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數(shù)學(xué)文高考二輪專題復(fù)習(xí)與測試:第二部分 專題五第2講 橢圓、雙曲線、拋物線 Word版含解析

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1、 A級 基礎(chǔ)通關(guān) 一、選擇題 1.(2019·北京卷)已知雙曲線-y2=1(a>0)的離心率是,則a=(  ) A.   B.4   C.2  D. 解析:由雙曲線方程-y2=1,得b2=1, 所以c2=a2+1. 所以5=e2===1+. 結(jié)合a>0,解得a=. 答案:D 2.拋物線y2=2px(p>0)經(jīng)過點M(x0,2),若點M到焦點F的距離|MF|=3,則拋物線的方程為(  ) A.y2=4x B.y2=2x或y2=4x C.y2=8x D.y2=4x或y2=8x 解析:因為點M(x0,2)在y2=2px上, 所以8=2px0,得x0=.

2、又|MF|=3,得+=3,解得p=2或p=4. 所以拋物線方程為y2=4x或y2=8x. 答案:D 3.(2018·全國卷Ⅰ)已知橢圓C:+=1的一個焦點為(2,0),則C的離心率為(  ) A. B. C. D. 解析:不妨設(shè)a>0,由焦點F(2,0),知c=2. 所以a2=4+c2=8,則a=2. 因此離心率e===. 答案:C 4.(2019·長郡中學(xué)模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線與(x-2)2+(y-1)2=1相切,則=(  ) A. B. C. D. 解析:易知雙曲線C的一條漸近線方程為ax

3、-by=0. 又漸近線與圓(x-2)2+(y-1)2=1相切, 所以=1,則(2a-b)2=a2+b2. 所以3a=4b,因此=. 答案:B 5.(2019·全國卷Ⅱ)設(shè)F為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點,O為坐標(biāo)原點,以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點.若|PQ|=|OF|,則C的離心率為(  ) A. B. C.2 D. 解析:設(shè)雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點F的坐標(biāo)為(c,0).由圓的對稱性及條件|PQ|=|OF|可知,PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑,且PQ⊥OF. 設(shè)PQ與OF交于點M,連接OP,如圖所示. 則|O

4、P|=a,|OM|=|MP|=, 由|OM|2+|MP|2=|OP|2,得2·=a2, 故=,離心率e=. 答案:A 二、填空題 6.(2019·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線x2-=1(b>0)經(jīng)過點(3,4),則該雙曲線的漸近線方程是________. 解析:因為雙曲線x2-=1(b>0)經(jīng)過點(3,4),則9-=1(b>0),解得b=,即雙曲線方程為x2-=1, 因此雙曲線的漸近線方程為y=±x. 答案:y=±x 7.(2019·珠海調(diào)研)已知直線l是拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線,半徑為3的圓過拋物線頂點O和焦點F,且與直線l相切,則拋物線的方程為__

5、______. 解析:由已知圓心在OF的中垂線上,故圓心到準(zhǔn)線的距離為p,所以p=3,所以p=4,故拋物線的方程為y2=8x. 答案:y2=8x 8.(2019·全國卷Ⅲ)設(shè)F1,F(xiàn)2為橢圓C:+=1的兩個焦點,M為C上一點且在第一象限.若△MF1F2為等腰三角形,則M的坐標(biāo)為________. 解析:設(shè)F1為橢圓的左焦點,分析可知點M在以F1為圓心,焦距為半徑的圓上,即在圓(x+4)2+y2=64上. 因為點M在橢圓+=1上, 所以聯(lián)立方程可得解得 又因為點M在第一象限,所以點M的坐標(biāo)為(3,). 答案:(3,) 三、解答題 9.(2018·全國卷Ⅱ)設(shè)拋物線C:y2=4

6、x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求過點A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程. 解:(1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0). 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. Δ=16k2+16>0,故x1+x2=. 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=. 由題設(shè)知=8,解得k=-1(舍去),k=1. 因此l的方程為y=x-1. (2)由(1)得AB的中點坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),

7、即y=-x+5. 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0),則 解得或 因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144. 10.(2018·全國卷Ⅲ)已知斜率為k的直線l與橢圓C:+=1交于A,B兩點,線段AB的中點為M(1,m)(m>0). (1)證明:k<-; (2)設(shè)F為C的右焦點,P為C上一點,且++=0.證明:2||=||+||. 證明:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則+=1,+=1. 兩式相減,并由=k得+·k=0. 由題設(shè)知=1,=m,于是k=-. 由題設(shè)得0

8、0).設(shè)P(x3,y3),則 (x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0). 由(1)及題設(shè)得x3=3-(x1+x2)=1, y3=-(y1+y2)=-2m<0. 又點P在C上,所以m=, 從而P(1,-),||=, 于是||===2-. 同理||=2-. 所以||+||=4-(x1+x2)=3. 故2||=||+||. B級 能力提升 11.(2019·全國卷Ⅰ)已知橢圓C的焦點為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為(  ) A.+y2=1 B.+

9、=1 C.+=1 D.+=1 解析:設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0).連接F1A,令|F2B|=m,則|AF2|=2m,|BF1|=3m. 由橢圓的定義知,4m=2a, 得m=,故|F2A|=a=|F1A|,則點A為橢圓C的上頂點或下頂點.如圖. 不妨設(shè)A(0,-b),由F2(1,0),=2,得B. 由點B在橢圓上,得+=1,得a2=3,b2=a2-c2=2,橢圓C的方程為+=1. 答案:B 12.(2019·天津卷)設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點為F,左頂點為A,上頂點為B.已知|OA|=2|OB|(O為原點). (1)求橢圓的離心率; (2)設(shè)經(jīng)過點F

10、且斜率為的直線l與橢圓在x軸上方的交點為P,圓C同時與x軸和直線l相切,圓心C在直線x=4上,且OC∥AP.求橢圓的方程. 解:(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意a=2b. 又a2=b2+c2, 消去b,得a2=+c2,解得=. 所以,橢圓的離心率為. (2)由(1)知,a=2c,b=c,故橢圓方程為+=1. 由題意,F(xiàn)(-c,0),則直線l的方程為y=(x+c). 點P的坐標(biāo)滿足 消去y并化簡,得到7x2+6cx-13c2=0, 解得x1=c,x2=-. 代入到l的方程,解得y1=c,y2=-c. 因為點P在x軸上方,所以P. 由圓心C在直線x=4上,可設(shè)C(4,t). 因為OC∥AP,且由(1)知A(-2c,0), 故=,解得t=2. 因為圓C與x軸相切,所以圓C的半徑為2. 又由圓C與l相切,得=2,可得c=2. 所以,橢圓的方程為+=1.

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