《專(zhuān)題13 圓錐曲線的定義、性質(zhì)、方程(教師版)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)題,高中數(shù)學(xué)課件,數(shù)學(xué)課件,數(shù)學(xué),課》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《專(zhuān)題13 圓錐曲線的定義、性質(zhì)、方程(教師版)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)題,高中數(shù)學(xué)課件,數(shù)學(xué)課件,數(shù)學(xué),課（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專(zhuān)題13 圓錐曲線的定義、性質(zhì)和方程 ★★★高考在考什么 【考題回放】 1．已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長(zhǎng)是(C ) （A）2 （B）6 （C）4 （D）12 2．已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，則雙曲線的離心率為(A) （A） (B) (C) (D) 3．如果雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，一條漸近線方程為，那么它的兩條準(zhǔn)線間的距離是（ C ） A． 　　

2、B．　　　　　 C． 　　 D． 4．拋物線y=4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是( B) ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 0 5．已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（－2，0），且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ． 6．如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點(diǎn)。P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于x軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)。已知四邊形OFPM為平行四邊形，|PF|=l|OF|。 （Ⅰ）寫(xiě)出雙曲線C的離心率e與l的關(guān)系式； O F x y

3、 P M H （Ⅱ）當(dāng)l=1時(shí)，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點(diǎn)，若|AB|=12，求此時(shí)的雙曲線方程。 【專(zhuān)家解答】 ∵四邊形是?，∴， 作雙曲線的右準(zhǔn)線交PM于H，則， 又， 。 （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，，雙曲線為四邊形是菱形，所以直線OP的斜率為，則直線AB的方程為，代入到雙曲線方程得：， 又，由得：，解得，則，所以為所求。 ★★★高考要考什么 【考點(diǎn)透視】 橢圓、雙曲線、拋物線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，橢圓的參數(shù)方程。 【熱點(diǎn)透析】 主要題型： （1）定義及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的靈活運(yùn)用； （2）求曲線方程（含指定圓錐曲線方程及軌跡方程）。

4、 題型一般為二小一大，小題基礎(chǔ)靈活，解答題一般在中等難度以上，一般具有較高的區(qū)分度。 ★★★突破重難點(diǎn) 【范例1】過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F，傾斜角為60°的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若|FA|=2|FB|，則橢圓的離心率為( B ) (A) (B) (C) (D) 解：設(shè)點(diǎn)A、B到橢圓左準(zhǔn)線的距離分別為d1，d2，｜FA｜=r1，｜FB｜=r2， 則=e，即d1=，同理d2=，兩式相減得. 因?yàn)橹本€AB的傾斜角為60°， \ 2|d1-d2|=|AB|=3r2，e= 【點(diǎn)晴】本題的關(guān)鍵在于利用橢圓的第二定義將60°傾斜角、|FA|=2|FB|這兩個(gè)條

5、件與橢圓的離心率建立聯(lián)系。 【文】若F1、F2為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的左支上，點(diǎn)M在雙曲線的右準(zhǔn)線上，且滿足： ， 則該雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D．3 解：由知四邊形F1OMP是平行四邊形，又 知OP平分∠F1OM，即F1OMP是菱形，設(shè)|OF1|=c，則|PF1|=c. 又|PF2|-|PF1|=2a， ∴|PF2|=2a+c， 由雙曲線的第二定義知,且e>1，∴e=2，故選C. 【范例2】定長(zhǎng)為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在y=x2上移動(dòng)，AB中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到x軸的最短距離。 分析：（1）可直接利用

6、拋物線設(shè)點(diǎn)，如設(shè)A(x1，x12)，B(x2，x22)，又設(shè)AB中點(diǎn)為M(x0,y0)用弦長(zhǎng)公式及中點(diǎn)公式得出y0關(guān)于x0的函數(shù)表達(dá)式，用函數(shù)思想求出最短距離。 （2）M到x軸的距離是一種“點(diǎn)線距離”，可先考慮M到準(zhǔn)線的距離，想到用定義。 ① ② ③ 解法一：設(shè)A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中點(diǎn)M(x0，y0) 則 由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9， 即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④ 由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入④得[(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0

7、)2]=9 ∴， ≥ 當(dāng)4x02+1=3 即 時(shí)，此時(shí) 法2：如圖 ∴， 即， ∴， 當(dāng)AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)取得最小值。 ∴M到x軸的最短距離為 【點(diǎn)晴】解法一是列出方程組，利用整體消元思想消x1，x2，從而形成y0關(guān)于x0的函數(shù)，這是一種“設(shè)而不求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點(diǎn)M到x軸的距離轉(zhuǎn)化為它到準(zhǔn)線的距離，再利用梯形的中位線，轉(zhuǎn)化為A、B到準(zhǔn)線的距離和，結(jié)合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊（當(dāng)三角形“壓扁”時(shí)，兩邊之和等于第三邊）的屬性，簡(jiǎn)捷地求解出結(jié)果的，但此解法中有缺點(diǎn)，即沒(méi)有驗(yàn)證AB是否能經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F，而且點(diǎn)M的坐標(biāo)也不能直接得出。請(qǐng)思考：當(dāng)

8、|AB|在什么范圍內(nèi)取值時(shí)不能用解法二？ 【文】（北京卷）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF1⊥PF2，| PF1|=，| PF2|=. （I）求橢圓C的方程； （II）若直線l過(guò)圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，求直線l的方程。 解法一：(Ⅰ)因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以，a=3. 在Rt△PF1F2中，故橢圓的半焦距c=, 從而b2=a2－c2=4, 所以橢圓C的方程為＝1. (Ⅱ)設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）、（x2,y2）. 由圓的方程為（x+2）2+(y－1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（－2，1）.

9、 從而可設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)+1, 代入橢圓C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0. 因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng). 所以 解得， 所以直線l的方程為 即8x-9y+25=0. (經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意) 解法二：(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圓的方程為（x+2）2+(y－1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（－2，1）. 設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意x1x2且 ① ② 由①－②得 ③ 因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，所以x

10、1+ x2=－4, y1+ y2=2, 代入③得＝，即直線l的斜率為， 所以直線l的方程為y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0. (經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意.) 圖1 【范例3】如圖1，已知A、B、C是長(zhǎng)軸為4的橢圓上三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)，BC過(guò)橢圓中心O，且，。 （1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓方程； （2）如果橢圓上兩點(diǎn)P、Q使直線CP、CQ與x軸圍 成底邊在x軸上的等腰三角形，是否總存在實(shí)數(shù)l 使？請(qǐng)給出證明。 解：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立如 圖直角坐標(biāo)系，則A（2，0），橢圓方程可設(shè)為 。 而O為橢圓中心，由對(duì)稱(chēng)性知|OC|=|

11、OB| 又，所以AC⊥BC 又，所以|OC|＝|AC|， 所以△AOC為等腰直角三角形，所以點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，1）。將（1，1）代入橢圓方程得，則橢圓方程為。 （2）由直線CP、CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，設(shè)直線CP的斜率為k，則直線CQ的斜率為－k，直線CP的方程為y=k(x-1)，直線CQ的方程為y=-k(x-1)。由橢圓方程與直線CP的方程聯(lián)立，消去y得 (1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0① 因?yàn)镃（1，1）在橢圓上，所以x＝1是方程①的一個(gè)根，于是 同理 這樣，， 又B（－1，－1），所以， 即kAB=kPQ。所以PQ∥AB，存

12、在實(shí)數(shù)l使。 【點(diǎn)晴】利用斜率互為相反數(shù)關(guān)系，整體替換，可簡(jiǎn)化解題過(guò)程。 【文】（06上海春）學(xué)校科技小組在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn). 設(shè)計(jì)方案如圖：航天器運(yùn)行（按順時(shí)針?lè)较颍┑能壽E方程為，變軌（即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以軸為對(duì)稱(chēng)軸、 為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分，降落點(diǎn)為. 觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)跟蹤航天器. （1）求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程； （2）試問(wèn)：當(dāng)航天器在軸上方時(shí)，觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得離航天器的距離分別為多少時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？ 解：（1）設(shè)曲線方程為， 由題意可知，. . 曲線方程為. （2）設(shè)變軌點(diǎn)為，根據(jù)題意可知

13、 得 ， 或（不合題意，舍去）. . 得 或（不合題意，舍去）. 點(diǎn)的坐標(biāo)為，. 答：當(dāng)觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得距離分別為時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出指令. 【范例4】過(guò)拋物線x2=4y上不同兩點(diǎn)A、B分別作拋物線的切線相交于P點(diǎn)， （1）求點(diǎn)P的軌跡方程； （2）已知點(diǎn)F（0，1），是否存在實(shí)數(shù)l使得？若存在，求出l的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 解法（一）：（1）設(shè) 由得： 直線PA的方程是即 ① 同理，直線PB的方程是： ② 由①②得： ∴點(diǎn)P的軌跡方程是 （2）由（1）得： ， ，所以 故

14、存在l=1使得 解法（二）：（1）∵直線PA、PB與拋物線相切，且 ∴直線PA、PB的斜率均存在且不為0，且 設(shè)PA的直線方程是 由得： 即 即直線PA的方程是： 同理可得直線PB的方程是： 由得： 故點(diǎn)P的軌跡方程是 （2）由（1）得： ， 故存在l=1使得 【點(diǎn)晴】拋物線的切線方程成了近幾年高考試題中的一個(gè)考查亮點(diǎn)。解法一、解法二是解決拋物線切線問(wèn)題的常用方法，應(yīng)熟練掌握。 【文】已知△ABC的兩頂點(diǎn)A、B分別是雙曲線2x2-2y2=1的左、右焦點(diǎn), 且sinC是sinA、sinB的等差中項(xiàng). （Ⅰ）求頂點(diǎn)C的軌跡T的方程； （Ⅱ）設(shè)P

15、(-2,0), 過(guò)點(diǎn)作直線l交軌跡T于M、N兩點(diǎn)，問(wèn)∠MPN的大小是否為定值？證明你的結(jié)論. 解：(Ⅰ) 由條件知A (-1 , 0 ) , B (1 , 0 )，且sinA + sinB = 2sinC ∴|BC| + |AC| = 2|AB| = 4 ∴點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a = 4的橢圓（不包括x軸上兩點(diǎn)）. ∴點(diǎn)C的軌跡T的方程是=1 (x≠±2) (Ⅱ) 當(dāng)l⊥x軸時(shí)，直線l的方程為x =，代入=1解得M、N的坐標(biāo)為（），而|PE| =，∴∠MPN = 90°， 猜測(cè)∠MPN= 90°為定值. x = my 3x2 + 4y2 = 12

16、 證明：設(shè)直線l的方程為my = x +， 由 ，得 (3m2 + 4) y2 my= 0 ∴y1 + y2 =，y1 y2 = ∴= (x1 + 2 , y1)·(x2 +2 , y2 ) = (x1 + 2 ) (x2 +2) + y1 y2 = (my1 +) (my2 +) + y1 y2 = (m2 +1) y1 y2 +m (y1 + y2) + =(m2 +1)+m+= 0 ∴∠MPN = 90°，為定值. ★★★自我提升 1. 若橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為F1（1，0），F(xiàn)2（３，0），則其離心率為（ C ） A. B. C.

17、 D. 2. 雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，離心率，F(xiàn)1、F2分別是它的左，右焦點(diǎn)，若過(guò)F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|是|AF2|與|BF2|的等差中項(xiàng)，則|AB|為（A）. A、 B、 C、 D、8 3. F1、F2為橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，Q為橢圓上任一點(diǎn)，以任一焦點(diǎn)作∠F1QF2的外角平分線的垂線，垂足為P，則P點(diǎn)軌跡為（A）. A、圓 B、橢圓 C、雙曲線 D、拋物線 4．雙曲線的左支上一點(diǎn)P，⊙O'為ΔPF1F2的內(nèi)切圓，則圓心O'的橫坐標(biāo)為（B）. A、a B、-a C、 D、 5. 已

18、知點(diǎn)F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0), 又P(x,y)是曲線上的點(diǎn), 則 (C) A. |PF1|+|PF2|=10 B. |PF1|+|PF2|<10 C. |PF1|+|PF2|￡10 D. |PF1|+|PF2|310 6. F1、F2是橢圓（a>b>0）的兩焦點(diǎn)，過(guò)F1的弦AB與F2組成等腰直角三角形ABF2，其中∠BAF2=900，則橢圓的離心率是________ 7．已知橢圓E的離心率為e，左、右焦點(diǎn)為F1、F2，拋物線C以F2為焦點(diǎn)，F(xiàn)1為其頂點(diǎn)，若P為兩曲線的公共點(diǎn)，且e|PF2|=|PF1|，則e＝__________。 8．已知⊙O：x2+y2=4，一動(dòng)拋物線

19、過(guò)A（－1，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，且以圓的切線為準(zhǔn)線，則動(dòng)拋物線的焦點(diǎn)F的軌跡方程為_(kāi)___ 9．如圖，已知三點(diǎn)A(－7, 0)，B(7,0)，C(2,－12). ① 若橢圓過(guò)A、B兩點(diǎn)，且C為其一焦點(diǎn)， 求另一焦點(diǎn)P的軌跡方程； ② 若雙曲線的兩支分別過(guò)A、B兩點(diǎn)，且C為其一 焦點(diǎn)，求另一焦點(diǎn)Q的軌跡方程。 解析：①由橢圓定義知，|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|， 即 故P的軌跡為A（－7，0）、B（7，0）為焦點(diǎn)實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的一支， 其方程為； ② 經(jīng)討論知，無(wú)論A在雙曲線的哪一支上, 總有|QA|＋|QB|＝|AC|＋|BC|＝28＞|AB|＝14

20、 故點(diǎn)Q的軌跡為以A（－7，0）、B（7，0）為焦點(diǎn)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為28的橢圓， 其方程為。 10．已知橢圓過(guò)其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及準(zhǔn)線從左到右依次變于A、B、C、D，設(shè)f(m)=||AB|-|CD||,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。 解：（1）橢圓中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦點(diǎn)F1(-1,0) 則BC:y=x+1,代入橢圓方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 ∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0 設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則x1+x2=- （2） ∴當(dāng)m=5時(shí)，

21、 當(dāng)m=2時(shí)， 11．如圖，A為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦AB、AC分別過(guò)焦點(diǎn)F1、F2．當(dāng)AC垂直于x軸 時(shí)，恰好|AF1|:|AF2=3:1 （I）求該橢圓的離心率； x y A B C O F1 F2 （II）設(shè)，， 試判斷l(xiāng)1+l2是否為定值？若是，則求出該定 值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：（I）當(dāng)C垂直于x軸時(shí)， ，由， 得， 在Rt△中， 解得 =． （II）由=，則，． 焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓方程為， 化簡(jiǎn)有． 設(shè)，， ①若直線AC的斜率存在，則直線AC方程為 代入橢圓方程有． 由韋達(dá)定理得：，∴ 所以，同理可得 故l1+l2=． ②若直線軸，，， ∴l(xiāng)1+l2＝6． 綜上所述：l1+l2是定值6． 《專(zhuān)題13 圓錐曲線的定義、性質(zhì)和方程》第10頁(yè)（共10頁(yè)）