習(xí)題課　函數(shù)的概念與性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.進(jìn)一步理解函數(shù)的概念及其表示方法(重點(diǎn)).2.能夠綜合應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題(重點(diǎn)、難點(diǎn))． 1．若函數(shù)y＝x2－3x的定義域?yàn)閧－1,0,2,3}，則其值域?yàn)?　　) A．{－2,0,4}　　　 B．{－2,0,2,4} C．　　 D．{y|0≤y≤3} 解析　依題意，當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝4；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝－2；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝0.所以函數(shù)y＝x2－3x的值域?yàn)閧－2,0,4}． 答案　A 2．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的函數(shù)為(　　) A．y＝　　　 B．y＝ C．y＝x2　　 D．y＝x3 解析　函數(shù)y＝與y＝x3都是奇函數(shù)，y＝x2在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故選A． 答案　A 3．若函數(shù)f(x)是定義在[－6,6]上的偶函數(shù)，且在[－6,0]上單調(diào)遞減，則(　　) A．f(3)＋f(4)>0　　　 B．f(－3)＋f(－2)<0 C．f(－2)＋f(－5)<0　　 D．f(4)－f(－1)>0 解析　因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(4)＝f(－4)，又f(x)在[－6,0]上單調(diào)遞減，所以f(－4)>f(－1)，即f(4)－f(－1)>0. 答案　D 4．設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)x∈[－1,1)時(shí)，f(x)＝則f＝________. 解析　f＝f＝f＝－4×2＋2＝1. 答案　1 類型一　求函數(shù)的定義域和解析式 【例1】　(1)函數(shù)f(x)＝＋的定義域?yàn)開_______． (2)已知f＝x2＋2x－3，則f(x)＝________. 解析　(1)由解得x≥－2且x≠1，故f(x)的定義域?yàn)閧x|x≥－2且x≠1}． (2)令t＝＋1(t≠1)，則x＝，所以f(t)＝＋－3，即f(x)＝＋－3(x≠1)． 答案　(1){x|x≥－2且x≠1}　(2)＋－3(x≠1) 規(guī)律方法　1.求函數(shù)的定義域的方法 求已知函數(shù)的定義域時(shí)要根據(jù)函數(shù)的解析式構(gòu)建不等式(組)，然后解不等式(組)可得，同時(shí)注意把定義域?qū)懗杉系男问剑? 2．求函數(shù)解析式的方法有： (1)待定系數(shù)法；(2)換元法；(3)配湊法；(4)消去法． 【訓(xùn)練1】　(1)函數(shù)f(x)＝(x－1)0＋的定義域?yàn)開_______． (2)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(1－x)＝f(1＋x)，f(2)＝1，f(1)＝3，則f(x)＝________. 解析　(1)由得x>－1且x≠1，故f(x)的定義域?yàn)閧x|x>－1且x≠1}． (2)由f(1－x)＝f(1＋x)且f(1)＝3，可設(shè)f(x)＝a(x－1)2＋3(a≠0)，又f(2)＝a(2－1)2＋3＝1，故a＝－2，所以f(x)＝－2x2＋4x＋1. 答案　(1){x|x>－1且x≠1}　(2)－2x2＋4x＋1 類型二　函數(shù)的單調(diào)性與最值 【例2】　已知f(x)＝(a≠0)，x∈(－1,1)． (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)若a＝1，求f(x)在上的最大值和最小值． 解　(1)設(shè)－1<x1<x2<1，則f(x1)－f(x2)＝－ ＝＝， ∵－1<x1<x2<1， ∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0， ∴當(dāng)a>0時(shí)，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)； 當(dāng)a<0時(shí)，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)． (2)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝，由(1)知f(x)在上是減函數(shù)， 故f(x)的最大值為f＝，最小值為f＝－. 規(guī)律方法　函數(shù)單調(diào)性的證明及應(yīng)用 (1)利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟為：取值、作差或作商、變形、定號(hào)、下結(jié)論，如本例中若含有字母，則一般需分類討論． (2)利用函數(shù)單調(diào)性求最值的步驟：①確定函數(shù)的單調(diào)性；②借助最值與單調(diào)性的關(guān)系寫出函數(shù)的最值． 【訓(xùn)練2】　若f(x)＝－x2＋2ax與g(x)＝在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是(　　) A．(－1,0)∪(0,1)　　　 B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1)　　 D．(0,1] 解析　由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是減函數(shù)可得[1,2]?[a，＋∞)，∴a≤1. ∵y＝在(－1，＋∞)上為減函數(shù)， ∴由g(x)＝在[1,2]上是減函數(shù)可得a>0， 故0<a≤1. 答案　D 考查方向 　類型三　函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 方向1　利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性比較大小 【例3－1】　設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關(guān)系是________． 解析　因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，則f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，又當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)是增函數(shù)，所以f(2)<f(3)<f(π)，即f(－2)<f(－3)<f(π)． 答案　f(－2)<f(－3)<f(π) 方向2　利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式 【例3－2】　設(shè)定義在[－3,3]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上是減函數(shù)，若f(1－m)<f(m)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解　因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)且f(x)在[0,3]上是減函數(shù)， 所以f(x)在[－3,3]上是減函數(shù)． 所以不等式f(1－m)<f(m)等價(jià)于解得－2≤m<. 規(guī)律方法　1.利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小的方法 對(duì)于偶函數(shù)，如果兩個(gè)自變量的取值在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間上，即正負(fù)不統(tǒng)一，應(yīng)利用圖象的對(duì)稱性將兩個(gè)值轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，然后再根據(jù)單調(diào)性判斷． 2．利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式 解決此類問(wèn)題時(shí)一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉(zhuǎn)化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，列出不等式(組)，同時(shí)不能漏掉函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響． 【訓(xùn)練3】　若奇函數(shù)f(x)在[－6，－2]上是減函數(shù)，且最小值是1，則它在[2,6]上是(　　) A．增函數(shù)且最小值是－1　　　 B．增函數(shù)且最大值是－1 C．減函數(shù)且最大值是－1　　 D．減函數(shù)且最小值是－1 解析　∵奇函數(shù)f(x)在[－6，－2]上是減函數(shù)，且最小值是1，∴函數(shù)f(x)在[2,6]上是減函數(shù)且最大值是－1. 答案　C 1．利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：①取值；②作差；③定號(hào)；④判斷． 2．判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法有：定義法、圖象法． 3．利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可以解決以下問(wèn)題： (1)比較函數(shù)值的大小，根據(jù)已知條件，利用奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到已知單調(diào)性的區(qū)間上，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大??； (2)解不等式，根據(jù)函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化自變量的范圍、然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性脫掉“f”號(hào)，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式后求解．