《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》 配套PPT課件,經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ),《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》,配套PPT課件,經(jīng)濟(jì),數(shù)學(xué),基礎(chǔ),配套,PPT,課件 課程性質(zhì): 本書是針對(duì)高職高專院校經(jīng)濟(jì)管理類各專業(yè)學(xué)生編寫的。根據(jù)微積分、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)邏輯，在敘述上力求簡明、通俗，又不失科學(xué)性。本書的習(xí)題分成A層(加強(qiáng)基礎(chǔ))、B層(充實(shí)提高)、C層(拓展能力)三層，呈遞進(jìn)關(guān)系，讀者通過A層→B層→C層練習(xí)，能提高對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握。 課程目的：本書以"淡化理論，掌握概念，結(jié)合專業(yè)，強(qiáng)化應(yīng)用"為重點(diǎn)體現(xiàn)了以應(yīng)用為目的，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維去解決問題的能力為原則，力求用易懂的語言闡述高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念。 本書可作為高職高專經(jīng)濟(jì)類及管理類各專業(yè)通用的高等數(shù)學(xué)教材，也可作經(jīng)管類人員更新知識(shí)的自學(xué)用書。 教學(xué)任務(wù)：本著基礎(chǔ)教學(xué)為專業(yè)服務(wù)及注重應(yīng)用、培養(yǎng)能力的原則，根據(jù)微積分、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)邏輯，以知識(shí)介紹為重點(diǎn)，詳略得當(dāng)；敘述上力求簡明、通俗，又不失科學(xué)性。同時(shí)，充分考慮高職高專學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)的差異，在與本教材配套的《<經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)>學(xué)習(xí)指導(dǎo)》中，將知識(shí)點(diǎn)融入解法中，在夯實(shí)基礎(chǔ)的同時(shí)，給學(xué)生提供了拓展能力和挑戰(zhàn)自我的空間。 課程的教學(xué)層次及適用對(duì)象：本書是高職院校經(jīng)濟(jì)管理類各專業(yè)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教材。內(nèi)容包括微積分、線性代數(shù)、概率論三大部分。全書共分11章，包括極限與連續(xù)；導(dǎo)數(shù)與微分；微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；不定積分；定積分及其應(yīng)用；多元函數(shù)微分學(xué)；行列式；矩陣；線性方程組；概率論初步；數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步。 節(jié)末配有習(xí)題，章尾配有復(fù)習(xí)題。其特點(diǎn)是例題、習(xí)題內(nèi)容豐富，與課文密切配合；結(jié)合專業(yè)特點(diǎn)，注重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)；還相應(yīng)介紹了數(shù)學(xué)軟件Mathematica的實(shí)際應(yīng)用。 本書適合作為高職高專以及成人高等教育經(jīng)濟(jì)管理類各專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的教材，也可以作為經(jīng)濟(jì)管理類各個(gè)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)課程的教學(xué)輔導(dǎo)書。 課程——經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 總課時(shí)為94，其中理論47課時(shí)，實(shí)訓(xùn)47課時(shí)。 項(xiàng)目名稱 任務(wù)名稱 課時(shí)分配 理論課時(shí) 實(shí)訓(xùn)課時(shí) 小計(jì) 第一章 極限與連續(xù) 第一節(jié) 函數(shù) 1 1 2 第二節(jié) 極限 1 1 2 第三節(jié) 無窮小量與無窮大量 1 1 2 第四節(jié) 極限的運(yùn)算法則 1 1 2 第五節(jié) 兩個(gè)重要極限 1 1 2 第六節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性 1 1 2 第七節(jié) 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的函數(shù) 1 1 2 第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念 1 1 2 第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則 1 1 2 第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù) 1 1 2 第四節(jié) 函數(shù)的微分 1 1 2 第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第一節(jié) 微分中值定理 1 1 2 第二節(jié) 洛必達(dá)法則 1 1 2 第三節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性 1 1 2 第四節(jié) 函數(shù)的極值 1 1 2 第五節(jié) 函數(shù)的最值 1 1 2 第六節(jié) 曲線的凹凸性與拐點(diǎn) 1 1 2 第七節(jié) 圖象的描繪 1 1 2 第四章 不定積分 第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì) 1 1 2 第二節(jié) 換元積分法 1 1 2 第三節(jié) 分部積分法 1 1 2 第五章 定積分及其應(yīng)用 第一節(jié) 定積分的概念 1 1 2 第二節(jié) 微積分基本定理 1 1 2 第三節(jié) 定積分的計(jì)算 1 1 2 第四節(jié) 廣義積分 1 1 2 第五節(jié) 定積分的應(yīng)用 1 1 2 第六章 多元函數(shù)微分學(xué) 第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念 1 1 2 第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù) 1 1 2 第三節(jié) 多元函數(shù)的極值與最值 1 1 2 第七章 行列式 第一節(jié) 行列式 1 1 2 第二節(jié) 克拉默法則 1 1 2 第八章 矩陣 第一節(jié) 矩陣及其運(yùn)算 1 1 2 第二節(jié) 分塊矩陣 1 1 2 第三節(jié) 逆矩陣 1 1 2 第四節(jié) 矩陣的秩 1 1 2 第五節(jié) 初等矩陣 1 1 2 第九章 線性方程組 第一節(jié) 高斯消元法 1 1 2 第二節(jié) 線性方程組的相容性定理 1 1 2 第十章 概率論初步 第一節(jié) 隨機(jī)事件 1 1 2 第二節(jié) 事件的概率 1 1 2 第三節(jié) 條件概率、乘法公式與事件的獨(dú)立性 1 1 2 第四節(jié) 隨機(jī)變量及其分布 1 1 2 第五節(jié) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 1 1 2 第十一章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步 第一節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 1 1 2 第二節(jié) 參數(shù)點(diǎn)估計(jì) 1 1 2 第三節(jié) 參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 1 1 2 第四節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn) 1 1 2 合計(jì) 47 47 94 第一章 極限與連續(xù) 一.教學(xué)目標(biāo) 1.學(xué)習(xí)在解決一些實(shí)際問題時(shí)，需要研究變量的變化趨勢(shì)。 2.極限理論是微積分學(xué)的基本推理工具，微積分學(xué)中的很多概念和定理都是用極限方法推導(dǎo)出來的。 二.課時(shí)分配 本項(xiàng)目共7個(gè)小節(jié)，安排14課時(shí)。 三.教學(xué)重點(diǎn) 本章將主要學(xué)習(xí)極限與連續(xù)的基本概念，以及它們的一些性質(zhì)，為進(jìn)一步學(xué)好微積分打下基礎(chǔ)；極限理論是微積分學(xué)的基本推理工具，微積分學(xué)中的很多概念和定理都是用極限方法推導(dǎo)出來的。 四.教學(xué)難點(diǎn) 極限方法推導(dǎo)概念和定理。 五.教學(xué)內(nèi)容 第一節(jié) 函數(shù) 一.函數(shù)的概念 1.函數(shù)的定義 定義1：設(shè)D是由數(shù)組成的集合.如果對(duì)于每個(gè)數(shù)x∈D，變量y按照一定的對(duì)應(yīng)法則f總有唯一確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，那么將對(duì)應(yīng)法則f稱為在D上x到y(tǒng)的一個(gè)函數(shù)，記作y=f（x），x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為函數(shù)的定義域。 2.函數(shù)的表示法 （1）表格法 （2）圖象法。 用圖象表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系的方法，如下圖所示； （3） 解析法。 用一個(gè)等式表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系的方法，如y=x+3，y=lg（x+2）等. 3.函數(shù)的定義域 要使解析式有意義，我們通?？紤]以下幾點(diǎn)： （1）分式的分母不能為零； （2）偶次根式的被開方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)； （3）對(duì)數(shù)式中的真數(shù)必須大于零； （4）冪函數(shù).指數(shù)函數(shù).對(duì)數(shù)函數(shù).三角函數(shù).反三角函數(shù)考慮各自的定義域； （5）若函數(shù)表達(dá)式是由幾個(gè)數(shù)學(xué)式子組成，則其定義域應(yīng)取各部分定義域的交集； （6）分段函數(shù)的定義域是各個(gè)定義區(qū)間的并集。 二.函數(shù)的幾種特性 1.奇偶性 定義2：設(shè)函數(shù)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.如果對(duì)于任意的x∈D，f（-x）=-f（x），那么f（x）為奇函數(shù)；如果對(duì)于任意的x∈D，f（-x）=f（x），那么f（x）為偶函數(shù).否則f（x）為非奇非偶函數(shù)。 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如圖所示；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖所示。 2.單調(diào)性 定義3：若對(duì)于區(qū)間D內(nèi)任意的兩點(diǎn)x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，恒有f（x1）≤f（x2），那么f（x）在區(qū)間D上單調(diào)增加，區(qū)間D稱為單調(diào)增區(qū)間；特別地，當(dāng)x1＜x2時(shí)，恒有f（x1)＜f（x2），則稱f（x)為D上的嚴(yán)格增函數(shù)；如果恒有f（x1）＞f（x2），那么f（x）在區(qū)間D上單調(diào)減少，區(qū)間D稱為單調(diào)減區(qū)間；特別地當(dāng)x1＞x2時(shí)，恒有f（x1)＞f（x2），則稱f（x)為D上的嚴(yán)格減函數(shù)。 單調(diào)遞增函數(shù)的圖象沿x軸正向上升，如圖所示；單調(diào)遞減函數(shù)的圖象沿x軸正向下降，如圖所示 3.有界性 定義4:設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，數(shù)集XD.若存在數(shù)K1，使得f（x）≤K1 對(duì)任意x∈X都成立，則稱函數(shù)f（x）在X上有上界，而K1稱為函數(shù)f（x）在X上的一個(gè)上界（任何大于K1的數(shù)也是f（x)在X上的上界）；若存在數(shù)K2，使得f（x）≥K2 4.周期性 定義5:設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，對(duì)于任意的x∈D，存在不為零的數(shù)T，使f（x+T）=f（x），那么f（x）為D上的周期函數(shù)，T稱為函數(shù)的一個(gè)周期，并且nT（n為非零整數(shù)）也是它的周期.平時(shí)，我們把函數(shù)的最小正周期稱為函數(shù)的周期。 三.初等函數(shù) 1.基本初等函數(shù) 我們把常數(shù)函數(shù)y=c（c為常數(shù)）.冪函數(shù)y=xα（α為實(shí)數(shù)）.指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1，a為常數(shù)）.對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a＞0，a≠1，a為常數(shù)）.三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。 2.復(fù)合函數(shù) 定義6:若函數(shù)y=f（u），u=g（x），且u=g（x）的值域或部分值域包含在f（u）的定義域中，則變量y通過變量u與變量x建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為y是x的復(fù)合函數(shù)，u是中間變量，x是自變量，通常將 y=f（u），u=g（x）合并寫成y=f［g（x）］ 第二節(jié) 極限 一.數(shù)列的極限 以前我們已經(jīng)學(xué)過數(shù)列的概念，現(xiàn)在我們來考察當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，無窮數(shù)列{an}的變化趨勢(shì).我們先看一個(gè)實(shí)例：一個(gè)籃球從距地面1m高處自由下落，受地心引力及空氣阻力作用，每次觸地后籃球又反彈到前一次高度的1/2處.于是，可得到表示籃球高度的一個(gè)數(shù)列： 我們知道，籃球最終會(huì)停在地面上，即反彈高度h=0，這說明，隨著反彈次數(shù)n的無限增大，數(shù)列通項(xiàng)hn=1/2n-1的值將趨向于0。 從圖中可看出，當(dāng)n增大時(shí)，點(diǎn)（n，an）從橫軸上方無限接近于直線an=0.這表明，當(dāng)n無限增大時(shí)，數(shù)列通項(xiàng)an=1/n的值無限趨近于零。 同樣，從圖中可看出，當(dāng)n增大時(shí)，點(diǎn)（n，an）從上下兩側(cè)無限接近于直線an=1.這表明，當(dāng)n無限增大時(shí)，數(shù)列通項(xiàng)an=（n+（-1）n）/n的值無限趨近于常數(shù)1。 定義1:如果無窮數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，an無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就叫作數(shù)列{an}的極限（limit） limn→∞1/2n-1=0； limn→∞1/n=0； limn→∞(n+（-1）n)/n=1 二.函數(shù)的極限 1.當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)f（x）的極限 定義2:如果當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f（x）無限趨近于確定的常數(shù)A，那么A就叫作函數(shù)f（x）當(dāng)x→∞時(shí)的極限，記作 limx→∞f（x）=A或當(dāng)x→∞時(shí)，f（x）→A 下面給出當(dāng)x→+∞或x→-∞時(shí)函數(shù)極限的定義。 定義3:如果當(dāng)x→+∞（或x→-∞）時(shí)，函數(shù)f（x）的值無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就稱為函數(shù)f（x）當(dāng)x→+∞（或x→-∞）時(shí)的極限，記作 limx→+∞f（x）=A，或當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→A （limx→-∞f（x）=A，或當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→A） 2.當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)f（x）的極限 定義4:設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0的某空心鄰域 鄰域就是在數(shù)軸上滿足{x||x-x0|＜δ}，δ＞0的點(diǎn)的集合，即區(qū)間（x0-δ，x0+δ）內(nèi)的一切實(shí)數(shù).x0稱為鄰域的中心，δ為半徑.若這個(gè)區(qū)間不含點(diǎn)x0，則稱為x0的空心δ鄰域。 第三節(jié) 無窮小量與無窮大量 一.無窮小量 定義1:如果當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)，函數(shù)f（x）的極限為零，那么稱函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)為無窮小量，簡稱無窮小。 例如，當(dāng)x→0時(shí)，sinx是無窮??；當(dāng)x→∞時(shí)，1x是無窮小。 二.無窮大量 定義2:如果當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)，函數(shù)f（x）的絕對(duì)值無限增大，那么稱函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)為無窮大量，簡稱無窮大. 如果按函數(shù)極限的定義來看，f（x）的極限不存在，但是為了便于敘述，我們稱“函數(shù)的極限是無窮大”，并記作 limx→x0（x→∞）f（x）=∞ 三.無窮小量與無窮大量的關(guān)系 定理:在自變量的同一變化過程中，如果f（x）為無窮大，那么1f（x）為無窮?。环粗?，如果f（x）為無窮小，且f（x）≠0，那么1f（x）為無窮大. 例如，因?yàn)閘imx→∞x3=∞，所以limx→∞ 1x3=0；因?yàn)閘imx→0sinx=0，所以limx→01sinx=∞ 四.無窮小量的性質(zhì) 在自變量的同一變化過程中，無窮小具有以下三個(gè)性質(zhì)： 性質(zhì)1:有限個(gè)無窮小的代數(shù)和為無窮小。 性質(zhì)2:有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮小。 性質(zhì)3:有限個(gè)無窮小的乘積為無窮小。 第四節(jié) 極限的運(yùn)算法則 法則設(shè)limx→x0f（x）=A，limx→x0g（x）=B，則有 （1） limx→x0［f（x）±g（x）］=limx→x0f（x）± limx→x0g（x）=A±B； （2） limx→x0［f（x）·g（x）］=limx→x0f（x）· limx→x0g（x）=A·B； （3） limx→x0［Cf（x）］=C·limx→x0f（x）=C·A（C為常數(shù)）； （4） limx→x0f（x）g（x）= limx→x0f（x） limx→x0g（x）=AB（B≠0） 第五節(jié) 兩個(gè)重要極限 一.判定極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則 準(zhǔn)則1:如果函數(shù)f（x），g（x），h（x）在同一變化過程中滿足 g（x）≤f（x）≤h（x） 且limg（x）=limh（x）=A，那么limf（x）存在且等于A。 準(zhǔn)則2：若數(shù)列{xn}單調(diào)有界，則limn→∞xn一定存在。 二.兩個(gè)重要極限公式 1.limx→0sinx/x=1 我們考察當(dāng)x趨近于0時(shí)，函數(shù)sinx/x的變化趨勢(shì)，列表如下： 從上表中可以看出，當(dāng)x→0時(shí)，sinx/x→1，即 limx→0sinx/x=1 2.limx→∞(1+1/x)/x=e 我們考察當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)(1+1/x)x的變化趨勢(shì)，列表如下： 從上表中可以看出，當(dāng)x→+∞和x→-∞時(shí)，函數(shù)1+1xx無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是無理數(shù)e=2.718 281 828 45…，即 limx→∞1+1xx=e 在上式中，令u=1x，則當(dāng)x→∞時(shí)，u→0，于是我們可以得到另一種形式 limu→0（1+u）1u=limx→∞1+1xx=e， 即 limx→0（1+x）1x=e 第六節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性 一.函數(shù)連續(xù)的概念 1.函數(shù)的增量 定義1:設(shè)函數(shù)y=f（x），當(dāng)自變量由初值x0變到終值x1時(shí)，我們把差值x1-x0叫作自變量的增量（或改變量），記作Δx，即 Δx=x1-x0， 因此x1=x0+Δx 這時(shí)可以說，自變量由初值x0變化到x0+Δx. 相應(yīng)地，函數(shù)值由f（x0）變化到f（x0+Δx），我們把差值 f（x0+Δx）-f（x0） 叫作函數(shù)的增量（或改變量），記作Δy，即 Δy=f（x0+Δx）-f（x0） 2.函數(shù)的連續(xù) 定義2:設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0某鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量x在x0處的增量Δx趨近于零時(shí)，函數(shù)y=f（x）的相應(yīng)增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）也趨近于零，也就是說，有 lim Δy=0或lim［f（x0+Δx）-f（x0）］=0， 那么稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，x0稱為函數(shù)f（x）的連續(xù)點(diǎn) 定義3:如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0 某鄰域內(nèi)有定義，并且limf（x）=f（x0），那么稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，x0稱為函數(shù)f（x）的連續(xù)點(diǎn)。 定義4:設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0處及其左（或右）鄰域內(nèi)有定義，如果limf（x）=f（x0）（或limf（x）=f（x0）），那么稱函數(shù)f（x）在x0處左連續(xù)（或右連續(xù)）。 定義5:如果函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，那么稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)，或稱函數(shù)f（x）為區(qū)間（a，b）內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，區(qū)間（a，b）稱為函數(shù)f（x）的連續(xù)區(qū)間。 二.初等函數(shù)的連續(xù)性 1.連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性 性質(zhì)1：如果函數(shù)f（x）與g（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，那么它們的和.差.積.商（分母在x0處不等于零）也都在x0處連續(xù).即 lim［f（x）±g（x）］=f（x0）±g（x0）； lim［f（x）·g（x）］=f（x0）g（x0）； limf（x）g（x）=f（x0）g（x0）（g（x0）≠0）. 2.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 性質(zhì)2如果函數(shù)u=φ（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，且φ（x0）=u0，而函數(shù)y=f（u）在點(diǎn)u0處連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)y=f［φ（x）］在點(diǎn)x0處也連續(xù)。 3.初等函數(shù)的連續(xù)性 性質(zhì)3：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。 這個(gè)結(jié)論對(duì)于以后判定函數(shù)連續(xù)性及一些極限的運(yùn)算是非常有價(jià)值的。如果已知函數(shù)f（x）是初等函數(shù)，且x0屬于f（x）的定義區(qū)間，那么求limf（x）時(shí)，只需將x0代入函數(shù)，求函數(shù)值f（x0）即可。 三.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)4：如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，那么函數(shù)f（x）在［a，b］上一定有最大值與最小值。 如圖所示，可以看出，在［a，b］上至少有一點(diǎn)ξ（a≤ξ≤b）使得f（ξ）=m為最小值，即m=f（ξ）≤f（x）（a≤x≤b），又至少有一點(diǎn)η（a≤η≤b）使f（η）=M為最大值，即M=f（η）≥f（x）（a≤x≤b）. 對(duì)于在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)的函數(shù)，其最大值.最小值不一定存在。 性質(zhì)5：如果函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且在兩端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f（a）=A和f（b）=B，C是A與B之間的任一數(shù)，那么在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得 f（ξ）=C（a＜ξ＜b） 這就是著名的介值定理，它的幾何意義是：在［a，b］上的連續(xù)曲線y=f（x）與直線y=C（C在A與B之間）至少有一個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)為（ξ，f（ξ）），其中f（ξ）=C，如圖所示。 推論如果函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號(hào)，那么至少存在一點(diǎn)ξ（a＜ξ＜b），使得f（ξ）=0。 第七節(jié) 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的函數(shù) 一.需求函數(shù)與供給函數(shù) 1.需求函數(shù) 一種商品的市場(chǎng)需求量Q與該商品的價(jià)格P密切相關(guān)，通常降低商品價(jià)格會(huì)使需求量增加；提高商品價(jià)格會(huì)使需求量減少.如果不考慮其他因素的影響，需求量Q可以看成是價(jià)格P的一元函數(shù)，稱為需求函數(shù)，記作 Q=Q（P）. 一般來說，需求函數(shù)為價(jià)格P的單調(diào)減少函數(shù)。 2.供給函數(shù) 某種商品的市場(chǎng)供給量S也受商品價(jià)格P的制約，價(jià)格上漲將刺激生產(chǎn)者向市場(chǎng)提供更多的商品，使供給量增加；反之，價(jià)格下跌將使供給量減少．供給量S也可看成價(jià)格P的一元函數(shù)，稱為 供給函數(shù)，記為 S=S（P） 供給函數(shù)為價(jià)格P的單調(diào)增加函數(shù)。 常見的供給函數(shù)有線性函數(shù).二次函數(shù).冪函數(shù).指數(shù)函數(shù)等。其中，線性供給函數(shù)為 S=-c+dP（c>0，d>0） 二.成本函數(shù)、平均成本函數(shù) 設(shè)Q為某種產(chǎn)品的產(chǎn)量，C為生產(chǎn)此種產(chǎn)品的成本，則用 C=C（Q） 表示該種產(chǎn)品的成本函數(shù)。 設(shè)生產(chǎn)每個(gè)單位產(chǎn)品的成本為a，固定成本為C0，則成本函數(shù)為 C=C（Q）=aQ+C0 用C表示生產(chǎn)Q個(gè)單位產(chǎn)品的平均成本，則 C=C（Q）=C（Q）Q 表示每單位的平均成本函數(shù).平均成本函數(shù)也用AC表示. 三.價(jià)格函數(shù)、收入函數(shù)與利潤函數(shù) 在消費(fèi)理論中，需求函數(shù)是我們前面討論的形式 Q=f（P） 這種形式所強(qiáng)調(diào)的是既定價(jià)格下的需求量．在廠商理論中，強(qiáng)調(diào)的是既定需求下的價(jià)格．在這種情況下，價(jià)格是需求量的函數(shù)，表示為 P=P（Q） 六．課后習(xí)題 完成每章后面的復(fù)習(xí)題。 第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 一.教學(xué)目標(biāo) 1.學(xué)習(xí)研究運(yùn)動(dòng)的各種形式時(shí)，都需要從數(shù)量上研究函數(shù)相對(duì)于自變量的變化快慢程度。 2.學(xué)習(xí)當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，函數(shù)的變化幅度大小等問題。 3.學(xué)習(xí)引入導(dǎo)數(shù)和微分的概念。 二.課時(shí)分配 本項(xiàng)目共4個(gè)小節(jié)，安排8課時(shí)。 三.教學(xué)重點(diǎn) 學(xué)習(xí)當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，函數(shù)的變化幅度大小等問題；學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)、微分的概念及其計(jì)算方法。 四.教學(xué)難點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)、微分的概念及其計(jì)算方法。 五.教學(xué)內(nèi)容 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念 一.引例 1. 變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度 我們知道在物理學(xué)中，物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，它在任何時(shí)刻的速度可由公式v=s/t來計(jì)算，其中，s為物體經(jīng)過的路程，t為時(shí)間.如果物體做非勻速運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=s（t），那么在某一段時(shí)間［t0，t1］內(nèi)，物體的位移（即位置增量）s（t1）-s（t0）與所經(jīng)歷的時(shí)間（即時(shí)間增量）t1-t0的比，就是這段時(shí)間內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的平均速度.我們把位移增量s（t1）-s（t0）記作Δs，時(shí)間增量t1-t0記作Δt，平均速度記作v，得 v=s（t1）-s（t0）/t1-t0=Δs/Δt =s（t0+Δt）-s（t0）/Δt 2. 切線問題 設(shè)M是曲線C上任一點(diǎn)，N是曲線上在點(diǎn)M附近的一點(diǎn)，作割線MN.當(dāng)點(diǎn)N沿著曲線C向點(diǎn)M移動(dòng)時(shí)，割線MN就繞著M轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)N無限趨近于點(diǎn)M時(shí)，割線MN的極限位置為MT，直線MT叫作曲線在點(diǎn)M處的切線，如圖所示。 已知曲線方程y=f（x），可以求過曲線上點(diǎn)M（x0，y0）處的切線斜率。在M點(diǎn)的附近取點(diǎn)N（x0+Δx，y0+Δy），其中Δx可正可負(fù)，作割線MN，其斜率為（φ為傾斜角） tanφ=ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x0）Δx 當(dāng)Δx→0時(shí)，割線MN將繞著點(diǎn)M轉(zhuǎn)動(dòng)到極限位置MT，如圖所示.根據(jù)上面切線的定義，直線MT就是曲線y=f（x）在點(diǎn)M處的切線.自然，割線MN的斜率tanφ的極限就是切線MT的斜率tanα（α是切線MT的傾斜角），即 tanα=limΔtanφ= limΔyΔx=limΔf（x0+Δx）-f（x0）Δx 二.導(dǎo)數(shù)的概念 定義1:設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量Δx時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)y有增量 Δy=f（x0+Δx）-f（x0） 如果當(dāng)Δx→0時(shí)，ΔyΔx的極限存在，那么這個(gè)極限就稱為函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記為y′|x=x0，即 y′|x=x0=limΔy/Δx=lim f（x0+Δx）-f（x0）Δx， 也可以記作 f′（x0），dy/dx或df（x）/dx 定義2:設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，若 limΔyΔx=lim f（x0+Δx）-f（x0）/Δx (lim 0Δy/Δx=lim f（x0+Δx）-f（x0）/Δx) 存在，則稱y=f（x）在點(diǎn)x0的左（右）導(dǎo)數(shù)存在，記作f′-（x0）（f′+（x0）） 三.導(dǎo)數(shù)的幾何意義 由切線斜率問題的討論及導(dǎo)數(shù)定義可知：函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0）的幾何意義是曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x0，y0）處的切線斜率，即 f′（x0）=tanα 其中，α是切線的傾斜角.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點(diǎn)斜式方程可得，曲線y=f（x）在給定點(diǎn)M（x0，y0）處的切線方程是 y-y0=f′（x0）（x-x0） 過切點(diǎn)M（x0，y0）且與切線垂直的直線叫作曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x0，y0）的法線.若f′（x0）≠0，則法線方程為 y-y0=-1f′（x0）（x-x0） 四.函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，即極限 limΔyΔx=f′（x0） 存在.由函數(shù)極限存在與無窮小的關(guān)系知 ΔyΔx=f′（x0）+α（α是當(dāng)Δx→0時(shí)的無窮?。?。 上式兩端同乘以Δx，得Δy=f′（x0）Δx+αΔx.不難看出，當(dāng)Δx→0時(shí)，Δy→0.這就是說，函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處是連續(xù)的。 第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則 一.函數(shù)和.差.積.商的求導(dǎo)法則 法則1：若函數(shù)u=u（x）和v=v（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)u（x）±v（x）也在x處可導(dǎo)，且 ［u（x）±v（x）］′=u′（x）±v′（x） 法則2：若函數(shù)u=u（x）和v=v（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)u（x）·v（x）在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，且 ［u（x）·v（x）］′=u′（x）v（x）+u（x）v′（x）. 特別地，令v（x）=c（常數(shù)），則由于c′=0，所以有［cu（x）］′=cu′（x）。 法則3：若函數(shù)u=u（x）和v=v（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且v（x）≠0，則函數(shù)u（x）v（x）在點(diǎn)x處也可導(dǎo)且 u（x）v（x）′=u′（x）v（x）-u（x）v ′（x）［v（x）］2。 二.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 法則4：如果函數(shù)u=φ（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且y=f（u）在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u=φ（x）處可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)f［φ（x）］在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，并且 dy/dx=dy/du·du/dx 或f′（x）=f′（u）·φ′（x） 三.隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 下面來討論隱函數(shù)的求導(dǎo)問題.如果一個(gè)隱函數(shù)能夠轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)可以用以前學(xué)過的方法求得，但是，有的隱函數(shù)很難或是根本不能轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)，在這種情況下，隱函數(shù)的求導(dǎo)方法如下： （1） 將方程F（x，y）=0的兩端對(duì)x求導(dǎo)，在求導(dǎo)過程中把y看成x的函數(shù)，y的函數(shù)看成是x的復(fù)合函數(shù)； （2） 求導(dǎo)后，解出y′即可（式子中允許有y出現(xiàn)）。 四.反函數(shù)的求導(dǎo)法則 法則5:設(shè)函數(shù)x=φ（y）在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)，在y處可導(dǎo)，且φ′（y）≠0，則其反函數(shù)y=f（x）在x=φ（y）處也可導(dǎo)，且 Dy/dx=1/dx/dy或f′（x）=1/φ′（y） 五.參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 在實(shí)際應(yīng)用中，函數(shù)y與自變量x的關(guān)系常常通過某一參數(shù)變量t表示出來，即 x=φ（t） y=ψ（t），t為參數(shù) 稱為函數(shù)的參數(shù)方程. 由于y是參數(shù)t的函數(shù)，由x=φ（t）知t是x的函數(shù)，所以，y通過t確定為x的復(fù)合函數(shù).于是，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式有 dydx=dydt·dtdx=dydtdxdt=ψ′（t）φ′（t） 第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù) 一.高階導(dǎo)數(shù)的概念 一般來說，函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)y′=f′（x）仍是x的函數(shù).若函數(shù)y′=f′（x）仍是可導(dǎo)的，則把y′=f′（x）的導(dǎo)數(shù)叫作函數(shù)y=f（x）的二階導(dǎo)數(shù)，記為y″，f″（x）或d2y/dx2 類似地，y=f（x）的二階導(dǎo)數(shù)y″的導(dǎo)數(shù)叫作y=f（x）的三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作y=f（x）的四階導(dǎo)數(shù)，等等.一般地，f（x）的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作y=f（x）的n階導(dǎo)數(shù)，分別記作 二.二階導(dǎo)數(shù)的物理意義 設(shè)物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為s=s（t），瞬時(shí)速度為v=s′（t）.此時(shí)，若速度v仍是時(shí)間t的函數(shù)，我們可以求速度v對(duì)時(shí)間t的變化率： v′（t）=（s′（t））′=s″（t） 在力學(xué)中把上式叫作物體在給定時(shí)刻的加速度，用a表示.也就是說，物體的加速度a是路程s對(duì)時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù)，即 a=v′（t）=s″（t）=d2s/dt2 第四節(jié) 函數(shù)的微分 一.微分的概念 在實(shí)際生產(chǎn)實(shí)踐中，有時(shí)需要考慮這樣的問題：當(dāng)自變量有一微小的增量時(shí)，函數(shù)的增量是多少.例如，一個(gè)邊長為x0的正方形金屬薄片，當(dāng)受冷熱影響時(shí)，其邊長由x0變到（x0+Δx），問此時(shí)薄片的面積的改變量是多少? 設(shè)正方形薄片的邊長為x0，面積為y，則上面問題就是求當(dāng)函數(shù)y=x2的自變量由x0變到（x0+Δx）時(shí)函數(shù)y的改變量Δy，也就是面積的改變量，即 Δy=（x0+Δx）2-x20 =2x0·Δx+（Δx）2 由此可見，當(dāng)|Δx|很小時(shí)，（Δx）2的作用非常小，可以忽略不計(jì)。 因此，函數(shù)y=x2在x0有微小改變量Δx時(shí)，函數(shù)的改變量Δy約為2x0·Δx，即 Δy≈2x0·Δx 從圖中不難看出，Δy表示的是以x0為邊長的正方形外圍的陰影部分面積，它為圖示的Ⅰ.Ⅱ.Ⅲ部分的面積之和，即2（x0·Δx）+（Δx）2，顯然當(dāng)|Δx|相對(duì)于x0很小時(shí)，（Δx）2是微乎其微的。 當(dāng)f（x）=x2時(shí)，f′（x0）=2x0，因此Δy≈2x0·Δx可以寫成 Δy≈f′（x0）·Δx 由于f′（x0）·Δx是Δx的線性函數(shù)，所以通常把f′（x0）·Δx叫作Δy的線性主部。 一般地，對(duì)于給定的可導(dǎo)函數(shù)y=f（x），當(dāng)自變量在x0處有微小的改變量Δx時(shí)，函數(shù)值y的改變量Δy可用下式近似計(jì)算，即 Δy≈f′（x0）·Δx 我們把f′（x0）·Δx稱為函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0處的微分。 定義如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處存在導(dǎo)數(shù)f′（x0），那么f′（x0）·Δx就叫作函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的微分，記作dyx=x0，即 dy =f′（x0）·Δx 二.微分的幾何意義 如圖所示，設(shè)曲線y=f（x）上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，f（x0）），過P點(diǎn)作割線PQ交曲線于點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（x0+Δx，f（x0+Δx）），則dx=Δx=PR，Δy=RQ 三.微分的運(yùn)算 從函數(shù)微分的表達(dá)式 dy=f′（x）dx 可以直接推出微分的基本公式和運(yùn)算法則。 1. 微分的基本公式 （1） d（C）=0（C為常數(shù)）； （2） d（xα）=αxα-1dx； （3） d（ax）=axlnadx（a＞0，a≠1）； （4） d（ex）=exdx； （5） d（logax）=(1/xlna)dx（a＞0，a≠1）； 2. 函數(shù)和.差.積.商的微分法則 由函數(shù)的和.差.積.商的求導(dǎo)法則，可以求得函數(shù)和.差.積.商的微分法則： （1） d（u±v）=du±dv； （2） d（uv）=vdu+udv； （3） d（Cu）=Cdu（C為常數(shù)）； （4） duv=(vdu-udv)/v2（v≠0） 3. 復(fù)合函數(shù)的微分法則 若函數(shù)y=f（u）及u=φ（x）都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f［φ（x）］的微分為 dy=y′xdx=f′（u）φ′（x）dx， 由于φ′（x）dx=du，故上式為 dy=f′（u）du 所以復(fù)合函數(shù)的微分法則為 dy=f′（u）du 將這個(gè)公式與x為自變量的微分公式dy=f′（x）dx相比較，可以發(fā)現(xiàn)它們的形式完全相同，這表明無論u是自變量還是中間變量（即自變量的函數(shù)），函數(shù)y=f（u）的微分形式dy=f′（u）du都保持不變，微分的這種性質(zhì)叫作一階微分形式的不變性。 四.微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 函數(shù)y=f（x）在x=x0處的增量Δy，當(dāng)|Δx|很小時(shí)，可用微分dy來代替，即 Δy≈dy=f′（x0）Δx， 于是 Δy=f（x0+Δx）-f（x0）≈f′（x0）Δx， 或 f（x0+Δx）≈f（x0）+f′（x0）Δx 在上式中，令x0=0，Δx=x，得 f（x）≈f（0）+f′（0）x 六．課后習(xí)題 完成每章后面的復(fù)習(xí)題。 第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 一.教學(xué)目標(biāo) 1.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)及曲線的某些性態(tài)，并解決一些實(shí)際問題。 2.在微分中值定理的基礎(chǔ)上，利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的某些性態(tài)。 二.課時(shí)分配 本項(xiàng)目共7個(gè)小節(jié)，安排14課時(shí)。 三.教學(xué)重點(diǎn) 學(xué)習(xí)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)及曲線的某些性態(tài)，并解決一些實(shí)際問題；在微分中值定理的基礎(chǔ)上，利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的某些性態(tài)。 四.教學(xué)難點(diǎn) 在微分中值定理的基礎(chǔ)上，利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的某些性態(tài)。 五.教學(xué)內(nèi)容 第一節(jié) 微分中值定理 一.羅爾定理 羅爾定理如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即f（a）=f（b），那么在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ（a＜ξ＜b），使得函數(shù)f（x）在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，即f′（ξ）=0. 二.拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，那么在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ（a＜ξ＜b），使等式 f（b）-f（a）=f′（ξ）/（b-a）成立。 f（b）-f（a）/b-a=f′（ξ）， 由圖可看出，f（b）-f（a）b-a為弦AB的斜率，而f′（ξ）為曲線在點(diǎn)C處的切線的斜率.因此拉格朗日中值定理的幾何意義是：如果連續(xù)曲線y=f（x）的弧AB上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于x軸的切線，那么這弧上至少有一點(diǎn)C，使曲線在C點(diǎn)處的切線平行于弦AB. 第二節(jié) 洛必達(dá)法則 一.00型未定式 定理1：（洛必達(dá)法則）如果函數(shù)f（x），g（x）滿足條件： （1） limf（x）=0，limx→x0g（x）=0； （2） f（x）和g（x）在點(diǎn)x0的某空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g′（x）≠0； （3） limf′（x）g′（x）存在（或?yàn)闊o窮大）； 那么 limf（x）/g（x）=limf′（x）/g′（x）。 這個(gè)法則告訴我們，當(dāng)x→x0時(shí)，如果f（x）/g（x）為0/0型未定式，那么在上述條件下，要計(jì)算極限limf（x）/g（x），可化為計(jì)算極限limf′（x）/g′（x）。 如果f′（x）/g′（x）當(dāng)x→x0時(shí)，仍屬0/0型，且f′（x）和g′（x）仍滿足洛必達(dá)法則條件，則可連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則進(jìn)行計(jì)算，即 limf（x）/g（x）=limf′（x）/g′（x）=limf″（x）/g″（x）。 二.∞∞型未定式 對(duì)于x→x0時(shí)的∞∞型未定式，也有相應(yīng)的洛必達(dá)法則. 定理2:如果f（x），g（x）滿足條件： （1） limf（x）=∞，limg（x）=∞； （2） f（x）和g（x）在點(diǎn)x0的某空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g′（x）≠0； （3） limf′（x）/g′（x）存在（或無窮大）； 那么 limf（x）/g（x）=limf′（x）/g′（x） 對(duì)于x→∞時(shí)的∞∞型未定式，上述法則也同樣適用. 第三節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性 如圖所示，如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上單調(diào)增加，那么它的圖象是一條沿x軸正向上升的曲線，這時(shí)，曲線上各點(diǎn)切線的傾斜角都是銳角，它們的切線斜率f′（x）都是正的，即f′（x）＞0.同樣地，如圖所示，如果函數(shù)y=f（x）在［a，b］上單調(diào)減少，那么它的圖象是一條沿x軸正向下降的曲線，這時(shí)曲線上各點(diǎn)切線的傾斜角都是鈍角，它們的斜率f′（x）都是負(fù)的，即f′（x）＜0。 定理設(shè)函數(shù)y=f（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)： （1） 如果在（a，b）內(nèi)f′（x）＞0，那么函數(shù)y=f（x）在［a，b］上單調(diào)增加； （2） 如果在（a，b）內(nèi)f′（x）＜0，那么函數(shù)y=f（x）在［a，b］上單調(diào)減少。 第四節(jié) 函數(shù)的極值 一.函數(shù)極值的定義 在圖中我們可以看出，函數(shù)y=f（x）在c1，c4的函數(shù)值f（c1），f（c4）比它們兩旁各點(diǎn)的函數(shù)值都大，而在點(diǎn)c2，c5的函數(shù)值f（c2），f（c5）比它們兩旁各點(diǎn)的函數(shù)值都小.對(duì)于這種性質(zhì)的點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，我們給出如下的定義。 定義設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有定義，x0∈（a，b）.若對(duì)于點(diǎn)x0近旁的任意點(diǎn)x（x≠x0），均有f（x）＜f（x0）成立，則稱f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值，點(diǎn)x0稱為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；若對(duì)于點(diǎn)x0近旁的任意點(diǎn)x（x≠x0），均有f（x）＞f（x0）成立，則稱f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值，點(diǎn)x0稱為f（x）的極小值點(diǎn)。 二.函數(shù)極值的判定和求法 定理1：設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且在點(diǎn)x0處取得極值，則必有f′（x0）=0。 使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)（即方程f′（x）=0的實(shí)根）叫作函數(shù)f（x）的駐點(diǎn)（又叫穩(wěn)定點(diǎn)）。 定理2：（第一種充分條件）設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)。 （1）如果當(dāng)x取x0左側(cè)鄰域的值時(shí)，恒有f′（x）＞0，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰域的值時(shí)，恒有f′（x）＜0，那么函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處取得極大值f（x0）； （2）如果當(dāng)x取x0左側(cè)鄰域的值時(shí)，恒有f′（x）＜0，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰域的值時(shí)，恒有f′（x）＞0，那么函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處取得極小值f（x0）； （3）如果在x0的兩側(cè)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)相同，那么函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處沒有極值。 當(dāng)函數(shù)f（x）在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)存在且不為零時(shí)，也可以利用下列定理來判定f（x）在駐點(diǎn)處取得極大值還是極小值。 定理3：（第二種充分條件）設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f′（x0）=0，f″（x0）≠0，那么 （1） f″（x0）＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在x0處取得極大值； （2） f″（x0）＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在x0處取得極小值。 根據(jù)上面三個(gè)定理，如果函數(shù)f（x）在所討論的區(qū)間內(nèi)各點(diǎn)處都具有導(dǎo)數(shù)，我們就以下列步驟來求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)和極值： （1） 求出函數(shù)f（x）的定義域； （2） 求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）； （3） 求出f（x）的全部駐點(diǎn)（即求出方程f′（x）=0在所討論的區(qū)間內(nèi)的全部實(shí)根）或一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)； （4） 用以上所求得的點(diǎn)把函數(shù)的定義域劃分為若干個(gè)部分區(qū)間，考察每個(gè)部分區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號(hào)，以確定這些點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，如果是極值點(diǎn)，還要按定理2確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值； （5） 求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值，就得到了函數(shù)f（x）的全部極值。 第五節(jié) 函數(shù)的最值 一.函數(shù)的最大值和最小值的求法 我們知道，閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)f（x）一定有最大值和最小值存在.顯然，這個(gè)最大值和最小值只能在區(qū)間（a，b）內(nèi)的極值點(diǎn)或者區(qū)間的端點(diǎn)處取得.因此，求閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值時(shí)，只要把可能取得極值的點(diǎn)（駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn)）與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值比較大小，最大的就是f（x）在［a，b］上的最大值，最小的就是f（x）在［a，b］上的最小值。 二.最大值和最小值的應(yīng)用問題 在實(shí)際問題中，常要遇到在一定條件下，怎樣使產(chǎn)量最多.用料最省.成本最低等問題，這類問題?？蓺w結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題。 第六節(jié) 曲線的凹凸性與拐點(diǎn) 一.曲線的凹凸性及其判別法 定義1：若在開區(qū)間（a，b）內(nèi)，曲線y=f（x）的各點(diǎn)處切線都位于曲線的下方，則稱此曲線在（a，b）內(nèi)是凹的；若曲線y=f（x）的各點(diǎn)處切線都位于曲線的上方，則稱此曲線在（a，b）內(nèi)是凸的。 如圖所示，曲線y=f（x）在區(qū)間（a，c）內(nèi)是凸的，在區(qū)間（c，b）內(nèi)是凹的.再觀察曲線段上各點(diǎn)處的斜率的變化我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，曲線y=f（x）在區(qū)間（a，c）內(nèi)從左至右切線的斜率是遞減的；在區(qū)間（c，b）內(nèi)從左至右切線的斜率是遞增的.聯(lián)系函數(shù)增減性的判別方法，我們便有如下的曲線凹凸性的判別定理。 定理設(shè)函數(shù)y=f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，則 （1）若果在區(qū)間（a，b）內(nèi)f″（x）＞0，則曲線y=f（x）在（a，b）內(nèi)是凹的； （2）若在區(qū)間（a，b）內(nèi)f″（x）＜0，則曲線y=f（x）在（a，b）內(nèi)是凸的。 二.曲線的拐點(diǎn) 定義2：若連續(xù)曲線y=f（x）上的一點(diǎn)是凹的曲線弧與凸的曲線弧的分界點(diǎn)，則稱該點(diǎn)是曲線y=f（x）的拐點(diǎn)。 因?yàn)楣拯c(diǎn)是曲線凹凸的分界點(diǎn)，所以拐點(diǎn)左右兩側(cè)近旁f″（x）的符號(hào)必然異號(hào).因此曲線y=f（x）拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0只可能是使f″（x）=0或f″（x）不存在的點(diǎn).下面我們介紹判定曲線的拐點(diǎn)的步驟。 （1）確定函數(shù)y=f（x）的定義域； （2）求出二階導(dǎo)數(shù)f″（x），令f″（x）=0，求出定義域內(nèi)的所有實(shí)根，指出f″（x）不存在的點(diǎn)，用這些點(diǎn)來劃分定義域； （3）列表討論f（x）在各個(gè)區(qū)間f″（x）的符號(hào)和f（x）的凹凸性； （4）確定y=f（x）的拐點(diǎn)。 第七節(jié) 圖象的描繪 一.漸近線 定義若曲線y=f（x）的定義域是無限區(qū)間，且有l(wèi)imf（x）=b或limf（x）=b，則直線y=b為曲線y=f（x）的水平漸近線；若曲線y=f（x）有l(wèi)imf（x）=∞，或limf（x）=∞，則直線x=x0是曲線y=f（x）的垂直漸近線。 二.圖象的描繪 （1） 確定函數(shù)的定義域，并討論函數(shù)的有界性.周期性.奇偶性等； （2） 求f′（x），f″（x），解出f′（x）=0及f″（x）=0在定義域內(nèi)的全部實(shí)根及一階.二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)； （3） 列表討論f′（x），f″（x）的符號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性.凹凸性.極值和拐點(diǎn)； （4） 計(jì)算一些必要的輔助點(diǎn)； （5） 討論曲線的漸近線； （6） 描出函數(shù)圖象。 六．課后習(xí)題 完成每章后面的復(fù)習(xí)題。