三角函數(shù)誘導公式及推導.doc
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三角函數(shù)誘導公式:所謂三角函數(shù)誘導公式,就是將角n(π/2)α的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角α的三角函數(shù)。 常用公式:公式一: 設(shè)α為任意角,終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等: sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z) 公式二: 設(shè)α為任意角,π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)= tanα cot(π+α)=cotα 公式三: 任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(-α)=-sinα cos(-α)= cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(π-α)= sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)= cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六: π/2α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(π/2+α)=cosα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2+α)=-cotα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2+α)=-tanα cot(π/2-α)=tanα 推算公式:3π/2 α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin(3π/2+α)=-cosα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2+α)=-cotα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2+α)=-tanα cot(3π/2-α)=tanα 誘導公式記憶口訣:“奇變偶不變,符號看象限”。 “奇、偶”指的是π/2的倍數(shù)的奇偶,“變與不變”指的是三角函數(shù)的名稱的變化:“變”是指正弦變余弦,正切變余切。(反之亦然成立)“符號看象限”的含義是:把角α看做銳角,不考慮α角所在象限,看n(π/2)α是第幾象限角,從而得到等式右邊是正號還是負號。以cos(π/2+α)=-sinα為例,等式左邊cos(π/2+α)中n=1,所以右邊符號為sinα,把α看成銳角,所以π/2<(π/2+α)<π,y=cosx在區(qū)間(π/2,π)上小于零,所以右邊符號為負,所以右邊為-sinα。 符號判斷口訣: 全,S,T,C,正。這五個字口訣的意思就是說:第一象限內(nèi)任何一個角的四種三角函數(shù)值都是“+”;第二象限內(nèi)只有正弦是“+”,其余全部是“-”;第三象限內(nèi)只有正切和余切是“+”,其余全部是“-”;第四象限內(nèi)只有余弦是“+”,其余全部是“-”。 也可以這樣理解:一、二、三、四指的角所在象限。全正、正弦、正切、余弦指的是對應(yīng)象限三角函數(shù)為正值的名稱??谠E中未提及的都是負值。 “ASTC”反Z。意即為“all(全部)”、“sin”、“tan”、“cos”按照將字母Z反過來寫所占的象限對應(yīng)的三角函數(shù)為正值。 另一種口訣:正弦一二切一三,余弦一四緊相連,言之為正。 推導過程: 萬能公式推導 sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/[cos2(α)+sin2(α)], (因為cos2(α)+sin2(α)=1) 再把分式上下同除cos^2(α),可得sin2α=2tanα/[1+tan2(α)] 然后用α/2代替α即可。 同理可推導余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。 三倍角公式推導 tan3α=sin3α/cos3α =(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα) =[2sinαcos2(α)+cos2(α)sinα-sin3(α)]/[cos3(α)-cosαsin2(α)-2sin2(α)cosα] 上下同除以cos3(α),得: tan3α=[3tanα-tan3(α)]/[1-3tan2(α)] sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα =2sinαcos2(α)+[1-2sin2(α)]sinα =2sinα-2sin3(α)+sinα-2sin3(α) =3sinα-4sin3(α) cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα =[2cos2(α)-1]cosα-2cosαsin2(α) =2cos3(α)-cosα+[2cosα-2cos3(α)] =4cos3(α)-3cosα 即 sin3α=3sinα-4sin3(α) cos3α=4cos3(α)-3cosα 和差化積公式推導 首先,我們知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,sin(a-b)=sinacosb-cosasinb 我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb 同理,若把兩式相減,就得到cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2 同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb,cos(a-b)=cosacosb+sinasinb 所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb 同理,兩式相減我們就得到sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2 這樣,我們就得到了積化和差的公式: cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2 sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2 好,有了積化和差的四個公式以后,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式 我們把上述四個公式中的a+b設(shè)為x,a-b設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式: sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2] sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2] cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2] cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2] 三角函數(shù) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 倒數(shù)關(guān)系 tanα cotα=1 sinα cscα=1 cosα secα=1 商的關(guān)系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方關(guān)系 sin2(α)+cos2(α)=1 1+tan2(α)=sec2(α) 1+cot2(α)=csc2(α) 同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法 構(gòu)造以“上弦、中切、下割;左正、右余、中間1”的正六邊形為模型。 倒數(shù)關(guān)系 對角線上兩個函數(shù)互為倒數(shù); 商數(shù)關(guān)系 六邊形任意一頂點上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個頂點上函數(shù)值的乘積。(主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積,下面4個也存在這種關(guān)系。)由此,可得商數(shù)關(guān)系式。 平方關(guān)系 在帶有陰影線的三角形中,上面兩個頂點上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點上的三角函數(shù)值的平方。 兩角和差公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ )/(1-tanαtanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α) tan2α=2tanα/[1-tan2(α)] tan[(1/2)α]=(sin α)/(1+cos α)=(1-cos α)/sin α 半角的正弦、余弦和正切公式 sin2(α/2)=(1-cosα)/2 cos2(α/2)=(1+cosα)/2 tan2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=(1—cosα)/sinα=sinα/1+cosα 萬能公式 sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)] cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=[2tan(α/2)]/[1-tan2(α/2)] 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin3α=3sinα-4sin3(α) cos3α=4cos3(α)-3cosα tan3α=[3tanα-tan3(α)]/[1-3tan2(α)] 三角函數(shù)的和差化積公式 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 三角函數(shù)的積化和差公式 sinαcosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)] cosαcosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαsinβ=- 0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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