCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O，用向量 ，表示向量 ，.4.ABCD的兩條對(duì)角線分別為AC，BD，試用 ,表示 ,7.2.3 平面向量的數(shù)乘運(yùn)算課堂練習(xí)PART 7.3平面向量的坐標(biāo)表示平面向量（矢量）如圖7-24所示，在平面直角坐標(biāo)系Oxy 中，向量 ，分別為x 軸，y 軸上的單位向量，我們記圖中的坐標(biāo)系為O;,那么，平面上任何一個(gè)向量都可以由 ,表示嗎？7.3.1 平面向量的直角坐標(biāo)及坐標(biāo)運(yùn)算情景導(dǎo)入平面向量（矢量）一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x 軸、y 軸方向相同的兩個(gè)單位向量 ，則對(duì)平面內(nèi)任一個(gè)向量a，都有唯一一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得 我們把有序數(shù)對(duì)（x,y）稱為向量 a 的直角坐標(biāo)或者a 的坐標(biāo)，記作a=（x,y）,其中x 稱為橫坐標(biāo)，y 稱為縱坐標(biāo).顯然有 7.3.1 平面向量的直角坐標(biāo)及坐標(biāo)運(yùn)算知識(shí)探究平面向量（矢量）對(duì)于同一平面上的兩個(gè)向量a，b,如果取定一個(gè)直角坐標(biāo)系O;,后，a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,如果滿足 ,則稱向量a 與向量b 相等，記作a=b 或者 .在同一直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)相等 7.3.1 平面向量的直角坐標(biāo)及坐標(biāo)運(yùn)算知識(shí)探究平面向量（矢量）例1 在平面直角坐標(biāo)系 中，已知向量a=（n-2m,-m-n）,b=（-2,5）,且a=b,求m 和n 的值.解 由于a=b,所以可得下列方程組 n-2m=-2 -m-n=5，解得 m=-1,n=-4.7.3.1 平面向量的直角坐標(biāo)及坐標(biāo)運(yùn)算例題分析平面向量（矢量）我們已經(jīng)學(xué)過了向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算，那么如何利用向量的坐標(biāo)來進(jìn)行上述運(yùn)算呢？我們規(guī)定，若在直角坐標(biāo)系O;e1,e2中，a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,則 a+b=（x1+x2,y1+y2）,a-b=（x1-x2,y1-y2）,ka=（kx1,ky1）.7.3.1 平面向量的直角坐標(biāo)及坐標(biāo)運(yùn)算知識(shí)探究平面向量（矢量）我們只對(duì)上述第一個(gè)式子進(jìn)行證明，其他兩式請(qǐng)同學(xué)們自己證明.證明 在直角坐標(biāo)系O;e1,e2中，a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2.因此a+b=（x1e1+y1e2）+（x2e1+y2e2）=（x1e1+x2e1）+（y1e2+y2e2）=（x1+x2）e1+（y1+y2）e2,即 a+b=（x1+x2,y1+y2）.7.3.1 平面向量的直角坐標(biāo)及坐標(biāo)運(yùn)算知識(shí)探究平面向量（矢量）于是，我們得出向量坐標(biāo)的運(yùn)算法則：（1）兩個(gè)向量的和（差）的坐標(biāo)等于它們的坐標(biāo)的和（差）.（2）實(shí)數(shù) 與向量a 的乘積a 的坐標(biāo)等于 乘以a 的坐標(biāo).7.3.1 平面向量的直角坐標(biāo)及坐標(biāo)運(yùn)算知識(shí)探究平面向量（矢量）例2 已知向量a=（2,-1）,b=（-5,4）,c=（0,-2）,求a+b,3b,2c-3b,a+b-c 的坐標(biāo).解 a+b=（2,-1）+（-5,4）=（-3,3）,3b=3（-5,4）=（-15,12）,2c-3b=2（0,-2）-3（-5,4）=（0,-4）-（-15,12）=（15,-16）,a+b-c=（2,-1）+（-5,4）-（0,-2）=（-3,5）.因此，向量a+b,3b,2c-3b,a+b-c 的坐標(biāo)分別為 （-3,3）,（-15,12）,（15,-16）,（-3,5）.7.3.1 平面向量的直角坐標(biāo)及坐標(biāo)運(yùn)算例題分析平面向量（矢量）1.寫出下列向量的坐標(biāo)表示.（1）（2)（3）（4）2.已知 a=(2,-3)，b=（3，4），求：(1)a+b;(2)a-b;(3)3a-b;7.3.1 平面向量的直角坐標(biāo)及坐標(biāo)運(yùn)算課堂練習(xí)平面向量（矢量）觀察圖7-25，在平面直角坐標(biāo)系 中，已知P 點(diǎn)坐標(biāo)為 ，那么點(diǎn)P 的坐標(biāo)與向量 的坐標(biāo)有什么關(guān)系？7.3.2 平面向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系情景導(dǎo)入平面向量（矢量）由于 ,所以向量 的坐標(biāo)為 ，它與點(diǎn)P 的坐標(biāo)相同.像圖7-25中的向量 那樣，起點(diǎn)在原點(diǎn)的向量叫作定位向量.每個(gè)定位向量都被它的終點(diǎn)唯一確定，并且定位向量的坐標(biāo)等于它的終點(diǎn)坐標(biāo).7.3.2 平面向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系知識(shí)探究平面向量（矢量）因此向量 的坐標(biāo)為（x2-x1,y2-y1）,它等于終點(diǎn)坐標(biāo)與起點(diǎn)坐標(biāo)的差.即向量的坐標(biāo)等于終點(diǎn)的坐標(biāo)與起點(diǎn)坐標(biāo)的差.不難驗(yàn)證，圖7-25中的定位向量 的坐標(biāo)也可以看成是用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到的.如圖7-26所示的向量 ，從點(diǎn)M作 x 軸的垂線，垂足為點(diǎn)A，則向量稱為向量 在 x 軸上的射影；的坐標(biāo)稱為 在e1方向上的分量.容易看出，在e1方向上的分量等于 的橫坐標(biāo)，在e2方向上的分量等于 的縱坐標(biāo).7.3.2 平面向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系知識(shí)探究平面向量（矢量）例3 已知A，B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求 ，的坐標(biāo).（1）A（1,2），B（4,5）；（2）A（-7,0），B（6,-1）.解（1），（2）7.3.2 平面向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系例題分析平面向量（矢量）例4 已知 ABCD 的三個(gè)頂點(diǎn)A（-2,1）,B（2,2）,C（3,4）,求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).解 如圖7-27所示.=（-2,1）+（3,4）-（2,2）=（-1,3）.因此,頂點(diǎn)D 的坐標(biāo)為（-1,3）.2）7.3.2 平面向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系例題分析平面向量（矢量）1.已知 A（3，-4），B（-2，3），求 ，的坐標(biāo).2.已知點(diǎn) B（3，-2），=（-2，4），求點(diǎn)A 的坐標(biāo).3.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A（4，0），B（-1，2），C（-2，1），求 ，的坐標(biāo).7.3.2 平面向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系課堂練習(xí)平面向量（矢量）如果向量 ，和向量 平行，那么 之間有怎樣的關(guān)系？.7.3.3 平面向量平行的坐標(biāo)表示情景導(dǎo)入平面向量（矢量）設(shè) ,其中b0,那么a 與b 平行的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)，使a=b.如果用坐標(biāo)表示，可寫為 即 消去 后得亦即ab（b0）的充要條件是7.3.3 平面向量平行的坐標(biāo)表示知識(shí)探究平面向量（矢量）例5 已知a=（4,2）,b=（6,y），且ab，求 y.解 由于ab,所以 4y-26=0，即 y=3.7.3.3 平面向量平行的坐標(biāo)表示例題分析平面向量（矢量）例6 已知A（-1,-1）,B（1,3）,C（2,5），求證：A，B，C 三點(diǎn)共線.證明 由于 =（1-（-1），3-（-1）=（2，4）,=（2-（-1），5-（-1）=（3，6）,又 26-34=0,得 因?yàn)橹本€ AB、直線AC 有公共點(diǎn)A,所以A，B，C 三點(diǎn)共線.7.3.3 平面向量平行的坐標(biāo)表示例題分析平面向量（矢量）1.已知a=(3,4),b=(x,-16),且ab，求x.2.已知點(diǎn)A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1)，求證：ABCD.7.3.3 平面向量平行的坐標(biāo)表示課堂練習(xí)PART 7.4平面向量的內(nèi)積平面向量（矢量）在物理課中，我們學(xué)過功的概念，即如果一個(gè)物體在力F 的作用下產(chǎn)生的位移為s，如圖7-8所示，那么力F 所做的功W 可用下式計(jì)算.W=|F|s|cos.其中 為F 與s 的夾角.從力所做的功出發(fā)，我們引入向量?jī)?nèi)積的概念.7.4.1 內(nèi)積的定義及其性質(zhì)情景導(dǎo)入平面向量（矢量）設(shè)a，b 為兩個(gè)非零向量，從O 點(diǎn)引兩條有向線段 ，分別表示 a，b,則我們把射線OA 與射線O B所組成的不大于的角叫作a 與b 的夾角，記做a,b，于是 0a,b,a,b=b,a.用符號(hào)0,a或a,0表示0與向量a 的夾角，由于零向量的方向不確定，我們可以把0與a的夾角看成任意一個(gè)角.現(xiàn)在給出內(nèi)積的定義.7.4.1 內(nèi)積的定義及其性質(zhì)知識(shí)探究平面向量（矢量）任給兩個(gè)向量a，b,實(shí)數(shù)|a|b|cosa,b稱為向量a與b的內(nèi)積（或數(shù)量積），記做ab,讀作“a 點(diǎn)乘b”，即ab=|a|b|cosa,b.由內(nèi)積的定義可得，對(duì)于任意向量 a,有 0a=0,a 0=0.7.4.1 內(nèi)積的定義及其性質(zhì)知識(shí)探究平面向量（矢量）由此可以看出，兩個(gè)向量的內(nèi)積是一個(gè)數(shù)量，這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角有關(guān).因此，前面提到的力所做的功，就等于力F 與其作用下物體產(chǎn)生的位移s 的內(nèi)積Fs.7.4.1 內(nèi)積的定義及其性質(zhì)知識(shí)探究平面向量（矢量）設(shè)a，b為兩個(gè)非零向量，我們由ab=|a|b|cosa,b可得出以下性質(zhì)：（1）a,b=時(shí)，a 與b 垂直，此時(shí)ab=0,即 ab ab=0;（2）（3）7.4.1 內(nèi)積的定義及其性質(zhì)知識(shí)探究平面向量（矢量）向量的內(nèi)積還具有以下的運(yùn)算律，對(duì)于任意向量a，b，c，任意實(shí)數(shù),有（1）ab=ba;（2）（a）b=（ab）;（3）（a+b）c=ac+bc.7.4.1 內(nèi)積的定義及其性質(zhì)知識(shí)探究平面向量（矢量）例1 已知|a|=4,|b|=2,且a 與b 的夾角為30,求ab.解 ab=|a|b|cosa,b=42cos30=832=43.例2 已知兩非零向量a，b，|a|=3，a,b=60，ab=6,求b 的大小解 由ab=|a|b|cosa,b=3|b|cos60=|b|=6,得|b|=4,即b的大小為4.7.4.1 內(nèi)積的定義及其性質(zhì)例題分析平面向量（矢量）1.求下列條件下的ab.（1）|a|=3,|b|=2,a,b=60；（2）|a|=4,|b|=7,a,b=；（3）|a|=1,|b|=10a,b=.2.求下列條件下的|a|.（1）aa=425;（2）a,b=，|b|=3,ab=32.7.4.1 內(nèi)積的定義及其性質(zhì)課堂練習(xí)平面向量（矢量）平面上我們建立一個(gè)直角坐標(biāo)系 ，設(shè)a，b 的坐標(biāo)分別為 ，那么此時(shí)ab 的值為多少呢？7.4.2 內(nèi)積的坐標(biāo)表示情景導(dǎo)入平面向量（矢量）由于|e1|=|e2|=1，且e1e2=e2e1=0，因此ab=（x1e1+y1e2）（x2e1+y2e2）=x1x2e1e1+x1y2e1e2+y1x2e2e1+y1y2e2e2 =x1x2|e1|2+y1y2|e2|2 =x1x2+y1y2.7.4.2 內(nèi)積的坐標(biāo)表示知識(shí)探究平面向量（矢量）兩個(gè)向量的內(nèi)積（數(shù)量積）等于它們的橫坐標(biāo)的乘積與縱坐標(biāo)的乘積的和.即 ，則有設(shè)a，b 為兩個(gè)非零向量，且 ，由內(nèi)積的坐標(biāo)計(jì)算公式可以推出下列性質(zhì)：（1）（2）（3）7.4.2 內(nèi)積的坐標(biāo)表示知識(shí)探究平面向量（矢量）例4 在平面直角坐標(biāo)系中，求下列兩個(gè)向量的數(shù)量積.（1）a=（0,-4）,b=；（2）c=（-2,5）,d=（7,2）.解 （1）.（2）cd=-27+52=-4 7.4.2 內(nèi)積的坐標(biāo)表示例題分析平面向量（矢量）例5 在平面直角坐標(biāo)系中，判斷下列每一對(duì)向量是否垂直.（1）a=（5,-2）,b=（2,-3）;（2）c=（-3,-4）,d=（4,-3）.解（1）ab=52+（-2）（-3）=160，因此a 與b 不垂直.（2）cd=（-3）4+（-4）（-3）=0，因此c 與d 垂直.7.4.2 內(nèi)積的坐標(biāo)表示例題分析平面向量（矢量）1 在平面直角坐標(biāo)系中，求下列向量的內(nèi)積.（1）a=（2,3）,b=（-4,1）;（2）2 在平面直角坐標(biāo)系中，求下列向量的長(zhǎng)度.（1）a=（3,4）;（2）7.4.2 內(nèi)積的坐標(biāo)表示課堂練習(xí)平面向量（矢量）3.已知兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)，求這兩點(diǎn)間的距離.（1）（2）4.已知a=（,-1）,b=（-3,），求 a,b.7.4.2 內(nèi)積的坐標(biāo)表示課堂練習(xí)THANK YOU第 9 章立體幾何目錄Contents9.3空間直線與平面的位置關(guān)系9.4空間平面與平面的位置關(guān)系9.5棱柱、棱錐與棱臺(tái)9.6圓柱、圓錐與圓臺(tái)9.7球9.2空間兩條直線的位置關(guān)系9.1平面的基本性質(zhì)PART 9.1平面的基本性質(zhì)立 體 幾 何9.1 平面的基本性質(zhì) 空間中的許多圖形都給我們以平面的形象.例如，桌面、黑板面、平靜的水面等（見圖9-1）.立體幾何中所說的平面，就是從這樣的物體中抽象出來的.但是，幾何里的平面是無限延伸的.那么，幾何里的平面具有哪些基本性質(zhì)呢？情景導(dǎo)入圖 9-1立 體 幾 何9.1 平面的基本性質(zhì)觀察圖9-2中的各個(gè)圖形，發(fā)現(xiàn)它們都是由點(diǎn)、直線（或其一部分）、平面（或其一部分）構(gòu)成的，我們可以說，點(diǎn)、線（特別是直線）、面（特別是平面）是空間的三種基本要素.知識(shí)探究圖 9-2立 體 幾 何9.1 平面的基本性質(zhì)通常用平行四邊形來表示平面.當(dāng)平面是水平放置的時(shí)候，通常把平行四邊形的銳角畫成45，橫邊長(zhǎng)畫成鄰邊長(zhǎng)的2倍，如圖9-3所示.當(dāng)一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí)，應(yīng)把被遮的部分畫成虛線或者不畫，這樣看起來立體感較強(qiáng)，如圖9-4所示.知識(shí)探究圖 9-3圖 9-4立 體 幾 何9.1 平面的基本性質(zhì)通常用希臘字母，等來表示平面，如圖9-3所示的平面，圖9-4中的平面 和平面.也可以用表示平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來表示平面，如圖9-3所示的平面AC.在生產(chǎn)生活中，人們經(jīng)過長(zhǎng)期的觀察與實(shí)踐總結(jié)出關(guān)于平面的三個(gè)基本性質(zhì)，我們稱它們?yōu)楣?有了這些公理，我們就可以在此基礎(chǔ)上揭示空間圖形的性質(zhì).知識(shí)探究立 體 幾 何9.1 平面的基本性質(zhì)知識(shí)探究立 體 幾 何9.1 平面的基本性質(zhì)公理3 經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.如圖9-7所示，過不共線的三點(diǎn)A，B，C 的平面也可以記作平面ABC，因此公理3也可以表達(dá)為“不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面”.知識(shí)探究如圖9-8所示，“三點(diǎn)A，B，C 不共線”等價(jià)于“直線l 過點(diǎn)A，B 且點(diǎn)C 不在直線l上”，因此“給定不共線的三點(diǎn)A，B，C”就相當(dāng)于“給定直線l與直線外一點(diǎn)C”，于是，我們由公理3可得到如下推論.立 體 幾 何9.1 平面的基本性質(zhì)推論1 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.如圖9-8所示，推論1也可以表達(dá)為“直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面”.推論2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.如果幾個(gè)點(diǎn)（或幾條直線）在同一個(gè)平面內(nèi)，則稱這些點(diǎn)（或直線）共面；否則稱它們不共面.知識(shí)探究立 體 幾 何9.1 平面的基本性質(zhì)例 如圖9-9所示，直線AB，BC，CA 兩兩相交，交點(diǎn)分別為A，B，C，證明：直線AB，BC，CA共面.證明 因?yàn)橄嘟恢本€AB，BC 確定一個(gè)平面，所以點(diǎn)A與點(diǎn)C 都在平面 內(nèi).所以直線AC 也在平面 內(nèi).所以直線AB，BC，CA 共面.例題分析立 體 幾 何9.1 平面的基本性質(zhì)如果構(gòu)成圖形的所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，這個(gè)圖形叫作平面圖形.例如，我們學(xué)過的三角形、平行四邊形、梯形和橢圓等都是平面圖形，如圖9-10（a）所示.如果構(gòu)成圖形的點(diǎn)不都在一個(gè)平面內(nèi)，這種圖形叫作立體圖形.例如，我們學(xué)過的長(zhǎng)方體、球等都是立體圖形，如圖9-10（b）所示.知識(shí)探究圖 9-3（b）（a）立 體 幾 何9.1 平面的基本性質(zhì)例題分析立 體 幾 何9.1 平面的基本性質(zhì)1.判斷下列命題是否正確.（1）若兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則它們有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；（2）任意三點(diǎn)確定一個(gè)平面；（3）兩條直線確定一個(gè)平面；（4）若已知4個(gè)點(diǎn)不共面，則其中任意3個(gè)點(diǎn)不共線.2.在平面內(nèi)作出：（1）兩條直線平行；（2）兩條直線相交；（3）兩兩相交的3條直線.課堂練習(xí)PART 9.2空間兩條直線的位置關(guān)系立 體 幾 何9.2.1空間兩條直線的位置關(guān)系我們知道，同一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系只有相交和平行.那么，空間的兩條直線除了相交和平行外是否還有其他的位置關(guān)系呢?情景導(dǎo)入立 體 幾 何9.2.1空間兩條直線的位置關(guān)系知識(shí)探究立 體 幾 何9.2.1空間兩條直線的位置關(guān)系畫異面直線的直觀圖時(shí)，經(jīng)常用平面做襯托，如圖9-12所示，以顯示它們不共面的特點(diǎn).異面直線判定定理 過平面外一點(diǎn)及平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線(見圖9-13).知識(shí)探究圖 9-12圖 9-13立 體 幾 何9.2.1空間兩條直線的位置關(guān)系例1 在圖9-14所示的正方體中，哪些棱所在的直線和A1B所在的直線成異面直線？解：因?yàn)辄c(diǎn)A1 在平面AC 外，點(diǎn)B在平面AC 內(nèi)，棱CD 所在的直線在平面AC 內(nèi)且不經(jīng)過點(diǎn)B，所以，由異面直線判定定理知，棱CD 所在的直線和A1B 所在的直線成異面直線.同理，C1D1，CC1，DD1，AD，B1C1 所在的直線和A1B 所在的直線成異面直線.例題分析圖 9-14立 體 幾 何9.2.1空間兩條直線的位置關(guān)系課堂練習(xí)圖 9-15立 體 幾 何9.2.2直線與直線平行的判定與性質(zhì)我們知道，在同一個(gè)平面內(nèi)，平行于同一條直線的兩條直線一定平行.那么，對(duì)于空間的3條直線，是否也有相同的規(guī)律呢？情景導(dǎo)入立 體 幾 何9.2.2直線與直線平行的判定與性質(zhì)知識(shí)探究圖 9-16立 體 幾 何9.2.2直線與直線平行的判定與性質(zhì)在平面幾何中已經(jīng)證明:如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等.在空間，這個(gè)結(jié)論仍然成立.等角定理（直線與直線平行的性質(zhì)定理）不在同一個(gè)平面內(nèi) 知識(shí)探究的兩個(gè)角，如果其中一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等.也就是說，如圖9-17所示，ABC 在平面 內(nèi)，DEF 在平面 內(nèi)，BAED，BCEF，并且方向相同，那么ABC=DEF.圖 9-17立 體 幾 何9.2.2直線與直線平行的判定與性質(zhì)設(shè)A，B，C，D為空間不共面的四點(diǎn)，順次連接不共面四點(diǎn)所得的圖形叫作空間四邊形，如圖9-18所示.每個(gè)點(diǎn)叫作空間四邊形的頂點(diǎn)，相鄰頂點(diǎn)間的線段叫作空間四邊形的邊，連接不相鄰頂點(diǎn)的線段叫作空間四邊形的對(duì)角線.知識(shí)探究圖 9-18立 體 幾 何9.2.2直線與直線平行的判定與性質(zhì)例2 如圖9-19所示，已知空間四邊形ABCD 中，E，F(xiàn)，G，H 分別為AB，BC，CD，DA 的中點(diǎn).判斷四邊形EFGH是否為平行四邊形.例題分析圖 9-19立 體 幾 何9.2.2直線與直線平行的判定與性質(zhì)1.在空間中過直線外一點(diǎn)可作幾條直線與這 條直線平行？2.如果空間的兩個(gè)角的兩組邊分別平行，但方向相反，那么這兩個(gè)角有什么關(guān)系.3.把一張矩形的紙對(duì)折兩次，打開后樣子如圖9-20所示，說明為什么這些折痕是互相平行的？課堂練習(xí)立 體 幾 何9.2.3 兩條異面直線所成的角我們知道，平面內(nèi)兩條相交直線的位置關(guān)系可以用它們的夾角來表示.那么，兩條異面直線不在同一個(gè)平面內(nèi)，如何表示它們的位置關(guān)系呢？情景導(dǎo)入立 體 幾 何9.2.3 兩條異面直線所成的角經(jīng)過空間任意一點(diǎn)分別作與兩條異面直線平行的直線，這兩條相交直線的夾角(銳角或直角)叫作兩條異面直線所成的角.知識(shí)探究從兩條異面直線所成的角的定義可知，異面直線所成的角的范圍是（0，90.立 體 幾 何9.2.3 兩條異面直線所成的角空間中如果兩條直線所成的角為/2，那么稱這兩條直線互相垂直.直線a 與b 垂直記做ab.如圖9-22所示的蝸輪和蝸桿，它們的軸線就是兩條互相垂直的異面直線.知識(shí)探究注意：空間兩條直線互相垂直，這兩條直線可能是相交直線，也可能是異面直線.立 體 幾 何9.2.3 兩條異面直線所成的角例3 如圖9-23所示的長(zhǎng)方體，BAB1=30，求下列各對(duì)異面直線所成的角.(1)AB1和DC;(2)AB1和CC1.解 因?yàn)镈CAB，且AB1和AB所成的角BAB1=30，所以異面直線AB1和DC所成的角為30.因?yàn)镃C1BB1，且在RtABB1中，ABB1=90，所以AB1和BB1所成的角AB1B=9030=60，因此異面直線AB1和CC1所成的角為60例題分析立 體 幾 何9.2.3 兩條異面直線所成的角例4 在圖9-24所示的正方體中，回答下列問題.（1）哪些棱所在的直線與直線BA 是異面直線？（2）哪些棱所在的直線與直線AA1 垂直？例題分析立 體 幾 何9.2.3 兩條異面直線所成的角例題分析立 體 幾 何9.2.3 兩條異面直線所成的角1.在圖9-25所示的正方體中，求下列各邊所成的角的度數(shù).(1)AA1 和 BC1;(2)A1B 和 BC1;(3)AC 和 A1B.課堂練習(xí)2.兩條直線互相垂直，它們一定相交嗎？舉出 互相垂直的異面直線的實(shí)際例子.PART 9.3空間直線與平面的位置關(guān)系立 體 幾 何9.3.1 空間直線與平面的位置關(guān)系我們知道，空間直線與直線有3種位置關(guān)系.那么，空間直線與平面有幾種位置關(guān)系？情景導(dǎo)入立 體 幾 何9.3.1 空間直線與平面的位置關(guān)系知識(shí)探究圖 9-26立 體 幾 何9.3.1 空間直線與平面的位置關(guān)系根據(jù)直線與平面的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可知一條直線與一個(gè)平面的位置關(guān)系有以下3種：（1）直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn).（2）直線和平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn).（3）直線和平面平行沒有公共點(diǎn).我們把直線和平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外.知識(shí)探究立 體 幾 何9.3.1 空間直線與平面的位置關(guān)系課堂練習(xí)立 體 幾 何9.3.2空間直線與平面平行的判定與性質(zhì)空間直線與平面平行的判定，除根據(jù)定義外，還有什么判定方法?情景導(dǎo)入立 體 幾 何9.3.2空間直線與平面平行的判定與性質(zhì)知識(shí)探究立 體 幾 何9.3.2空間直線與平面平行的判定與性質(zhì)直線與平面平行的判定定理告訴我們，證明平面 外一條直線l與平面 平行（線面平行），只要證明直線l與平面內(nèi)的一條直線平行（線線平行）就可以了.直線與平面平行的性質(zhì)定理 如果一條直線和一個(gè)平面平行，并且經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.知識(shí)探究立 體 幾 何9.3.2空間直線與平面平行的判定與性質(zhì)知識(shí)探究立 體 幾 何9.3.2空間直線與平面平行的判定與性質(zhì)例題分析立 體 幾 何9.3.2空間直線與平面平行的判定與性質(zhì)例題分析立 體 幾 何9.3.2空間直線與平面平行的判定與性質(zhì)1.將一塊矩形木板ABCD 的一邊AB 緊靠桌面，并繞AB 轉(zhuǎn)動(dòng)，AB 的對(duì)邊CD 在各個(gè)位置時(shí)，是不是都與桌面所在的平面平行？為什么？2.判斷題.(1)如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么這條直線就和這個(gè)平面 內(nèi)的任何直線都平行.(2)如果直線ab，那么a就和過b的任何平面平行.課堂練習(xí)立 體 幾 何9.3.3 空間直線與平面垂直的判定與性質(zhì)在日光下，觀察直立于操場(chǎng)上的旗桿和它在地面上的影子，我們發(fā)現(xiàn)，盡管隨著時(shí)間的變化，旗桿的影子在地面上不斷移動(dòng)，但是旗桿和它在地面上的影子總保持垂直.由此你能推斷出直線和平面垂直的定義嗎？情景導(dǎo)入立 體 幾 何9.3.3 空間直線與平面垂直的判定與性質(zhì)如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，則稱這條直線和這個(gè)平面互相垂直.這條直線稱為這個(gè)平面的垂線，這個(gè)平面稱為這條直線的垂面.直線l 與平面 垂直，記做l.顯然，如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線與這個(gè)平面一定相交，交點(diǎn)稱為垂足.在畫直線l 與平面 垂直時(shí)，要把直線l畫成與表示平面 的平行四邊形的橫邊垂直.不難驗(yàn)證，過一點(diǎn)有一條直線和已知平面垂直；過一點(diǎn)有一個(gè)平面和已知直線垂直.知識(shí)探究立 體 幾 何9.3.3 空間直線與平面垂直的判定與性質(zhì)直線與平面垂直的判定定理 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個(gè)平面垂直.我們嘗試自己證明該定理成立（可用平面向量有關(guān)知識(shí)來證明）.不難驗(yàn)證，以下兩個(gè)結(jié)論也是成立的.（1）如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一個(gè)平面.（2）如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面.知識(shí)探究立 體 幾 何9.3.3 空間直線與平面垂直的判定與性質(zhì)直線與平面垂直的性質(zhì)定理 如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.知識(shí)探究立 體 幾 何9.3.3 空間直線與平面垂直的判定與性質(zhì)不難驗(yàn)證，以下兩個(gè)結(jié)論也是成立的.（1）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.（2）如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線.知識(shí)探究立 體 幾 何9.3.3 空間直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例3 如圖9-35所示，在RtPAB 中PAB=90，RtPAD 中PAD=90，四邊形ABCD 為正方形，且PA=2，AB=1.（1）求證：PAC 為直角三角形;（2）求PC 的長(zhǎng).例題分析圖 9-35立 體 幾 何9.3.3 空間直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例題分析圖 9-35立 體 幾 何9.3.3 空間直線與平面垂直的判定與性質(zhì)1.填空題.(1)經(jīng)過平面內(nèi)(或平面外)的一點(diǎn)，與一個(gè)已知平面垂直的直線有_條.(2)如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條_直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.2.如果一條直線垂直于一個(gè)圓的兩條直徑，那么，這條直線是否與這個(gè)圓所在的平面垂直？并說明理由.課堂練習(xí)立 體 幾 何9.3.3 空間直線與平面垂直的判定與性質(zhì)3.如圖9-36所示，有一根旗桿AB高8 m，它的頂端A掛兩條10 m的繩子，拉緊繩子并把它們的兩個(gè)下端固定在地面上的C，D兩點(diǎn)，并使C，D和旗桿底部B點(diǎn)不共線，如果C，D與B的距離都是6 m，那么旗桿AB就和地面垂直，為什么？課堂練習(xí)立 體 幾 何9.3.3 空間直線與平面垂直的判定與性質(zhì)4.如圖9-37所示，ABC在平面內(nèi)，BAC=90，且PA于A，則ACPB，為什么？課堂練習(xí)立 體 幾 何9.3.4空間直線與平面所成的角如圖9-38所示，發(fā)射炮彈時(shí)，為了擊中目標(biāo)，就需要計(jì)算并調(diào)整好炮筒與地平面所成的角，那么，直線與平面所成的角是如何定義的呢？情景導(dǎo)入立 體 幾 何9.3.4空間直線與平面所成的角空間中的一點(diǎn)P 向平面 引垂線，垂足P 稱為點(diǎn)P 在平面 上的射影，點(diǎn)P 與垂足P 間的線段稱為點(diǎn)P 到平面 的垂線段.如果一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，則這條直線稱為這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)稱為斜足.斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段稱為這點(diǎn)到這個(gè)平面的斜線段.過斜線上一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線稱為斜線在這個(gè)平面上的射影.垂足和斜足間的線段稱為這點(diǎn)到平面的斜線段在這個(gè)平面上的射影.斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影一定在斜線的射影上.知識(shí)探究立 體 幾 何9.3.4空間直線與平面所成的角如圖9-39所示，直線l是平面 的斜線，斜足為Q,斜線l 上一點(diǎn)P 在平面上的射影是P，直線PQ 是斜線l在平面上的射影，線段PQ 是斜線段PQ 在平面上的射影，線段PP 是垂線段.結(jié)合圖9-39，由直角三角形的性質(zhì)，我們得到以下結(jié)論：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，知識(shí)探究（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng).立 體 幾 何9.3.4空間直線與平面所成的角（2）相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段的射影也較長(zhǎng).（3）垂線段比任何一條斜線段都短.知識(shí)探究平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫作這條直線與這個(gè)平面所成的角.如圖9-40所示，PQP就是斜線l與平面所成的角.立 體 幾 何9.3.4空間直線與平面所成的角特別地，平面的一條垂線和這個(gè)平面所成的角是直角；平面的一條平行線或平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面所成的角是0的角.不難發(fā)現(xiàn)，斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的所有角中最小的角.知識(shí)探究立 體 幾 何9.3.4空間直線與平面所成的角例4 如圖9-41所示，證明兩條斜線PA，PB 與平面 所成的角相等當(dāng)且僅當(dāng)斜線段PA 與PB 的長(zhǎng)度相等.例題分析立 體 幾 何9.3.4空間直線與平面所成的角例題分析立 體 幾 何9.3.4空間直線與平面所成的角課堂練習(xí)立 體 幾 何9.3.4空間直線與平面所成的角2.如圖9-42所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，分別求出直線AB1，C1D，BD1和平面AC所成的角的大小.課堂練習(xí)PART 9.4空間平面與平面的位置關(guān)系立 體 幾 何9.4.1 空間平面與平面的位置關(guān)系觀察教室黑板所在的墻面和地面，它們有一條交線;再觀察教室的天花板和地面，無論怎樣延展，它們都沒有公共點(diǎn).通過觀察，猜想平面與平面有幾種位置關(guān)系？情景導(dǎo)入立 體 幾 何9.4.1 空間平面與平面的位置關(guān)系如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么就稱這兩個(gè)平面互相平行.因此，平面與平面的位置關(guān)系只有兩種:(1)兩個(gè)平面平行沒有公共點(diǎn).(2)兩個(gè)平面相交有一條公共直線.畫兩個(gè)互相平行的平面時(shí)，要使表示平面的兩個(gè)平行四邊形的對(duì)應(yīng)邊分別平行，如圖9-43所示.平面 與平面 平行，記做.知識(shí)探究立 體 幾 何9.4.1 空間平面與平面的位置關(guān)系1.(1)畫出兩個(gè)水平放置的互相平行的平面;(2)畫出兩個(gè)豎直放置的互相平行的平面.2.填空題.(1)過平面外的一點(diǎn)，可以作個(gè)平面和已知平面平行;(2)過與平面平行的一條直線，可以作個(gè)平面和已知平面平行.課堂練習(xí)立 體 幾 何9.4.2 平面與平面平行的判定與性質(zhì)如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面互相平行.除此之外，還有什么方法可以判定兩個(gè)平面平行？?jī)蓚€(gè)平面平行的性質(zhì)定理是什么？情景導(dǎo)入立 體 幾 何9.4.2 平面與平面平行的判定與性質(zhì)使用平板儀進(jìn)行測(cè)量時(shí)，要用水準(zhǔn)器來校正平板與地面是否平行，如圖9-44所示.當(dāng)我們把水準(zhǔn)器在平板上交叉放置兩次，如果水準(zhǔn)器內(nèi)的水泡兩次都在中央，就表示平板和地面平行，可以進(jìn)行測(cè)量，否則就需進(jìn)行調(diào)整.從大量這樣的事實(shí)就猜測(cè)并可以證明出以下結(jié)論.知識(shí)探究立 體 幾 何9.4.2 平面與平面平行的判定與性質(zhì)平面與平面平行的判定定理1 如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行(見圖9-45).知識(shí)探究也就是說，如果a，b是內(nèi)相交于點(diǎn)A的兩條直線，并且a，b，那么.需要說明的是，水準(zhǔn)器內(nèi)的玻璃管裝有水，管內(nèi)的水柱相當(dāng)于一條直線，交叉放置兩次，相當(dāng)于確定了兩條相交直線.立 體 幾 何9.4.2 平面與平面平行的判定與性質(zhì)知識(shí)探究立 體 幾 何9.4.2 平面與平面平行的判定與性質(zhì)知識(shí)探究立 體 幾 何9.4.2 平面與平面平行的判定與性質(zhì)例題分析立 體 幾 何9.4.2 平面與平面平行的判定與性質(zhì)例題分析立 體 幾 何9.4.2 平面與平面平行的判定與性質(zhì)1.畫一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交.2.判斷題.(1)如果兩個(gè)平面互相平行，那么在其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面.(2)如果兩個(gè)平面互相平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的直線都互相平行.(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行于另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，那么這兩個(gè)平面平行.課堂練習(xí)立 體 幾 何9.4.2 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)怎樣求平面與平面所成的角？平面與平面垂直的判定和性質(zhì)有哪些？情景導(dǎo)入立 體 幾 何9.4.2 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)一、二面角及其平面角1.二面角 在日常生活和生產(chǎn)中，經(jīng)常會(huì)遇到相交平面的圖形問題.建房時(shí)，為了使房屋實(shí)用美觀，必須使前面屋頂和后面屋頂成一定的角度，如圖9-51(a)所示;修筑攔洪壩時(shí)，為了使它堅(jiān)固耐用，知識(shí)探究必須使水壩面和水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌龋鐖D9-51(b)所示.一個(gè)平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩部分，其中的每一部分叫作半平面.立 體 幾 何9.4.2 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)知識(shí)探究立 體 幾 何9.4.2 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)知識(shí)探究需要指出，按這種方法作出的平面角的大小僅僅由，的相對(duì)位置所決定，而與頂點(diǎn)在棱上的位置無關(guān).因此，二面角的大小可以用它的平面角來度量.立 體 幾 何9.4.2 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)我們規(guī)定二面角的大小范圍是0，180.當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面重合時(shí)，規(guī)定二面角的大小為0;當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面合成一個(gè)平面時(shí)，規(guī)定二面角的大小為180.平面角是直角的二面角叫作直二面角.知識(shí)探究立 體 幾 何9.4.2 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例題分析立 體 幾 何9.4.2 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例題分析立 體 幾 何9.4.2 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)二、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)1.平面與平面垂直的定義 觀察教室里相鄰的墻面和墻面，發(fā)現(xiàn)它們所成的二面角都是直二面角，由此得到了平面和平面垂直的定義.兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面叫作互相垂直的平面.平面 和 垂直，記做.知識(shí)探究立 體 幾 何9.4.2 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)畫兩個(gè)互相垂直的平面，經(jīng)常采用以下兩種方法:如圖9-56(a)是把直立的平面畫成矩形;9-56(b)是把直立的平面畫成平行四邊形.它們共同的特點(diǎn)，是把直立平面的豎邊畫成和水平面的橫邊垂直.知識(shí)探究立 體 幾 何9.4.2 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)2.平面與平面垂直的判定定理 如圖9-57所示，砌墻時(shí)，人們常用一端系有鐵錘的線來檢查所砌的墻是否和地面垂直，如果下垂的線緊貼墻面，便可以肯定所砌的墻和地面垂直.從大量這樣的事實(shí)就猜測(cè)并可證明出以下結(jié)論.知識(shí)探究立 體 幾 何9.4.2 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)知識(shí)探究立 體 幾 何9.4.2 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例3 如圖9-60所示，已知平面，=AB，在平面 內(nèi)，CDAB，CD 到AB 的距離為60 cm.在平面 內(nèi)，點(diǎn)E 到AB 的 距離為91 cm，求點(diǎn)E 到直線CD 的距離.例題分析立 體 幾 何9.4.2 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例題分析立 體 幾 何9.4.2 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)1.在二面角-l-內(nèi)有一點(diǎn)A，過A 作AB 于B，作AC于C，如果BAC=25，那么二面角-l-是多少度?并說明理由.2.如圖9-63所示，=l，ABl，BC，DE 在內(nèi)，BCDE，判斷AC 與DE 是否垂直，并說明理由.課堂練習(xí)圖 9-63PART 9.5棱柱、棱錐和棱臺(tái)立體幾何9.5.1 棱柱 我們常見的一些物體，如三棱鏡、方磚等，都給人以帶棱的柱體印象，于是我們就引入棱柱的概念.情景導(dǎo)入立體幾何 有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫作棱柱.兩個(gè)互相平行的面叫作棱柱的底面，其余各面叫作棱柱的側(cè)面，兩個(gè)面的公共邊叫作棱柱的棱，其中兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫作棱柱的側(cè)棱，側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫作棱柱的頂點(diǎn)，不在同一個(gè)面上的兩頂點(diǎn)的連線叫作棱柱的對(duì)角線，兩個(gè)底面的距離叫作棱柱的高.9.5.1 棱柱知識(shí)探究立體幾何 如圖9-64所示的棱柱，多邊形ABCDE 和是底面，四邊形 等是側(cè)面，等是側(cè)棱，等是對(duì)角線，是高.棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來表示，如圖9-64中的棱柱可表示為棱柱 ，或者用表示一條對(duì)角線端點(diǎn)的兩個(gè)字母表示，如棱柱 .9.5.1 棱柱知識(shí)探究立體幾何 底面是三角形的棱柱叫作三棱柱，底面是四邊形的棱柱叫作四棱柱,等等；側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫作斜棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫作正棱柱.直棱柱的側(cè)面展開是矩形，矩形的長(zhǎng)為直棱柱的底面周長(zhǎng)C，寬等于直棱柱的高（即棱長(zhǎng)）h，從而直棱柱的側(cè)面積是 棱柱的體積等于它的底面積S與高h(yuǎn)的積，即 9.5.1 棱柱知識(shí)探究立體幾何例1 已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為a,高為h，求它的全面積與體積.解 正四棱柱的底面為正方形，側(cè)面為矩形，得 從而 即全面積為9.5.1 棱柱例題分析立體幾何9.5.1 棱柱知識(shí)探究圖9-65立體幾何1 已知長(zhǎng)方體的高為2，長(zhǎng)與寬的比為43，一條體對(duì)角線長(zhǎng)為 ，求它的長(zhǎng)與寬.2 正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，高為3a，求它的全面積與體積.3 已知以長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)為a，b，c，求它的體對(duì)角線長(zhǎng).（1）a=3,b=4,c=5;（2）a=,b=11,c=4.4 已知正六棱柱的高為h，底面邊長(zhǎng)為a,求它的全面積.9.5.1 棱柱課堂練習(xí)立體幾何9.5.2 棱錐與棱臺(tái) 如圖9-66所示，觀察物體，說說它們與棱柱有哪些異同點(diǎn).情景導(dǎo)入立體幾何9.5.2 棱錐與棱臺(tái) 有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫作棱錐.這個(gè)多邊形叫作棱錐的底面，其余各面叫作棱錐的側(cè)面,相鄰側(cè)面的公共邊叫作棱錐的側(cè)棱，各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫作棱錐的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)到底面的距離叫作棱錐的高.棱錐用頂點(diǎn)和底面的各頂點(diǎn)表示，或者用頂點(diǎn)和底面一條對(duì)角線端點(diǎn)的字母表示.如圖9-67所示的棱錐表示為棱錐S-ABCD 或棱錐S-AC.知識(shí)探究立體幾何9.5.2 棱錐與棱臺(tái) 如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，則稱這個(gè)棱錐是正棱錐.正棱錐側(cè)面積等于各個(gè)側(cè)面三角形的面積的和，即 棱錐的全面積等于側(cè)面積與底面積的和，即 棱錐的體積等于它的底面積與高的積的 ，即 知識(shí)探究立體幾何例2 正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，高為3a，求它的全面積與體積（圖9-68中，O 為點(diǎn)P 在底面的射影）.例題分析9.5.2 棱錐與棱臺(tái)立體幾何解 由正三棱錐底面為正三角形，可得又在Rt BCD中，所以在Rt POD中,得例題分析9.5.2 棱錐與棱臺(tái)立體幾何 用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，去掉上部分的小棱錐，剩下的幾何體稱為棱臺(tái),原棱錐的底面和截面分別叫作棱臺(tái)的下底面和上底面，其他各面叫作棱臺(tái)的側(cè)面，棱臺(tái)的上、下底面平行，各側(cè)面都是梯形，相鄰側(cè)面的公共邊叫作棱臺(tái)的側(cè)棱，上、下底面之間的距離叫作棱臺(tái)的高.由三棱錐截得的棱臺(tái)叫作三棱臺(tái)，由四棱錐截得的棱臺(tái)叫作四棱臺(tái),等等.由正棱錐截得的棱臺(tái)叫作正棱臺(tái).知識(shí)探究9.5.2 棱錐與棱臺(tái)立體幾何1.已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a,求經(jīng)過各側(cè)棱中點(diǎn)的截面面積.2.正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，高為2a，求它的全面積與體積.課堂練習(xí)9.5.2 棱錐與棱臺(tái)PART 9.6圓柱、圓錐與圓臺(tái)立體幾何9.6 圓柱、圓錐與圓臺(tái) 如圖9-69所示，觀察下面的物體，說說它們與棱柱、棱錐、棱臺(tái)的異同點(diǎn).情景導(dǎo)入立體幾何 圓柱、圓錐、圓臺(tái)有下列性質(zhì)：（1）平行于底面的截面都是圓.（2）過軸的截面（軸截面）分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形.9.6 圓柱、圓錐與圓臺(tái)知識(shí)探究立體幾何 同學(xué)們已經(jīng)知道圓柱、圓錐、圓臺(tái)這些幾何體，像圓柱、圓錐、圓臺(tái)這些幾何體，都是由一些曲線繞一根軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的，稱為旋轉(zhuǎn)體.旋轉(zhuǎn)成圓柱、圓錐、圓臺(tái)的平面圖形在軸上這條邊的長(zhǎng)度叫作它們的高,垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫作它們的底面,不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫作它們的側(cè)面，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫作側(cè)面的母線.9.6 圓柱、圓錐與圓臺(tái)知識(shí)探究立體幾何 容易看出，圓柱、圓錐、圓臺(tái)有下列性質(zhì)：（1）平行于底面的截面都是圓.（2）過軸的截面（軸截面）分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形.現(xiàn)在給出圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積與體積的計(jì)算公式：S圓柱側(cè)=Cl=2rl.其中，r 為圓柱的底面半徑，l 為母線長(zhǎng)，C 為圓柱底面周長(zhǎng).S圓錐側(cè)=1/2Cl=rl.9.6 圓柱、圓錐與圓臺(tái)知識(shí)探究立體幾何其中,r 為圓錐底面半徑，l 為母線長(zhǎng)，C 為圓錐底面周長(zhǎng).S圓臺(tái)側(cè)=1/2（C+C）l=（r+r）l.其中，C，C 分別為圓臺(tái)上、下底面的周長(zhǎng)，r，r 分別是上、下底面的半徑，l 為母線長(zhǎng).圓柱、圓錐、圓臺(tái)的全面積，分別等于它們的側(cè)面積與底面積的和.V圓柱=S底h=r2h.其中，S 底為圓柱的底面積，h 為圓柱的高，r 為底面半徑.V 圓錐=1/3 S底h=1/3 r2h.9.6 圓柱、圓錐與圓臺(tái)知識(shí)探究立體幾何其中，S 底為圓錐的底面積，h 為圓錐的高，r 為底面半徑.V圓臺(tái)=1/3 h（r2+rr+r2）.其中，r，r分別為圓臺(tái)的上、下底面半徑，h為圓臺(tái)的高.9.6 圓柱、圓錐與圓臺(tái)知識(shí)探究立體幾何例 圓錐底面半徑為r，軸截面是直角三角形，如圖9-70所示，求軸截面的面積，以及圓錐的側(cè)面積和體積.例題分析9.5.2 棱錐與棱臺(tái)立體幾何解 在R1 APB中，O為AB 中點(diǎn)，APB=90，PA=PB，且OA=OB=r，所以O(shè)P=r.因此軸截面面積為r 2，側(cè)面積為 ，體積為1/3 r 3.例題分析9.5.2 棱錐與棱臺(tái)立體幾何1 用一張長(zhǎng)為31.4 cm，寬為20 cm的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，求軸截面的面積.2 圓錐形煙囪帽的底面半徑是40 cm，高是30 cm，求它的側(cè)面積.3 一圓錐被平行底面的平面所截，母線被截得上、下兩段長(zhǎng)之比為12，則截得的小圓錐的體積與圓臺(tái)的體積之比是多少？課堂練習(xí)9.6 圓柱、圓錐與圓臺(tái)PART 9.7 球立體幾何9.7 球 如圖9-71所示，足球、籃球、乒乓球等都是球形物體.那么球有哪些相關(guān)概念及性質(zhì)呢？情景導(dǎo)入立體幾何9.7 球 半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫作球面，球面也可以看作空間中與定點(diǎn)（球心）的距離等于定長(zhǎng)（半徑）的所有點(diǎn)的集合.由球面所圍成的幾何體叫作球體，簡(jiǎn)稱球.半圓的圓心叫作球心，連接球心與球面上任意一點(diǎn)的線段叫作球的半徑，連接球面上的兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段叫作球的直徑.一個(gè)球用它的球心的字母來表示，如球O.球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫作大圓，被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫作小圓.知識(shí)探究立體幾何9.7 球 在球面上，兩點(diǎn)之間的最短連線的長(zhǎng)度，就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度，我們把這個(gè)弧長(zhǎng)叫作兩點(diǎn)間的球面距離.用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面，球的截面有下列性質(zhì)：（1）球心和截面圓心的連線垂直于截面.（2）球心到截面的距離d 與球的半徑R 及截面的半徑r 的關(guān)系為 知識(shí)探究立體幾何9.7 球 運(yùn)用微積分的基本思想，可以推導(dǎo)出半徑為R 的球的表面積公式與體積公式如下：（1）球面的面積等于它的大圓面積的4 倍，即 球面的面積就是球的表面積.（2）半徑為R的球的體積為 知識(shí)探究立體幾何9.7 球 例1 如圖9-72所示，球O的半徑為13，A，B為球面上的兩點(diǎn)，圖中大圓與小圓所在的平面是平行的，且小圓半徑為5，球半徑OA與OB所成的角為 ，求A，B兩點(diǎn)間的球面距離，以及小圓圓心與大圓圓心之間的距離OO.例題分析立體幾何9.7 球解 由球面上兩點(diǎn)間的距離定義知 而 即A，B 兩點(diǎn)間的球面距離為 ，OO長(zhǎng)為12.例題分析立體幾何9.7 球例2 一個(gè)球的大圓面積為256 cm2,求這個(gè)球的表面積和體積.解 設(shè)球半徑為R，則 S大圓=R2=256,解得 R=16.所以 S球面=4R2=4162=1024,V球=4/3R3=4/3163=16384/3.即球的表面積為1024 cm2，球的體積為16384/3 cm3.例題分析立體幾何9.7 球 1.已知一個(gè)球的體積為 ，求它的半徑.2.已知球面的大圓周長(zhǎng)為10 m，求這個(gè)球的表面積及體積.課堂練習(xí)THANK YOU