《2018屆高三數(shù)學一輪復習: 選修4-5 第1節(jié) 課時分層訓練69》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2018屆高三數(shù)學一輪復習: 選修4-5 第1節(jié) 課時分層訓練69(4頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
課時分層訓練(六十九) 絕對值不等式
1.已知|2x-3|≤1的解集為[m,n].
(1)求m+n的值;
(2)若|x-a|<m,求證:|x|<|a|+1.
[解] (1)由不等式|2x-3|≤1可化為-1≤2x-3≤1,
得1≤x≤2,3分
∴m=1,n=2,m+n=3.5分
(2)證明:若|x-a|<1,則|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|<|a|+1.10分
2.若函數(shù)f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值為5,求實數(shù)a的值.
[解] 當a=-1時,f(x)=3|x+1|≥0,不滿足題意;
當a<-1時,f(x)=
3分
f(x)min=f(a)=
2、-3a-1+2a=5,
解得a=-6;5分
當a>-1時,f(x)=
7分
f(x)min=f(a)=-a+1+2a=5,
解得a=4.9分
綜上所述,實數(shù)a的值為-6或4.10分
3.(2017·衡水中學調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|.
【導學號:01772445】
(1)當a=-3時,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范圍.
[解] (1)當a=-3時,
不等式f(x)≥3化為|x-3|+|x-2|≥3.(*)
若x≤2時,由(*)式,得5-2x≥3,∴x≤1.
若2<x<3時,由(*)式
3、知,解集為?.
若x≥3時,由(*)式,得2x-5≥3,∴x≥4.
綜上可知,f(x)≥3的解集是{x|x≥4或x≤1}.4分
(2)原不等式等價于|x-4|-|x-2|≥|x+a|,(**)
當1≤x≤2時,(**)式化為4-x-(2-x)≥|x+a|,
解得-2-a≤x≤2-a.8分
由條件,[1,2]是f(x)≤|x-4|的解集的子集,
∴-2-a≤1且2≤2-a,則-3≤a≤0,
故滿足條件的實數(shù)a的取值范圍是[-3,0].10分
4.(2016·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=+,M為不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)證明:當a,b∈M時,|a+b|<
4、|1+ab|.
[解] (1)f(x)=
當x≤-時,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;
當-<x<時,f(x)<2;
當x≥時,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.
所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.5分
(2)證明:由(1)知,當a,b∈M時,-1<a<1,-1<b<1,從而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.
因此|a+b|<|1+ab|.10分
5.(2017·湖南長郡中學模擬)已知正實數(shù)a,b滿足:a2+b2=2.
【導學號:01772446】
(1)求+的最小值m;
(2)設函數(shù)f(x
5、)=|x-t|+(t≠0),對于(1)中求得的m是否存在實數(shù)x,使得f(x)=成立,說明理由.
[解] (1)∵2=a2+b2≥2ab,
∴≥ab(a>0,b>0),則≤1.
又+≥≥2,
當且僅當a=b時取等號,
∴+的最小值m=2.5分
(2)函數(shù)f(x)=|x-t|+≥==|t|+≥2.
對于(1)中的m=2,=1<2.
∴滿足條件的實數(shù)x不存在.10分
6.(2017·鄭州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=|3x+2|.
(1)解不等式|x-1|<f(x);
(2)已知m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f(x)≤+(a>0)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
[解] (1)依題設,得|x-1|<|3x+2|,
所以(x-1)2<(3x+2)2,則x>-或x<-,
故原不等式的解集為.4分
(2)因為m+n=1(m>0,n>0),
所以+=(m+n)=2++≥4,
當且僅當m=n=時,等號成立.
令g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3x+2|
=8分
則x=-時,g(x)取得最大值+a,
要使不等式恒成立,只需g(x)max=+a≤4.
解得a≤.
又a>0,因此0<a≤.10分