2.2.3 向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義 整體設(shè)計(jì) 教學(xué)分析 向量的數(shù)乘運(yùn)算,其實(shí)是加法運(yùn)算的推廣及簡(jiǎn)化,與加法、減法統(tǒng)稱為向量的三大線性運(yùn)算.教學(xué)時(shí)從加法入手,引入數(shù)乘運(yùn)算,充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系.實(shí)數(shù)與向量的乘積,仍然是一個(gè)向量,既有大小,也有方向.特別是方向與已知向量是共線向量,進(jìn)而引出共線向量定理.共線向量定理是本章節(jié)中重要的內(nèi)容,應(yīng)用相當(dāng)廣泛,且容易出錯(cuò).尤其是定理的前提條件:向量a是非零向量.共線向量定理的應(yīng)用主要用于證明點(diǎn)共線或平行等幾何性質(zhì),且與后續(xù)的知識(shí)有著緊密的聯(lián)系. 三維目標(biāo) 1.通過(guò)經(jīng)歷探究數(shù)乘運(yùn)算法則及幾何意義的過(guò)程,掌握實(shí)數(shù)與向量積的定義,理解實(shí)數(shù)與向量積的幾何意義,掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律. 2.理解兩個(gè)向量共線的等價(jià)條件,能夠運(yùn)用兩向量共線條件判定兩向量是否平行. 3.通過(guò)探究,體會(huì)類比遷移的思想方法,滲透研究新問(wèn)題的思想和方法,培養(yǎng)創(chuàng)新能力和積極進(jìn)取精神.通過(guò)解決具體問(wèn)題,體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的重要作用. 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):1.實(shí)數(shù)與向量積的意義.2.實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算律.3.兩個(gè)向量共線的等價(jià)條件及其運(yùn)用. 教學(xué)難點(diǎn):對(duì)向量共線的等價(jià)條件的理解運(yùn)用. 課時(shí)安排 1課時(shí) 教學(xué)過(guò)程 導(dǎo)入新課 思路1.前面兩節(jié)課,我們一起學(xué)習(xí)了向量加減法運(yùn)算,這一節(jié),我們將在加法運(yùn)算基礎(chǔ)上研究相同向量和的簡(jiǎn)便計(jì)算及推廣.在代數(shù)運(yùn)算中,a+a+a=3a,故實(shí)數(shù)乘法可以看成是相同實(shí)數(shù)加法的簡(jiǎn)便計(jì)算方法,那么相同向量的求和運(yùn)算是否也有類似的簡(jiǎn)便計(jì)算. 思路2.一物體做勻速直線運(yùn)動(dòng),一秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量為a,那么在同一方向上3秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量怎樣表示？是3a嗎？怎樣用圖形表示？由此展開(kāi)新課. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題 ①已知非零向量a,試一試作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a). ②你能對(duì)你的探究結(jié)果作出解釋,并說(shuō)明它們的幾何意義嗎? ③引入向量數(shù)乘運(yùn)算后,你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間的位置關(guān)系嗎?怎樣理解兩向量平行？與兩直線平行有什么異同？ 活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)知識(shí)并猜想結(jié)果,對(duì)于運(yùn)算律的驗(yàn)證,點(diǎn)撥學(xué)生通過(guò)作圖來(lái)進(jìn)行.通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手作圖,讓學(xué)生明確向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律及其幾何意義.教師要引導(dǎo)學(xué)生特別注意0·a=0,而不是0·a=0.這個(gè)零向量是一個(gè)特殊的向量,它似乎很不起眼,但又處處存在,稍不注意就會(huì)出錯(cuò),所以要引導(dǎo)學(xué)生正確理解和處理零向量與非零向量之間的關(guān)系.實(shí)數(shù)與向量可以求積,但是不能進(jìn)行加、減運(yùn)算,比如λ+a,λ-a都無(wú)法進(jìn)行.向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律與實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律很相似,只是數(shù)乘運(yùn)算的分配律有兩種不同的形式:(λ+μ)a=λa+μa和λ(a+b)=λa+λb,數(shù)乘運(yùn)算的關(guān)鍵是等式兩邊向量的模相等,方向相同.判斷兩個(gè)向量是否平行(共線),實(shí)際上就是看能否找出一個(gè)實(shí)數(shù),使得這個(gè)實(shí)數(shù)乘以其中一個(gè)向量等于另一個(gè)向量.一定要切實(shí)理解兩向量共線的條件,它是證明幾何中的三點(diǎn)共線和兩直線平行等問(wèn)題的有效手段. 對(duì)問(wèn)題①,學(xué)生通過(guò)作圖1可發(fā)現(xiàn),=++=a+a+a.類似數(shù)的乘法,可把a(bǔ)+a+a記作3a,即=3a.顯然3a的方向與a的方向相同,3a的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的3倍,即|3a|=3|a|.同樣,由圖1可知, 圖1 ==(-a)+(-a)+(-a), 即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).顯然3(-a)的方向與a的方向相反,3(-a)的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的3倍,這樣,3(-a)=-3a. 對(duì)問(wèn)題②,上述過(guò)程推廣后即為實(shí)數(shù)與向量的積. 我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作λa,它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下: (1)|λa|=|λ||a|; (2)當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與a的方向相反. 由(1)可知,λ=0時(shí),λa=0. 根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義,我們可以驗(yàn)證下面的運(yùn)算律. 實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律 設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù),那么 (1)λ(μa)=(λμ)a; (2)(λ+μ)a=λa+μa; (3)λ(a+b)=λa+λb. 特別地,我們有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb. 對(duì)問(wèn)題③,向量共線的等價(jià)條件是:如果a(a≠0)與b共線,那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b=λa.推證過(guò)程教師可引導(dǎo)學(xué)生自己完成,推證過(guò)程如下:對(duì)于向量a(a≠0)、b,如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b=λa,那么由向量數(shù)乘的定義,知a與b共線.反過(guò)來(lái),已知向量a與b共線,a≠0,且向量b的長(zhǎng)度是向量a的長(zhǎng)度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么當(dāng)a與b同方向時(shí),有b=μa;當(dāng)a與b反方向時(shí),有b=-μa. 關(guān)于向量共線的條件,教師要點(diǎn)撥學(xué)生做進(jìn)一步深層探究,讓學(xué)生思考,若去掉a≠0這一條件,上述條件成立嗎?其目的是通過(guò)0與任意向量的平行來(lái)加深對(duì)向量共線的等價(jià)條件的認(rèn)識(shí).在判斷兩個(gè)非零向量是否共線時(shí),只需看這兩個(gè)向量的方向是否相同或相反即可,與這兩個(gè)向量的長(zhǎng)度無(wú)關(guān).在沒(méi)有指明非零向量的情況下,共線向量可能有以下幾種情況:(1)有一個(gè)為零向量;(2)兩個(gè)都為零向量;(3)同向且模相等;(4)同向且模不等;(5)反向且模相等;(6)反向且模不等. 討論結(jié)果:①數(shù)與向量的積仍是一個(gè)向量,向量的方向由實(shí)數(shù)的正負(fù)及原向量的方向確定,大小由|λ|·|a|確定. ②它的幾何意義是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或縮小. ③向量的平行與直線的平行是不同的,直線的平行是指兩條直線在同一平面內(nèi)沒(méi)有公共點(diǎn);而向量的平行既包含沒(méi)有交點(diǎn)的情況,又包含兩個(gè)向量在同一條直線上的情形. 應(yīng)用示例 思路1 例1 計(jì)算: (1)(-3)×4a; (2)3(a+b)-2(a-b)-a; (3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c). 活動(dòng):本例是數(shù)乘運(yùn)算的簡(jiǎn)單應(yīng)用,可讓學(xué)生自己完成,要求學(xué)生熟練運(yùn)用向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律.教學(xué)中,點(diǎn)撥學(xué)生不能將本題看作字母的代數(shù)運(yùn)算,可以讓他們?cè)诖鷶?shù)運(yùn)算的同時(shí)說(shuō)出其幾何意義,使學(xué)生明確向量數(shù)乘運(yùn)算的特點(diǎn).同時(shí)向?qū)W生點(diǎn)出,向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.對(duì)于任意向量a、b,以及任意實(shí)數(shù)λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b. 解:(1)原式=(-3×4)a=-12a; (2)原式=3a+3b-2a+2b-a=5b; (3)原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c. 點(diǎn)評(píng):運(yùn)用向量運(yùn)算的運(yùn)算律,解決向量的數(shù)乘.其運(yùn)算過(guò)程可以仿照多項(xiàng)式運(yùn)算中的“合并同類項(xiàng)”. 變式訓(xùn)練 若3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,求m,n. 解:因3m+2n=a, ① m-3n=b. ② 3×②得3m-9n=3b. ③ ①-③得11n=a-3b. ∴n=a-b. ④ 將④代入②,有m=b+3n=a+b. 點(diǎn)評(píng):此題可把已知條件看作向量m、n的方程,通過(guò)方程組的求解獲得m、n.在此題求解過(guò)程中,利用了實(shí)數(shù)與向量的積以及它所滿足的交換律、結(jié)合律,從而解向量的二元一次方程組的方法與解實(shí)數(shù)的二元一次方程組的方法一致. 圖2 例2 如圖2,已知任意兩個(gè)非零向量a、b,試作=a+b,=a+2b,=a+3b.你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎?為什么? 活動(dòng):本例給出了利用向量共線判斷三點(diǎn)共線的方法,這是判斷三點(diǎn)共線常用的方法.教學(xué)中可以先引導(dǎo)學(xué)生作圖,通過(guò)觀察圖形得到A,B,C三點(diǎn)共線的猜想,再將平面幾何中判斷三點(diǎn)共線的方法轉(zhuǎn)化為用向量共線證明三點(diǎn)共線.本題只要引導(dǎo)學(xué)生理清思路,具體過(guò)程可由學(xué)生自己完成.另外,本題是一個(gè)很好的與信息技術(shù)整合的題材,教學(xué)中可以通過(guò)計(jì)算機(jī)作圖,進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示,揭示向量a、b變化過(guò)程中,A、B、C三點(diǎn)始終在同一條直線上的規(guī)律. 圖3 解:如圖3分別作向量、過(guò)點(diǎn)A、C作直線AC.觀察發(fā)現(xiàn),不論向量a、b怎樣變化,點(diǎn)B始終在直線上,猜想A、B、C三點(diǎn)共線. 事實(shí)上,因?yàn)?-=a+2b-(a+b)=b, 而=-=a+3b-(a+b)=2b, 于是=2. 所以A、B、C三點(diǎn)共線. 點(diǎn)評(píng):關(guān)于三點(diǎn)共線問(wèn)題,學(xué)生接觸較多,這里是用向量證明三點(diǎn)共線,方法是必須先證明兩個(gè)向量共線,并且有公共點(diǎn).教師引導(dǎo)學(xué)生解完后進(jìn)行反思,體會(huì)向量證法的新穎獨(dú)特. 例3 如圖4, ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M,且=a,=b,你能用a、b表示和嗎? 圖4 活動(dòng):本例的解答要用到平行四邊形的性質(zhì).另外,用向量表示幾何元素(點(diǎn)、線段等)是用向量方法證明幾何問(wèn)題的重要步驟,教學(xué)中可以給學(xué)生明確指出這一點(diǎn). 解:在ABCD中, ∵=+=a+b,=-=a-b, 又∵平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分, ∴==(a+b)=a-b, ==(a-b)=a-b, ==a+b, ==-=-a+b. 點(diǎn)評(píng):結(jié)合向量加法和減法的平行四邊形法則和三角形法則,將兩個(gè)向量的和或差表示出來(lái),這是解決這類幾何題的關(guān)鍵. 思路2 例1 凸四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)分別為E、F,求證:=(+). 活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生探究,能否構(gòu)造三角形,使EF作為三角形中位線,借助于三角形中位線定理解決,或創(chuàng)造相同起點(diǎn),以建立向量間關(guān)系.鼓勵(lì)學(xué)生多角度觀察思考問(wèn)題. 圖5 解:方法一:過(guò)點(diǎn)C在平面內(nèi)作=, 則四邊形ABGC是平行四邊形, 故F為AG中點(diǎn).(如圖5) ∴EF是△ADG的中位線. ∴EFDG. ∴=. 而=+=+, ∴=(+). 方法二:如圖6,連接EB、EC,則有=+,=+, 圖6 又∵E是AD之中點(diǎn), ∴有+=0, 即有+=+. 以與為鄰邊作EBGC,則由F是BC之中點(diǎn),可得F也是EG之中點(diǎn). ∴==(+)=(+). 點(diǎn)評(píng):向量的運(yùn)算主要從以下幾個(gè)方面加強(qiáng)練習(xí):(1)加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的訓(xùn)練,畫(huà)出草圖幫助解決問(wèn)題;(2)加強(qiáng)三角形法則和平行四邊形法則的運(yùn)用練習(xí),做到準(zhǔn)確熟練運(yùn)用. 例2 已知和是不共線向量=t(t∈R),試用、表示. 活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生思考,由=t(t∈R)知A、B、P三點(diǎn)共線,而=+,然后以表示,進(jìn)而建立,的聯(lián)系.本題可讓學(xué)生自己解決,教師適時(shí)點(diǎn)撥. 解:=+=+t·=+t·(-)=(1-t)·+t·. 點(diǎn)評(píng):靈活運(yùn)用向量共線的條件.若令1-t=m,t=n,則=m·+n·,m+n=1. 變式訓(xùn)練 1.設(shè)兩個(gè)不共線的向量e1、e2,若向量a=2e1-3e2,向量b=2e1+3e2,向量c=2e1-9e2,問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ、μ,使向量d=λa+μb與向量c共線？ 解:d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2,要使d與c共線,則存在實(shí)數(shù)k使d=kc, 即(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2=2ke1-9ke2. 由2λ+2μ=2k及3μ-3λ=-9k得λ=-2μ. 故存在這樣的實(shí)數(shù)λ和μ,只要λ=-2μ就能使d與c共線. 2.(2007浙江高考),7 若非零向量a、b滿足|a+b|=|b|,則( ) A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b| C.|2b|>|a+2b| D.|2b|<|a+2b| 答案:C 3.(2007全國(guó)高考),5 在△ABC中,已知D是AB邊上一點(diǎn),若=2,=+λ,則λ等于( ) A. B. C.- D.- 答案:A 知能訓(xùn)練 本節(jié)練習(xí) 解答: 1.圖略. 2.=,=. 點(diǎn)評(píng):本題可先畫(huà)一個(gè)示意圖,根據(jù)圖形容易得出正確答案.值得注意的是與反向. 3.(1)b=2a;(2)b=a;(3)b=-a;(4)b=a. 4.(1)共線;(2)共線. 5.(1)3a-2a;(2)a+a;(3)2ya. 6.圖略. 課堂小結(jié) 1.讓學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí):向量的數(shù)乘運(yùn)算法則,向量的數(shù)乘運(yùn)算律,向量共線的條件,體會(huì)本節(jié)學(xué)習(xí)中用到的思想方法:特殊到一般,歸納、猜想、類比,分類討論,等價(jià)轉(zhuǎn)化. 2.向量及其運(yùn)算與數(shù)及其運(yùn)算可以類比,這種類比是我們提高思想性的有效手段,在今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)予以充分的重視,它是我們學(xué)習(xí)中偉大的引路人. 作業(yè) 課本習(xí)題2.2 A組題11、12. 設(shè)計(jì)感想 1.本教案的設(shè)計(jì)流程符合新課程理念,充分抓住本節(jié)教學(xué)中的學(xué)生探究、猜想、推證等活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出草圖幫助理解題意和解決問(wèn)題.先由學(xué)生探究向量數(shù)乘的結(jié)果還是向量(特別地0·a=0),它的幾何意義是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或縮小,當(dāng)λ>0時(shí),λa與a方向相同,當(dāng)λ<0時(shí),λa與a方向相反;向量共線定理用來(lái)判斷兩個(gè)向量是否共線.然后對(duì)所探究的結(jié)果進(jìn)行運(yùn)用拓展. 2.向量具有的幾何形式和代數(shù)形式的雙重身份在本節(jié)中得以充分體現(xiàn),因而成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)交匯點(diǎn),由此可看出在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的地位的重要,也成為近幾年各地高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn),教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)平面向量中有關(guān)知識(shí)要點(diǎn)進(jìn)行歸納整理.