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實(shí)驗(yàn)三 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 04013222 張嘉俊 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康? （1）掌握雙線形變換法及脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的具體設(shè)計(jì)方法及其原理，熟悉用雙線形變換法及脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)低通，高通和帶通IIR數(shù)字濾波器的計(jì)算機(jī)編程。 （2）觀察雙線形變換法及脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的濾波器的頻域特性，了解雙線形變換法及脈沖響應(yīng)不變法的特點(diǎn)。 （3）熟悉巴特沃思濾波器，切比雪夫?yàn)V波器和橢圓濾波器的頻率特性。 （3）實(shí)驗(yàn)中有關(guān)變量的定義 （4）設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器一般包括以下兩步 a. 按照任務(wù)要求，確定濾波器性能指標(biāo) b. 用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求 （5）數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn) 對于IIR濾波器，其逼近問題就是尋找濾波器的各項(xiàng)系數(shù)，使其系統(tǒng)函數(shù)逼近一個(gè)所要求的特性。先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器，然后變換成滿足約定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。 用雙線形變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的過程： a. 將設(shè)計(jì)性能指標(biāo)中的關(guān)鍵頻率點(diǎn)進(jìn)行“預(yù)畸” b. 利用“預(yù)畸”得到的頻率點(diǎn)設(shè)計(jì)一個(gè)模擬濾波器。 c. 雙線形變換，確定系統(tǒng)函數(shù) 二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 （1）fc=0.3kHz，δ=0.8dB，fr=0.2kHz，At=20dB，T=1ms；設(shè)計(jì)一切比雪夫高通濾波器，觀察其通帶損耗和阻帶衰減是否滿足要求。 源程序： clc,clear; wc=2000*tan(2*pi*300*0.001/2); wr=2000*tan(2*pi*200*0.001/2); [N,wn]=cheb1ord(wc,wr,0.8,20,s); [B,A]=cheby1(N,0.8,wn,high,s); [num,den]=bilinear(B,A,1000); [h,w]=freqz(num,den); f=w/(2*pi)*1000; plot(f,20*log10(abs(h))); axis([0,500,-80,10]); grid; xlabel(Frequency/Hz);ylabel(Amplitude/dB); title(Chebyshev High-pass Filter); 實(shí)驗(yàn)結(jié)果： 分析與結(jié)論： 觀察圖形可知，δ趨近于0；f=200Hz時(shí)，幅度約為-30dB，滿足At=20dB的要求，故其通帶損耗和阻帶衰減滿足要求。 （2）fc=0.2kHz，δ=1dB，fr=0.3kHz，At=25dB，T=1ms；分別用脈沖響應(yīng)不變法及雙線形變換法設(shè)計(jì)一巴特沃思數(shù)字低通濾波器，觀察所設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的幅頻特性曲線，記錄帶寬和衰減量，檢查是否滿足要求。比較這兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。 clc,clear; wc=2*pi*200; wr=2*pi*300; wc2=2*1000*tan((2*pi)*200*0.001/2); wr2=2*1000*tan((2*pi)*300*0.001/2); %脈沖響應(yīng)不變法 [N1,wn]=buttord(wc,wr,1,25,s); [B1,A1]=butter(N1,wn,s); [num1,den1]=impinvar(B1,A1,1000); [h1,w1]=freqz(num1,den1); %雙線性變換法 [N2,wn2]=buttord(wc2,wr2,1,25,s); [B2,A2]=butter(N2,wn2,s); [num2,den2]=bilinear(B2,A2,1000); [h2,w2]=freqz(num2,den2); f1=w1/pi*500; f2=w2/pi*500; plot(f1,20*log10(abs(h1)),-,f2,20*log10(abs(h2)),--); legend(脈沖響應(yīng)不變法,雙線性變換法); axis([0,500,-80,10]);grid;xlabel(Frequency/Hz);ylabel(Amplitude/dB); title(Butterworth Low-pass Filter); 分析與結(jié)論： 通帶邊界和阻帶邊界分別為200Hz,300Hz,最小阻帶衰減量滿足25dB。 脈沖響應(yīng)不變法 優(yōu)點(diǎn)：模擬頻率到數(shù)字頻率的轉(zhuǎn)換是線性的，ω＝ΩΤ，時(shí)域特性逼近。 缺點(diǎn)：有頻譜周期延拓效應(yīng)，會(huì)產(chǎn)生頻譜混疊現(xiàn)象，因此只適合帶限濾波器 雙線性變換法 優(yōu)點(diǎn)：通過嚴(yán)重非線性關(guān)系將S平面與Z平面一一對應(yīng)，不存在頻譜混迭效應(yīng)。 缺點(diǎn)：時(shí)域到頻域是非線性變換，數(shù)字濾波器的響應(yīng)有畸變，在高頻處有較大失真。 （3）利用雙線性變換法分別設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的巴特沃思濾波器，切比雪夫?yàn)V波器和橢圓濾波器，并作圖驗(yàn)證設(shè)計(jì)結(jié)果：fc=1.2kHz，δ<=0.5dB，fr=2kHz，At>=40dB，fs=8kHz。比較這三種濾波器的階數(shù)。 源程序： clc,clear; wr=2*8000*tan(2*pi*2000/(2*8000)); wc=2*8000*tan(2*pi*1200/(2*8000)); %巴特沃思型 [N1 wn1]=buttord(wc,wr,0.5,40,s); [B1 A1]=butter(N1,wn1,low,s); [num1 den1]=bilinear(B1,A1,8000); [h1 w]=freqz(num1,den1); %切比雪夫型 [N2 wn2]=cheb1ord(wc,wr,0.5,40,s); [B2 A2]=cheby1(N2,0.5,wn2,low,s); [num2 den2]=bilinear(B2,A2,8000); [h2 w]=freqz(num2,den2); [N3 wn3]=ellipord(wc,wr,0.5,40,s); %橢圓型 [B3 A3]=ellip(N3,0.5,40,wn3,low,s); [num3 den3]=bilinear(B3,A3,8000); [h3 w]=freqz(num3,den3); f=w/(2*pi)*8000; plot(f,20*log10(abs(h1)),-,f,20*log10(abs(h2)),-.,f,20*log10(abs(h3)),--); legend(巴特沃思型,切比雪夫型,橢圓型); axis([0 4000 -100 10]);grid; xlabel(Frequency/Hz);ylabel(Amplitude/dB); 實(shí)驗(yàn)結(jié)果： 分析與結(jié)論： 在題設(shè)指標(biāo)下：Butterworth型濾波器需要9階，Chebyshev型需要5階，橢圓型需要4階。 （4）分別用脈沖響應(yīng)不變法及雙線形變換法設(shè)計(jì)一巴特沃思數(shù)字帶通濾波器，已知fs=3kHz，其等效的模擬濾波器指標(biāo)為δ<3kHz，2kHz=5dB，f>=6kHz，At>=20dB，f<=1.5kHz。 源程序： clc,clear; %脈沖響應(yīng)不變法 w1=2*pi*2000; w2=2*pi*3000; wr1=2*pi*1500; wr2=2*pi*6000; [N1 wn1]=buttord([w1 w2],[wr1 wr2],3,20,s); [B A]=butter(N1,wn1,s); [num1 den1]=impinvar(B,A,30000); [h1 w]=freqz(num1,den1); %雙線性變換法 w1=2*30000*tan(2*pi*2000/(2*30000)); w2=2*30000*tan(2*pi*3000/(2*30000)); wr1=2*30000*tan(2*pi*1500/(2*30000)); wr2=2*30000*tan(2*pi*6000/(2*30000)); [N2 wn2]=buttord([w1 w2],[wr1 wr2],3,20,s); [B A]=butter(N2,wn2,s); [num2 den2]=bilinear(B,A,30000); [h2 w]=freqz(num2,den2); f=w/pi*15000; plot(f,20*log10(abs(h1)),-.,f,20*log10(abs(h2)),-); axis([0 15000 -80 10]);grid; xlabel(Frequency/Hz);ylabel(Amplitude/dB); title(Butterworth Bandpass Filter); 實(shí)驗(yàn)結(jié)果： 分析與結(jié)論： 由上圖可以看出，用脈沖響應(yīng)不變法由于濾波器的混疊作用在過渡帶和阻帶都衰減的較雙線性變換法慢。 （5）利用雙線性變換法設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的切比雪夫型數(shù)字帶阻濾波器，并作圖驗(yàn)證設(shè)計(jì)結(jié)果：當(dāng)1kHz<=f<=2kHz時(shí)，At>=18dB；當(dāng)f<=500Hz以及f>=3kHz 時(shí)，δ<=3dB ；采樣頻率fs=10kHz。 源程序： clc,clear; w1=2*10000*tan(2*pi*1000/(2*10000)); w2=2*10000*tan(2*pi*2000/(2*10000)); w3=2*10000*tan(2*pi*500/(2*10000)); w4=2*10000*tan(2*pi*3000/(2*10000)); [N wn]=cheb1ord([w3 w4],[w1 w2],3,18,s); [B A]=cheby1(N,3,wn,stop,s); [num den]=bilinear(B,A,10000); [h w]=freqz(num,den); f=w/pi*5000; plot(f,20*log10(abs(h))); axis([0 5000 -120 5]);grid; xlabel(Frequency/Hz);ylabel(Amplitude/dB); title(Chebyshev Bandstop Filter); 實(shí)驗(yàn)結(jié)果： 三、思考題 （1）雙線性變換法中模擬頻率和數(shù)字頻率的關(guān)系是非線性的，在實(shí)驗(yàn)中你注意到這種非線性關(guān)系了嗎？從哪幾種數(shù)字濾波器的幅頻特性曲線中可以觀察到這種非線性關(guān)系？ 答：從設(shè)計(jì)出的巴特沃斯低通及帶通數(shù)字濾波器可以看出，由于雙線性變換法把模擬頻率的無窮大映射到數(shù)字頻率的pi處，使得用雙線性變換法設(shè)計(jì)的濾波器在高頻部分衰減的更快。 （2）能否利用公式完成脈沖響應(yīng)不變法的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)？為什么？ 答：不能，H(s)未知，而Ha(s)已知。應(yīng)該由得到完成脈沖響應(yīng)不變法。