《高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第7章 第1節(jié) 不等式的性質(zhì)與一元二次不等式 Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第7章 第1節(jié) 不等式的性質(zhì)與一元二次不等式 Word版含解析（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 全國(guó)卷五年考情圖解 高考命題規(guī)律把握 1.考查形式 高考在本章一般命制1～2個(gè)小題，分值5～10分． 2.考查內(nèi)容 (1)小題主要考查：一元二次不等式的解法、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃中線性目標(biāo)函數(shù)的最值求法、簡(jiǎn)單的邏輯推理題等． (2)大題主要考查：應(yīng)用基本不等式求最值(或范圍)、運(yùn)用演繹推理、直接證明與間接證明以及數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)或幾何問題． 3.備考策略 從2019年高考試題可以看出，高考對(duì)簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的考查會(huì)逐漸趨于淡化，對(duì)于推理與證明的思想運(yùn)用會(huì)進(jìn)一步加強(qiáng). 第一節(jié)　不等式的性質(zhì)與一元二次不等式 [最新考綱]　1.了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了

2、解不等式(組)的實(shí)際背景.2.會(huì)從實(shí)際問題的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通過(guò)函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.4.會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的算法框圖． 1．兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2．不等式的性質(zhì) (1)對(duì)稱性：a>b?bb，b>c?a>c； (3)可加性：a>b?a＋c>b＋c； a>b，c>d?a＋c>b＋d； (4)可乘性：a>b，c>0?ac>bc； a>b，c<0?acb>0，c>d>0?ac>bd； (5)乘方法則：

3、a>b>0?an>bn(n≥2，n∈N)； (6)開方法則：a>b>0?>(n≥2，n∈N)； (7)倒數(shù)性質(zhì)：設(shè)ab>0，則a. 3．“三個(gè)二次”的關(guān)系 判別式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖像 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有兩相異實(shí)根 x1，x2(x10 (a>0)的解集 {x|xx2} R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1

4、2} ? ? 1．若a＞b＞0，m＞0，則＜； 若b＞a＞0，m＞0，則＞. 2．(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法口訣：大于取兩邊，小于取中間． 3．恒成立問題的轉(zhuǎn)化：a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min. 4．能成立問題的轉(zhuǎn)化：a＞f(x)能成立?a＞f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)a＞b?ac2＞bc2.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為(x1，x2)，則必有a＞0.(　　) (3)若方程a

5、x2＋bx＋c＝0(a＜0)沒有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為R.(　　) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)?　　) A．[0,3]　　　　　 B．(0,3) C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞) A　[要使函數(shù)f(x)＝有意義， 則3x－x2≥0， 即x2－3x≤0， 解得0≤x≤3.] 2．設(shè)A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，則A與B的大小關(guān)系為(　　) A．A≥B

6、 B．A＞B C．A≤B D．A＜B B　[∵A－B＝(x－3)2－(x－2)(x－4) ＝x2－6x＋9－x2＋6x－8＝1＞0， ∴A＞B，故選B.] 3．設(shè)bb＋d D．a(chǎn)＋d>b＋c C　[由同向不等式具有可加性可知C正確．] 4．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集為，則a＋b＝________. －14　[由題意知x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的兩個(gè)根， 則解得(經(jīng)檢驗(yàn)知滿足題意)． ∴a＋b＝－14.] 考點(diǎn)1　比較大小與不等式的性質(zhì) 　比

7、較大小的5種常用方法 (1)作差法：直接作差判斷正負(fù)即可(常用變形手段：因式分解、配方、有理化、通分等)． (2)作商法：直接作商與1的大小比較，注意兩式的符號(hào)． (3)函數(shù)的單調(diào)性法：把比較的兩個(gè)數(shù)看成一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較． (4)不等式的性質(zhì)法． (5)特殊值排除法：可以多次取特殊值，根據(jù)特殊值比較大小，從而得出結(jié)論． 　1.若a，b，c∈R，且a＞b，則下列不等式一定成立的是(　　) A．a(chǎn)＋c≥b－c B．(a－b)c2≥0 C．a(chǎn)c＞bc D．≤ B　[(不等式的性質(zhì)法)a，b，c∈R，且a＞b，可得a－b＞0，因?yàn)閏2≥0，所以(a－b)c2≥0

8、.故選B.] 2．若a<0，b<0，則p＝＋與q＝a＋b的大小關(guān)系為(　　) A．pq D．p≥q B　[法一： (作差法)p－q＝＋－a－b ＝＋＝(b2－a2)· ＝＝， 因?yàn)閍<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0. 若a＝b，則p－q＝0，故p＝q； 若a≠b，則p－q<0，故p

9、3－b3＞0 D．|a|＞|b| C　[法一：由函數(shù)y＝ln x的圖像(圖略)知，當(dāng)0＜a－b＜1時(shí)，ln(a－b)<0，故A不正確；因?yàn)楹瘮?shù)y＝3x在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)a>b時(shí)，3a>3b，故B不正確；因?yàn)楹瘮?shù)y＝x3在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)a>b時(shí)，a3>b3，即a3－b3＞0，故C正確；當(dāng)b

10、法一：(待定系數(shù)法)設(shè)f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n為待定系數(shù))，則4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)， 即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b. 于是得解得 ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4. ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10. 法二：(運(yùn)用方程思想)由 得 ∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10. 法三：(借助線性規(guī)劃)由 確定的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，

11、當(dāng)f(－2)＝4a－2b過(guò)點(diǎn)A時(shí)， 取得最小值4×－2×＝5， 當(dāng)f(－2)＝4a－2b過(guò)點(diǎn)B(3,1)時(shí)， 取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.] 　(1)盡管特值法可以較快的排除干擾選項(xiàng)，但直接應(yīng)用該法作出正確判斷是有風(fēng)險(xiǎn)的，如T2，T3. (2)利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意前提條件，如T1，T4. 考點(diǎn)2　一元二次不等式的解法 　解一元二次不等式的一般步驟 　解下列不等式： (1)3＋2x－x2≥0； (2)ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)． [解]　(1)原不等式化為x2－2x－3≤0， 即(x－3)(x＋1)≤

12、0， 故所求不等式的解集為{x|－1≤x≤3}． (2)若a＝0，原不等式等價(jià)于－x＋1<0，解得x>1. 若a<0，原不等式等價(jià)于(x－1)>0， 解得x<或x>1. 若a>0，原不等式等價(jià)于(x－1)<0. ①當(dāng)a＝1時(shí)，＝1，(x－1)<0無(wú)解； ②當(dāng)a>1時(shí)，<1，解(x－1)<0得1，解 (x－1)<0得11}； 當(dāng)01時(shí)，解集為. [母題探究]　將本例(2)中不等式改為x2－(a＋1)x＋a<0(a∈R

13、)，求不等式的解集． [解]　原不等式可化為(x－a)(x－1)<0， 當(dāng)a>1時(shí)，原不等式的解集為(1，a)； 當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式的解集為?； 當(dāng)a<1時(shí)，原不等式的解集為(a,1)． 　解含參不等式的分類討論依據(jù) 提醒：含參數(shù)討論問題最后要綜上所述． [教師備選例題] 解不等式：x2－2ax＋2≤0(a∈R)． [解]　對(duì)于方程x2－2ax＋2＝0，因?yàn)棣ぃ?a2－8. (1)當(dāng)Δ＜0，即－＜a＜時(shí)，x2－2ax＋2＝0無(wú)實(shí)根．又二次函數(shù)y＝x2－2ax＋2的圖像開口向上，所以原不等式的解集為?； (2)當(dāng)Δ＝0，即a＝±時(shí)，x2－2ax＋2＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根

14、， 當(dāng)a＝時(shí)，原不等式的解集為{x|x＝}， 當(dāng)a＝－時(shí)，原不等式的解集為{x|x＝－}； (3)當(dāng)Δ＞0，即a＞或a＜－時(shí)，x2－2ax＋2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，分別為x1＝a－，x2＝a＋，且x1＜x2，所以原不等式的解集為{x|a－≤x≤a＋}． 綜上，當(dāng)a＞或a＜－時(shí)，解集為{x|a－≤x≤a＋}；當(dāng)a＝時(shí)，解集為{x|x＝}；當(dāng)a＝－時(shí)，解集為{x|x＝－}；當(dāng)－＜a＜時(shí)，解集為?. 　1.(2019·濟(jì)南模擬)已知不等式ax2－5x＋b>0的解集為 ，則不等式bx2－5x＋a>0的解集為(　　) A. B. C．{x|－32}

15、 C　[由題意知a>0，且，－是方程ax2－5x＋b＝0的兩根，∴解得 ∴bx2－5x＋a＝－5x2－5x＋30>0， 即x2＋x－6<0， 解得－3a2(a∈R)． [解]　原不等式可化為12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0， 解得x1＝－，x2＝. 當(dāng)a>0時(shí)，不等式的解集為∪； 當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為(－∞，0)∪(0，＋∞)

16、； 當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為∪. 考點(diǎn)3　一元二次不等式恒成立問題 　在R上恒成立，求參數(shù)的范圍 　 一元二次不等式在R上恒成立的條件 不等式類型 恒成立條件 ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0 ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0 ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0 ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0 　不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對(duì)一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． (－2,2]　[當(dāng)a－2＝0，即a＝2時(shí)，不等式即為－4<0，對(duì)一切x∈R恒成立， 當(dāng)a≠2時(shí)，則有 即∴－2

17、a的取值范圍是(－2,2]．] 　本題在求解中常因忽略“a－2＝0”的情形致誤，只要二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)，必須討論二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況． 　若不等式2kx2＋kx－<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為(　　) A．(－3,0) B．[－3,0) C．[－3,0] D．(－3,0] D　[當(dāng)k＝0時(shí)，顯然成立；當(dāng)k≠0時(shí)，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則 解得－3

18、(x∈[a，b])的不等式確定參數(shù)范圍時(shí)，常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值． 　[一題多解]已知函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.若對(duì)于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． [解]　要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立， 即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立． 有以下兩種方法： 法一：(函數(shù)最值法)令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]． 當(dāng)m>0時(shí)，g(x)在[1,3]上是增函數(shù)， 所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0， 所以m<，所以0

19、減函數(shù)， 所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0， 所以m<6，所以m<0. 綜上所述，m的取值范圍是. 法二：(分離參數(shù)法)因?yàn)閤2－x＋1＝2＋>0， 又因?yàn)閙(x2－x＋1)－6<0，所以m<. 因?yàn)楹瘮?shù)y＝＝在[1,3]上的最小值為，所以只需m<即可． 所以m的取值范圍是. [母題探究]　若將“f(x)<5－m恒成立”改為“存在x，使f(x)<5－m成立”，如何求m的取值范圍？ [解]　由題意知f(x)<5－m有解， 即m<有解，則m

20、某區(qū)間上恒成立問題的三種常用方法．每種方法對(duì)于不同試題各有優(yōu)劣，要牢牢掌握，靈活使用，特別是數(shù)形結(jié)合時(shí)，滿足條件的圖像要畫全，畫對(duì)．二次函數(shù)問題建議多考慮，對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖像，建議恒成立或能成立問題求參數(shù)范圍時(shí)，首選分離參數(shù)法． 　若不等式x2＋ax＋4≥0對(duì)一切x∈(0,1]恒成立，則a的取值范圍為________． [－5，＋∞)　[由不等式x2＋ax＋4≥0對(duì)一切x∈(0,1]恒成立，得a≥－對(duì)一切x∈(0,1]恒成立． 設(shè)f(x)＝－，x∈(0,1]， 則只要a≥[f(x)]max即可． 由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞增， 所以[f(x)]max＝f(1)＝－5，

21、故a≥－5.] 　給定參數(shù)范圍的恒成立問題 　形如f(x)＞0或f(x)＜0(參數(shù)m∈[a，b])的不等式確定x的范圍時(shí)，要注意變換主元，即將原不等式轉(zhuǎn)化為g(m)＞0或g(m)＜0恒成立問題． 　對(duì)任意的k∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，則x的取值范圍是__________． {x|x<1或x>3}　[對(duì)任意的k∈[－1,1]，x2＋(k－4)x＋4－2k>0恒成立，即g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)>0，在k∈[－1,1]時(shí)恒成立． 只需g(－1)>0且g(1)>0，即 解得x<1或x>3.] 　解決恒成立問題一定要搞清誰(shuí)是主

22、元，誰(shuí)是參數(shù)，一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是主元，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)． 　函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3. (1)當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)當(dāng)x∈[－2,2]時(shí)，f(x)≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (3)當(dāng)a∈[4,6]時(shí)，f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍． [解]　(1)∵當(dāng)x∈R時(shí)，x2＋ax＋3－a≥0恒成立， 需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2. ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－6,2]． (2)當(dāng)x∈[－2,2]時(shí)，設(shè)g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三種情況討論(如圖所示)： ①如圖1，當(dāng)g(x)的圖像與x軸不超過(guò)1個(gè)交點(diǎn)時(shí)， 有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2. ②如圖2，g(x)的圖像與x軸有2個(gè)交點(diǎn)， 但當(dāng)x∈[－2，＋∞)時(shí)，g(x)≥0， 即即 可得 解得a∈?. ③如圖3，g(x)的圖像與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，　 但當(dāng)x∈(－∞，2]時(shí)，g(x)≥0. 即即 可得∴－7≤a<－6， 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－7,2]． (3)令h(a)＝xa＋x2＋3. 當(dāng)a∈[4,6]時(shí)，h(a)≥0恒成立． 只需即 解得x≤－3－或x≥－3＋. ∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是 (－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．