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吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2018-2019學(xué)年上學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題共12小題，共48.0分）
1. 已知集合A={x|-1＜x＜6}，B={x|x≥1}，則A∪B為（ ?。?
A. {x|?1
?1}
2. 下列四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是（ ）
A. y=x?1與y=(x?1)2 B. y=x?1與y=x?1x?1
C. y=4lgx與y=2lgx2 D. y=(3x)3與y=x
3. 函數(shù)f（x）=3x21?x+lg(3x+1)的定義域是（ ?。?
A. [?13,1] B. (?13,1) C. (13,1) D. [?1,?13]
4. 函數(shù)f（x）=e?x2+4x?9的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ?。?
A. (?2,+∞) B. (2,+∞) C. (?∞,?2) D. (?∞,2)
5. 函數(shù)f（x）=loga|x|+1（0＜a＜1）的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
6. 設(shè)a=0.45，b=50.4，c=log30.4，則a、b、c的大小關(guān)系是（ ?。?
A. a>b>c B. a>c>b C. c>a>b D. b>a>c
7. 已知扇形的周長是3cm，該扇形的圓心角是1弧度，則該扇形的面積為（ ）
A. 12sin1 B. 12cm2 C. 1cm2 D. 2cm2
8. 函數(shù)f（x）=1gx+x-2的零點所在的區(qū)間是（ ?。?
A. (1100,110) B. (110,1) C. (1,2) D. (3,4)
9. 若f（x）=ax3+x+c在[a，b]上是奇函數(shù)，則a+b+c+2的值為（ ?。?
A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2
10. 已知f（x）=logax+2a,x≥1x2?4ax+3,x<1滿足對任意x1≠x2，都有f(x1)?f(x2)x1?x2＜0成立，那么a的取值范圍是（ ）
A. (0,12] B. [12,1) C. [12,23] D. [23,1)
11. 已知函數(shù)f（x）=3x，函數(shù)g（x）是f（x）的反函數(shù)，若正數(shù)x1，x2，…，x2018滿足x1?x2…x2018=81，則g（x12）+g（x22）+…g（x20172）+g（x20182）的值等于（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 64
12. 設(shè)f（x）=|3x-1|，若關(guān)于x的函數(shù)g（x）=f2（x）-（1+t）f（x）+t有三個不同的零點，則實數(shù)t的取值范圍為
（ ）
A. (0,12) B. (0,2) C. (0,1) D. (0,1]
二、填空題（本大題共4小題，共16.0分）
13. 設(shè)函數(shù)f（x）=1?log2x,x>121?x,x≤1，則f[f（4）]=______．
14. 函數(shù)f（x）=4x-2x+2，x∈[-1，2]的值域為______．
15. 已知函數(shù)f（x）=x2-2ax+1，若對任意的x∈（0，2]，恒有f（x）≥0，則實數(shù)a的最大值為______．
16. 已知函數(shù)f（x）=12x2?ex?1ex+1，若f（4-m）-f（m）≥8-4m，則實數(shù)m的取值范圍為______．
三、解答題（本大題共6小題，共56.0分）
17. 求下列各式的值：
（1）3lg4+5lg25+1g1625；
（2）（2a23b12）?（-6a12b13）（-3a16b56）．
18. 已知集合A={x|x2-5x-6≤0}，B={x|x-3a＜0}．
（1）當a=13時，求B∩（?RA）；
（2）若A∪B=B，求實數(shù)a的取值范圍．
19. 經(jīng)市場調(diào)查，某種商品在進價基礎(chǔ)上每漲價1元，其銷售量就減少10個，已知這種商品進價為40元/個，若按50元一個售出時能賣出500個．
（1）請寫出售價x（x＞40）元與利潤y元之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）試計算當售價定為多少元時，獲得的利潤最大，并求出最大利潤．
20. 已知函數(shù)f（x）=x|x-1|-a．
（1）當a=0時，在給定的直角坐標系內(nèi)畫出f（x）的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論函數(shù)y=f（x）零點的個數(shù)．
21. 定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)y=f（x）滿足f（xy）=f（x）-f（y），且函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（1）求f（-1），并證明函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)；
（2）若f（4）=2，解不等式f（x-5）-f（3x）≤1．
22. 已知函數(shù)f（x）=log2（2x+1）+ax，x∈R．
（1）若f（x）是偶函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（2）當a＞0時，判斷f（x）的單調(diào)性，不需要證明；
（3）當a＞0時，關(guān)于x的方程f[f（x）-a（1+x）-1og4（2x-1）]=1在區(qū)間[1，2]上恰有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：∵集合A={x|-1＜x＜6}，B={x|x≥1}，
∴A∪B={x|x＞-1}．
故選：D．
先分別求出集合A，B，由此能求出A∪B．
本題考查并集的求法，考查并集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
2.【答案】D
【解析】
解：A．y=x-1與的解析式不同，兩函數(shù)不相同；
B.的定義域為[1，+∞），的定義域為（1，+∞），定義域不同，兩函數(shù)不相同；
C．y=4lgx與y=2lgx2=4lg|x|的解析式不同，兩函數(shù)不相同；
D.的定義域為R，y=x的定義域為R，定義域和解析式都相同，兩函數(shù)相同．
故選：D．
通過化簡解析式可發(fā)現(xiàn)選項A、C的兩函數(shù)的解析式不同，兩函數(shù)不相同，而選項B的兩函數(shù)定義域不同，兩函數(shù)也不相同，只能選D．
考查函數(shù)的定義，判斷兩函數(shù)是否相同的方法：看解析式和定義域是否都相同．
3.【答案】B
【解析】
解：欲使f（x）有意義，則有，解得-＜x＜1．
∴f（x）的定義域是（-，1）．
故選：B．
求函數(shù)f（x）的定義域，即求使f（x）有意義的x的取值范圍．
本題屬基礎(chǔ)題，考查了函數(shù)的定義域及其求法，解析法給出的函數(shù)要使解析式有意義，具有實際背景的函數(shù)要考慮實際意義．
4.【答案】D
【解析】
解：因為y=ex，是指數(shù)函數(shù)，是增函數(shù)，
y=-x2+4x-9是開口向下的二次函數(shù)，
所以x＜2時，二次函數(shù)y=-x2+4x-9是增函數(shù)，
x＞2時，y=-x2+4x-9是減函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：函數(shù)f（x）=e的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，2）．
故選：D．
利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及二次函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化求解即可．
本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷．二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．
5.【答案】A
【解析】
解：由于函數(shù)f（x）=loga|x|+1（0＜a＜1）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱．
當x＞0時，f（x）=loga x+1，是減函數(shù)．
當x＜0時，f（x）=loga （-x ）+1，是增函數(shù)．
再由圖象過（1，1）、（-1，1）可得，應(yīng)選A，
故選：A．
函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，x＞0時，單調(diào)遞減；x＜0時，單調(diào)遞增，且圖象過（1，1）、（-1，1），由此得出結(jié)論．
本題主要考查函數(shù)的圖象特征，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
6.【答案】D
【解析】
解：0＜0.45＜0.40=1，50.4＞50=1，log30.4＜log31=0；
∴b＞a＞c．
故選：D．
容易得出：0＜0.45＜1，50.4＞1，log30.4＜0，從而得出a，b，c的大小關(guān)系．
考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，增函數(shù)和減函數(shù)的定義．
7.【答案】A
【解析】
解：由題意可得：3r=3，解得r=1．
∴該扇形的面積==sin1．
故選：A．
由題意可得：3r=3，解得r．利用扇形面積計算公式即可得出．
本題考查了弧長公式、扇形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
8.【答案】C
【解析】
解：函數(shù)f（x）=1gx+x-2是連續(xù)增函數(shù)，因為f（1）=-1＜0，f（2）=lg2+2-2＞0，
所以f（1）f（2）＜0，
由零點存在定理可知，函數(shù)的零點在（1，2）．
故選：C．
利用函數(shù)的單調(diào)性以及連續(xù)性，通過零點判定定理推出選項即可．
本題考查函數(shù)的零點判定定理的應(yīng)用，是基本知識的考查．
9.【答案】D
【解析】
解：∵奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，所以a+b=0
∵奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，
∴f（-x）=-f（x）
即ax2-x+c=-ax2-x-c
∴2ax2+2c=0對于任意的x都成立
∴a=c=0，則b=0．
∴a+b+c+2=2．
故選：D．
利用奇函數(shù)的定義可知其定義域關(guān)于原點對稱，其圖象關(guān)于原點對稱，從而建立關(guān)于a，b，c的方程，即可的結(jié)果．
本題考查了奇函數(shù)的定義及特點，注意函數(shù)定義域的特點，是個基礎(chǔ)題．
10.【答案】C
【解析】
解：f（x）=滿足對任意x1≠x2，都有＜0成立，
開始分段函數(shù)是減函數(shù)，
所以：，解得a∈[]．
故選：C．
判斷函數(shù)的單調(diào)性．利用分段函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性棱長不等式組求解即可．
本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的定義的理解，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．
11.【答案】B
【解析】
解：由函數(shù)f（x）=3x，函數(shù)g（x）是f（x）的反函數(shù)，
則g（x）=log3x，
所以g（x12）+g（x22）+…g（x20172）+g（x20182）=log3（x1?x2…x2018）2=2log3x1?x2…x2018=2log381=8，
故選：B．
由反函數(shù)的求法得：由函數(shù)f（x）=3x，函數(shù)g（x）是f（x）的反函數(shù)，則g（x）=log3x，
由對數(shù)的運算求值得：g（x12）+g（x22）+…g（x20172）+g（x20182）=2log3x1?x2…x2018=2log381=8，得解
本題考查了反函數(shù)的求法及對數(shù)的運算求值，屬中檔題
12.【答案】C
【解析】
解：令m=f（x），
則關(guān)于x的函數(shù)g（x）=f2（x）-（1+t）f（x）+t可變?yōu)閔（m）=m2-（1+t）m+t，
設(shè)m1，m2為關(guān)于m的函數(shù)h（m）=m2-（1+t）m+t的零點，
則關(guān)于x的函數(shù)g（x）=f2（x）-（1+t）f（x）+t有三個不同的零點等價于函數(shù)m=f（x）的圖象與直線m=m1，m=m2的交點之和為3個，
則需函數(shù)m=f（x）的圖象與直線m=m1，m=m2的位置關(guān)系如圖所示，
又h（1）=0，
由圖可知：
0＜m1＜1=m2，
由韋達定理可得：t=m1m2=m1∈（0，1），
故選：C．
由函數(shù)的零點個數(shù)與函數(shù)圖象的交點個數(shù)的關(guān)系得：關(guān)于x的函數(shù)g（x）=f2（x）-（1+t）f（x）+t可變?yōu)閔（m）=m2-（1+t）m+t，
設(shè)m1，m2為關(guān)于m的函數(shù)h（m）=m2-（1+t）m+t的零點，則關(guān)于x的函數(shù)g（x）=f2（x）-（1+t）f（x）+t有三個不同的零點等價于函數(shù)m=f（x）的圖象與直線m=m1，m=m2的交點之和為3個，
由韋達定理得：因為h（1）=0，由圖可知：0＜m1＜1=m2，由韋達定理可得：t=m1m2=m1∈（0，1），得解
本題考查了函數(shù)的零點個數(shù)與函數(shù)圖象的交點個數(shù)的關(guān)系及韋達定理，屬中檔題
13.【答案】4
【解析】
解：∵函數(shù)f（x）=，
∴f（4）=1-log24=1-2=-1，
f[f（4）]=f（-1）=21-（-1）=4．
故答案為：4．
由已知條件利用分段函數(shù)的性質(zhì)得f[f（4）]=f（-1）=21-（-1）=4．
本題考查分段函數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．
14.【答案】[-4，0]
【解析】
解：令，則y=t2-4t=（t-2）2-4，
當t=4時，ymax=0；當t=2時，ymin=-4；故函數(shù)f（x）=4x-2x+2，x∈[-1，2]的值域為[-4，0]．
故答案為：[-4，0]．
令，則y=t2-4t，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．
本題考查函數(shù)的值域求法，運用換元法，屬于基礎(chǔ)題．
15.【答案】1
【解析】
解：由題意，可知：
二次函數(shù)f（x）=x2-2ax+1的開口向上，
且對稱軸為x=a．
∴在區(qū)間（0，2]上，要使f（x）≥0恒成立．
①當a≤0時，必須有f（0）≥0，
∵f（0）=1≥0，
∴a≤0滿足題意．
②當0＜a≤2時，必須有f（a）≥0，
∵f（a）=a2-2a2+1=1-a2≥0，
解得：-1≤a≤1
∵0＜a≤2．
∴0＜a≤1．
③當a＞2時，必須有f（2）≥0，
∵f（2）=4-4a+1=5-4a≥0，
解得：a≤．
∵前提條件是a＞2，
∴a≤不符合題意．
綜上所述，可得a的取值范圍為（-∞，1]．
故答案為：1．
本題可根據(jù)二次函數(shù)的特點對參數(shù)a進行分類討論，因為x的定義域為（0，2]，所以就要分a在定義域左邊、中間、右邊來分類，分別考慮使f（x）≥0恒成立時a的取值范圍，最后綜合a的取值范圍即可得到實數(shù)a的最大值．
本題主要考查二次函數(shù)定義域確定，而對稱軸不確定的情況下對稱軸進行分類討論的題型，本題屬中檔題．
16.【答案】[2，+∞）
【解析】
解：∵f（x）=，
∴f（x）-=，
設(shè)g（x）=f（x）-=，
則g（-x）=-=-==-g（x），即g（x）是奇函數(shù)，
g（x）==-=-1+，則g（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
∵f（x）=+g（x）
∴f（4-m）-f（m）≥8-4m，
等價為（4-m）2+g（4-m）-g（m）-?m2≥8-4m，
即g（4-m）-g（m）+8-4m≥8-4m，
即g（4-m）-g（m）≥0，
即g（4-m）≥g（m）
∵g（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
∴4-m≤m，即m≥2，
即實數(shù)m的取值范圍是[2，+∞），
故答案為：[2，+∞）
根據(jù)條件進行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-=，研究函數(shù)g（x）的奇偶性和單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化求解即可．
本題主要考查不等式的求解，結(jié)合條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強．
17.【答案】解：（1）原式=lg(432551625)=lg106=6．
（2）原式=2(?6)?3a23+12?16b12+13?56
=4a．
【解析】
（1）利用對數(shù)運算性質(zhì)即可得出．
（2）利用指數(shù)運算性質(zhì)即可得出．
本題考查了指數(shù)與對數(shù)運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
18.【答案】解：（1）當a=13時，B={x|x＜1}，
A={x|x2-5x-6≤0}={x|-1≤x≤6}，則?RA={x|x＞6或x＜-1}，
則B∩（?RA）={x|x＜-1}
（2）若A∪B=B，則A?B，
B={x|x-3a＜0}={x|x＜3a}．
則3a＞6，即a＞2，即實數(shù)a的取值范圍是（2，+∞）．
【解析】
（1）結(jié)合補集和交集的定義進行計算即可．
（2）根據(jù)A∪B=B得A?B，結(jié)合子集關(guān)系進行求解即可．
本題主要考查集合的基本運算，求出不等式的等價條件，結(jié)合交集補集的定義是解決本題的關(guān)鍵．
19.【答案】解：（1）由售價為x元，可得該商品每個漲價x-50元，
其銷售量將減少10（x-50）個．
即有利潤y=（10+x-50）（500-10（x-50））
=10（x-40）（100-x）
=10（-x2+140x-4000）
（2）y=（10+x-50）（500-10（x-50））
=10（-（x-70）2+900），
當x=70時，y取得最大值，且為9000元．
故每個商品的售價為70元能夠使得利潤y元最大，
利潤的最大值為9000元．
【解析】
（1）可得該商品每個漲價x-50元，其銷售量將減少10（x-50）個．即有利潤y=（10+x-50）（500-10（x-50）），
（2）利用函數(shù)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)運用配方，即可得到最大值及x的值．
本題考查二次函數(shù)的最值問題，列出函數(shù)的解析式，運用配方，是解決二次函數(shù)的常用方法．
20.【答案】解：（1）當a=0時，f（x）=x(1?x),(x<1)x(x?1),(x≥1)，則函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，
（2）函數(shù)y=f（x）零點的個數(shù)等價于函數(shù)y=x|x-1|的圖象與直線y=a的交點個數(shù)，
由（1）得：
①當a＜0或a＞14時，函數(shù)y=f（x）零點的個數(shù)1個，
②當a=0或a=14時，函數(shù)y=f（x）零點的個數(shù)2個，
③當0＜a＜14時，函數(shù)y=f（x）零點的個數(shù)3個，
故答案為：
①當a＜0或a＞14時，函數(shù)y=f（x）零點的個數(shù)1個，
②當a=0或a=14時，函數(shù)y=f（x）零點的個數(shù)2個，
③當0＜a＜14時，函數(shù)y=f（x）零點的個數(shù)3個，
【解析】
（1）由當a=0時，f（x）=，則可作出函數(shù)y=f（x）的圖象，
（2）函數(shù)y=f（x）零點的個數(shù)等價于函數(shù)y=x|x-1|的圖象與直線y=a的交點個數(shù)，由（1）得：①當a＜0或a時，函數(shù)y=f（x）零點的個數(shù)1個，
②當a=0或a=時，函數(shù)y=f（x）零點的個數(shù)2個，③當0＜a＜時，函數(shù)y=f（x）零點的個數(shù)3個，得解．
本題考查了分段函數(shù)圖象的作法及函數(shù)的零點個數(shù)與函數(shù)圖象的交點個數(shù)的關(guān)系，屬中檔題．
21.【答案】解：（1）令x=y≠0，則f（1）=f（x）-f（x）=0，
再令x=1，y=-1可得f（-1）=f（1）-f（-1）=-f（-1），
∴f（-1）=0．
令y=-1可得f（-x）=f（x）-f（-1）=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)．
（2）∵f（2）=f（4）-f（2），∴f（2）=12f（4）=1，
又f（x-5）-f（3x）=f（x2?5x3），
∴f（x2?5x3）≤f（2），
∵f（x）是偶函數(shù)，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴-2≤x2?5x3≤2且x2?5x3≠0，
解得-1≤x＜0或0＜x≤2或3≤x＜5或5＜x≤6．
∴不等式的解集為{x|x≤x＜0或0＜x≤2或3≤x＜5或5＜x≤6}
【解析】
（1）先計算f（1）=0，再令x=1，y=-1可得f（-1），令y=-1即可得出f（-x）=f（x）；
（2）計算f（2）=1，故而不等式等價于f（）≤f（2），根據(jù)f（x）的單調(diào)性和奇偶性列不等式得出解集．
本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．
22.【答案】解：（1）根據(jù)題意，若f（x）是偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），
則有l(wèi)og2（2-x+1）+a（-x）=log2（2x+1）+ax，變形可得2ax=log2（2-x+1）-log2（2x+1）=-x，
解可得a=-12，
故a=-12；
（2）當a＞0時，函數(shù)y=log2（2x+1）和函數(shù)y=ax都是增函數(shù)，則函數(shù)f（x）=log2（2x+1）+ax為增函數(shù)，
（3）根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=log2（2x+1）+ax，有f（0）=1，
則f[f（x）-a（1+x）-1og4（2x-1）]=1即f[f（x）-a（1+x）-1og4（2x-1）]=f（0）
又由（2）的結(jié)論，當a＞0時，函數(shù)f（x）=log2（2x+1）+ax為增函數(shù)，則有f（x）-a（1+x）-1og4（2x-1）=0，
即log2（2x+1）-1og4（2x-1）=a，
變形可得：1og4(2x+1)22x?1=a，
設(shè)g（x）=1og4(2x+1)22x?1，
若方程f[f（x）-a（1+x）-1og4（2x-1）]=1在區(qū)間[1，2]上恰有兩個不同的實數(shù)解，則函數(shù)g（x）的圖象與y=a有2個交點，
對于g（x）=1og4(2x+1)22x?1，設(shè)h（x）=(2x+1)22x?1，
則h（x）=(2x+1)22x?1=[(2x?1)+2]22x?1=（2x-1）+42x?1+4，
又由1≤x≤2，則1≤2x-1≤3，則h（x）min=6，
h（1）=9，h（2）=253，則h（x）max=9，
若函數(shù)g（x）的圖象與y=a有2個交點，必有l(wèi)og46＜a≤log49，
故a的取值范圍為（log46，log49]．
【解析】
（1）根據(jù)題意，由函數(shù)的性質(zhì)定義可得f（-x）=f（x），則有l(wèi)og2（2-x+1）+a（-x）=log2（2x+1）+ax，變形分析可得答案；
（2）根據(jù)題意，分析可得函數(shù)y=log2（2x+1）和函數(shù)y=ax都是R上的增函數(shù)，據(jù)此可得f（x）的單調(diào)性；
（3）根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分析可得f（0）=1，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析，原方程等價于f（x）-a（1+x）-1og4（2x-1）=0，變形可得：1og4=a，設(shè)g（x）=1og4，分析可得函數(shù)g（x）的圖象與y=a有2個交點，設(shè)h（x）=，分析函數(shù)h（x）的單調(diào)性以及最值，據(jù)此分析可得答案．
本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，注意分析函數(shù)f（x）在a＞0時的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．
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