2019年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大二輪精準(zhǔn)提分練習(xí)第二篇 第30練
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1、 第30練 壓軸小題突破練(2) [明晰考情] 高考選擇題的12題位置、填空題的16題位置,往往出現(xiàn)邏輯思維深刻,難度高檔的題目. 考點(diǎn)一 與向量有關(guān)的壓軸小題 方法技巧 (1)以向量為載體的綜合問題,要準(zhǔn)確使用平面向量知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,最后歸結(jié)為不含向量的問題. (2)平面向量常與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等相結(jié)合,利用向量共線或數(shù)量積的知識(shí)解題. 1.在△ABC中,已知·=9,sin B=cos A·sin C,S△ABC=6,P為線段AB上的點(diǎn),且=x·+y·,則xy的最大值為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 由題設(shè)sin B=sin(A
2、+C)=sin Acos C+cos Asin C=sin Ccos A, 即sin Acos C=0,也即cos C=0, ∴C=90°. 又∵bccos A=9,故b2=9,即b=3. ∵ab=6,故a=4,c=5, 故建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系xCy,則A(3,0),B(0,4),則由題設(shè)可知P(x,y), 直線AB的方程為+=1且x>0,y>0, ∴+=1≥2,即xy≤3,當(dāng)且僅當(dāng)x=,y=2時(shí)“=”成立,故選C. 2.已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn),且滿足2+3+4=0,則△AOB,△BOC,△AOC的面積之比為( ) A.4∶2∶3 B.2∶3∶4 C
3、.4∶3∶2 D.3∶4∶5 答案 A 解析 如圖所示,延長OA,OB,OC,使 OD=2OA,OE=3OB,OF=4OC, ∵2+3+4=0, ∴++=0, 即O是△DEF的重心,故△DOE,△EOF,△DOF的面積相等, 不妨令它們的面積均為1,則△AOB的面積為,△BOC的面積為,△AOC的面積為,故△AOB,△BOC,△AOC的面積之比為∶∶=4∶2∶3. 故選A. 3.(2017·江蘇)如圖,在同一個(gè)平面內(nèi),向量,,的模分別為1,1,,與的夾角為α,且tan α=7,與的夾角為45°.若=m+n(m,n∈R),則m+n=________. 答案 3
4、解析 如圖,過點(diǎn)C作CD∥OB交OA的延長線于點(diǎn)D. 設(shè)=m,=n,則在△ODC中有OD=m, DC=n,OC=,∠OCD=45°, 由tan α=7,得cos α=, 又由余弦定理知, 即 ①+②得4-2n-m=0,即m=10-5n,代入①得12n2-49n+49=0,解得n=或n=,當(dāng)n=時(shí),m=10-5×=-<0(舍去),當(dāng)n=時(shí),m=10-5×=,故m+n=+=3. 4.已知O為△ABC的外心,且=λ+μ. (1)若∠C=90°,則λ+μ=______________; (2)若∠ABC=60°,則λ+μ的最大值為______________. 答案
5、解析 (1)若∠C=90°,則O為AB邊的中點(diǎn), =,即λ=,μ=0. (2)設(shè)△ABC的三內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,因?yàn)镺為△ABC的外心,且=λ+μ, 所以 即 化簡得 解得 則λ+μ=-≤-2=-=,當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)“=”成立. 考點(diǎn)二 與解析幾何有關(guān)的壓軸小題 方法技巧 求圓錐曲線范圍,最值問題的常用方法 (1)定義性質(zhì)轉(zhuǎn)化法:利用圓錐曲線的定義性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,根據(jù)平面幾何中的結(jié)論確定最值或范圍. (2)目標(biāo)函數(shù)法:建立所求的目標(biāo)函數(shù),將所求最值轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決. (3)條件不等式法:找出與變量相關(guān)的所有限制條件,然后再通過解決不等式(
6、組)求變量的范圍. 5.已知F1,F(xiàn)2是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),A是C的左頂點(diǎn),點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上,△PF1F2為等腰三角形,∠F1F2P=120°,則C的離心率為( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 如圖,作PB⊥x軸于點(diǎn)B. 由題意可設(shè)|F1F2|=|PF2|=2,則c=1, 由∠F1F2P=120°, 可得|PB|=,|BF2|=1, 故|AB|=a+1+1=a+2, tan∠PAB===, 解得a=4, 所以e==. 故選D. 6.已知F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)為橢圓+=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為
7、橢圓上一點(diǎn)且·=c2,則此橢圓離心率的取值范圍是( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 設(shè)P(m,n),則·=(-c-m,-n)·(c-m,-n)=m2-c2+n2=c2, ∴2c2-m2=n2.① 把P(m,n)代入+=1,得+=1,② ①代入②得m2=≥0, ∴a2b2≤2a2c2,即b2≤2c2, 又a2=b2+c2,∴a2≤3c2,即e=≥. 又m2=≤a2, 即a2≥2c2,即e=≤, ∴橢圓離心率的取值范圍是. 7.等腰直角△AOB內(nèi)接于拋物線y2=2px(p>0),O為拋物線的頂點(diǎn),OA⊥OB,△AOB的面積是16,拋物線的焦點(diǎn)為F,若
8、M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),則的最大值為( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 因?yàn)榈妊苯恰鰽OB內(nèi)接于拋物線y2=2px(p>0),O為拋物線的頂點(diǎn),OA⊥OB,
所以可設(shè)A(a,a)(a>0),
S△AOB=a×2a=16,得a=4,
將A(4,4)代入y2=2px,得p=2,拋物線的方程為y2=4x,所以F(1,0).
設(shè)M(x,y),則x≥0,設(shè)t=(0 9、最小值為____________.
答案 4
解析 設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)為A(xA,yA),B(xB,yB),
由題意可知 =+=2≥2=2,
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的斜率為k,則直線AB的方程為y=k(x-1),聯(lián)立
得ky2-4y-4k=0,
由根與系數(shù)的關(guān)系,得 yAyB=-4,由此可知|EG|≥4 ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,
即的最小值為4.
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),直線AB:x=1,此時(shí)A(1,-2),B(1,2),所以C(2,-4),D,即G(0,1),
E(0,-4),所以|EG|=5.
綜上,|EG|的最小值為4.
考點(diǎn)三 與推理證明有關(guān)的壓軸小 10、題
方法技巧 推理證明問題考查學(xué)生邏輯推理能力,屬于較難題,考試形式往往為
(1)以數(shù)表、數(shù)陣、圖形為背景與數(shù)列、周期性等知識(shí)相結(jié)合考查歸納推理和類比推理,多以小題形式出現(xiàn).
(2)“新定義”問題題型較為新穎,所包含的信息豐富,能較好地考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力,越來越受到關(guān)注和重視.
9.給出以下數(shù)對(duì)序列:
(1,1)
(1,2)(2,1)
(1,3)(2,2)(3,1)
(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)
…
若第i行的第j個(gè)數(shù)對(duì)為aij,如a43=(3,2),則anm等于( )
A.(m,n-m+1) B.(m-1,n-m)
C.(m-1,n-m 11、+1) D.(m,n-m)
答案 A
解析 方法一 由前4行的特點(diǎn),歸納可得:若anm=(a,b),則a=m,b=n-m+1,∴anm=(m,n-m+1).
方法二 賦值法,令m=n=1,則anm=a11=(1,1),分別代入選項(xiàng)A,B,C,D,只有A結(jié)果為(1,1)符合題意.
10.老王和小王父子倆玩一種類似于古代印度的“梵塔游戲”:有3個(gè)柱子甲、乙、丙,在甲柱上現(xiàn)有4個(gè)盤子,最上面的兩個(gè)盤子大小相同,從第二個(gè)盤子往下大小不等,大的在下,小的在上(如圖),把這4個(gè)盤子從甲柱全部移到乙柱游戲即結(jié)束,在移動(dòng)過程中每次只能移動(dòng)一個(gè)盤子,甲、乙、丙柱都可以利用,且3個(gè)柱子上的盤子始終保持 12、小的盤子不能放在大的盤子之下,設(shè)游戲結(jié)束需要移動(dòng)的最少次數(shù)為n,則n等于( )
A.7 B.8
C.11 D.15
答案 C
解析 由題意得,根據(jù)甲乙丙三圖可知最上面的兩個(gè)是一樣大小的,所以比三個(gè)盤子不同時(shí)操作的次數(shù)(23-1)要多,比四個(gè)盤子不同時(shí)操作的次數(shù)(24-1)要少,相當(dāng)于與操作三個(gè)不同盤子的時(shí)候相比,最上面的那個(gè)動(dòng)了幾次,就會(huì)增加幾次,故游戲結(jié)束需要移動(dòng)的最少次數(shù)為11.
11. 有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是 13、1”,丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是________.
答案 (1,3)
解析 由題意得丙不取(2,3),若丙取(1,2),則乙取(2,3),甲取(1,3)滿足;若丙取(1,3),則乙取(2,3),甲取(1,2)不滿足,故甲取(1,3).
12.若函數(shù)f(x),g(x)滿足?f(x)g(x)dx=0,則稱f(x),g(x)為區(qū)間[-1,1]上的一組正交函數(shù).給出三組函數(shù):
①f(x)=sinx,g(x)=cosx;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.其中為區(qū)間[-1,1]上的正交函數(shù)的是________.(填序號(hào))
答案 14、①③
解析 對(duì)于①,?dx=?sin xdx=-=0,則f(x),g(x)為區(qū)間[-1,1]上的正交函數(shù);
對(duì)于②,?(x+1)(x-1)dx=?(x2-1)dx=≠0,則f(x),g(x)不是區(qū)間[-1,1]上的正交函數(shù);
對(duì)于③,?x3dx==0,則f(x),g(x)為區(qū)間[-1,1]上的正交函數(shù).所以滿足條件的正交函數(shù)是①③.
1.(2018·天津)在如圖所示的平面圖形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,=2,=2,則·的值為( )
A.-15 B.-9
C.-6 D.0
答案 C
解析 如圖,連接MN.
∵=2,
=2,
∴==, 15、
∴MN∥BC,且=,
∴=3=3(-),
∴·=3(·-2)=3(2×1×cos 120°-12)=-6.
故選C.
2.已知向量a,b滿足|a|=2|b|≠0,且關(guān)于x的函數(shù)f(x)=2x3+3|a|x2+6a·bx+7在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增,則向量a,b的夾角的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 求導(dǎo)可得f′(x)=6x2+6|a|x+6a·b,則由函數(shù)f(x)=2x3+3|a|x2+6a·bx+7在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增,可得f′(x)=6x2+6|a|x+6a·b≥0在R上恒成立,即x2+|a|x+a·b≥0恒成立,
故判別式Δ=a2-4 16、a·b≤0,
再由|a|=2|b|≠0,可得8|b|2≤8|b|2cos〈a,b〉,
∴cos〈a,b〉≥,
又∵〈a,b〉∈[0,π],
∴〈a,b〉∈.
3.(2018·重慶診斷)設(shè)集合A={(x,y)|(x+3sin α)2+(y+3cos α)2=1,α∈R},B={(x,y)|3x+4y+10=0},記P=A∩B,則點(diǎn)集P所表示的軌跡長度為( )
A.2 B.2
C.4 D.4
答案 D
解析 由題意得圓(x+3sin α)2+(y+3cos α)2=1的圓心(-3sin α,-3cos α)在圓x2+y2=9上,當(dāng)α變化時(shí),該圓繞著原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),集合A表示的 17、區(qū)域是如圖所示的環(huán)形區(qū)域(陰影部分所示).
由于原點(diǎn)(0,0)到直線3x+4y+10=0的距離為d==2,所以直線3x+4y+10=0恰好與圓環(huán)的小圓相切.
所以P=A∩B表示的是直線3x+4y+10=0截圓環(huán)的大圓x2+y2=16所得的弦長.
故點(diǎn)集P所表示的軌跡長度為2=4.
4.設(shè)雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A,B兩點(diǎn),且與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P,設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),若=λ+μ(λ,μ∈R),λμ=,則該雙曲線的離心率為( )
A. B.2
C. D.
答案 D
解析 雙曲線的漸近線方程為y=±x,焦點(diǎn)F 18、(c,0),不妨設(shè)yA>0,yB<0,
則A,B,P,
因?yàn)椋溅耍蹋?
所以=,
所以λ+μ=1,λ-μ=,
解得λ=,μ=,
又由λμ=,得=,
解得=2,
所以e=,故選D.
5.若數(shù)列{an}滿足-=0,n∈N*,p為非零常數(shù),則稱數(shù)列{an}為“夢(mèng)想數(shù)列”.已知正項(xiàng)數(shù)列為“夢(mèng)想數(shù)列”,且b1b2b3…b99=299,則b8+b92的最小值是( )
A.2 B.4
C.6 D.8
答案 B
解析 依題意可得bn+1=pbn,則數(shù)列{bn}為等比數(shù)列.又b1b2b3…b99=299=b,則b50=2.b8+b92≥2=2b50=4,當(dāng)且僅當(dāng)b8=b92=2 19、,即該數(shù)列為常數(shù)列時(shí)取等號(hào).
6.來自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人,剛好碰在一起.他們除懂本國語言外,每人還會(huì)說其他三國語言中的一種.有一種語言是三個(gè)人會(huì)說的,但沒有一種語言四人都懂,現(xiàn)知道:①甲是日本人,丁不會(huì)說日語,但他倆能自由交談;②四人中沒有一個(gè)人既能用日語交談,又能用法語交談;③乙、丙、丁交談時(shí),不能只用一種語言;④乙不會(huì)說英語,當(dāng)甲與丙交談時(shí),他能做翻譯.針對(duì)他們懂的語言,正確的推理是( )
A.甲日德、乙法德、丙英法、丁英德
B.甲日英、乙日德、丙德法、丁日英
C.甲日德、乙法德、丙英德、丁英德
D.甲日法、乙英德、丙法德、丁法英
答案 A
解析 分析題 20、目和選項(xiàng),由①知,丁不會(huì)說日語,排除B選項(xiàng);由②知,沒有人既會(huì)日語又會(huì)法語,排除D選項(xiàng);由③知乙、丙、丁不會(huì)同一種語言,排除C選項(xiàng),故選A.
7.(2018·石家莊模擬)拋物線C:y=x2的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線l與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)M在拋物線C上,當(dāng)=時(shí),△AMF的面積為( )
A.1 B.2
C.2 D.4
答案 B
解析 F(0,1),A(0,-1),過M作MN⊥l,垂足為N,∴△AMF的高為|AN|,
設(shè)M(m>0),
則S△AMF=×2m=m.
又由=,|MN|=|MF|,
∴△AMN為等腰直角三角形,
∴m2+1=m,∴m=2,
∴△AMF的面積為2.
21、
8.在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AB=BC=2AD=2,E,F(xiàn)分別為BC,CD的中點(diǎn),以A為圓心,AD為半徑的圓交AB于點(diǎn)G,點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)(如圖).若=λ+μ,其中λ,μ∈R,則6λ+μ的取值范圍是( )
A.[1,] B.[,2]
C.[2,2] D.[1,2]
答案 C
解析 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,
則A(0,0),B(2,0),E(2,1),C(2,2),D(0,1),F(xiàn).
設(shè)P(cos θ,sin θ),其中0≤θ≤,則
=(cos θ,sin θ),=(2,1),=,
∵=λ+μ,
∴(cos θ,sin θ)=λ(2, 22、1)+μ,
即
解得
∴6λ+μ=2sin θ+2cos θ=2sin,
∵0≤θ≤,∴≤θ+≤,
∴2≤2sin≤2,
即6λ+μ的取值范圍是[2,2],故選C.
9.在△ABC中,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a2+b2-c2=ab,且acsin B=2sin C,則·=________.
答案 3
解析 由a2+b2-c2=ab,得2cos C=,即cos C=,由acsin B=2sin C,得=,由=,得ab=2,所以·=abcos C=2×=3.
10.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若為常數(shù),則稱數(shù)列{an}為“精致數(shù)列”. 已知等差數(shù)列{bn}的首 23、項(xiàng)為1,公差不為0,若數(shù)列{bn}為“精致數(shù)列”,則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為__________.
答案 bn=2n-1(n∈N*)
解析 設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d,由為常數(shù),設(shè)=k且b1=1,得n+n(n-1)d=k,
即2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d,
整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0,
因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n上式恒成立,
則解得
所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n-1(n∈N*).
11.已知cos=,
coscos=,
coscoscos=,
…,
(1)根據(jù)以上等式,可猜想出的一般結(jié)論是________;
(2)若數(shù)列{an 24、}中,a1=cos,a2=coscos,a3=coscoscos,…,
前n項(xiàng)和Sn=,則n=________.
答案 (1)cos·cos·…·cos=(n∈N*) (2)10
解析 (1)從題中所給的幾個(gè)等式可知,第n個(gè)等式的左邊應(yīng)有n個(gè)余弦相乘,且分母均為2n+1,分子分別為π,2π,…,nπ,右邊應(yīng)為,故可以猜想出結(jié)論為cos·cos·…·cos=(n∈N*).
(2)由(1)可知an=,
故Sn==1-==,
解得n=10.
12.已知拋物線C:y2=2px(0<p<4)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為C上一動(dòng)點(diǎn),A(4,0),B(p,p),且|PA|的最小值為,則|BF|=________.
答案
解析 設(shè)P(x,y)且y2=2px,則
|PA|===,
根號(hào)下二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=4-p∈(0,4),
所以在對(duì)稱軸處取得最小值,
即=,
解得p=3或5(舍去),經(jīng)檢驗(yàn)p=3符合題意.
所以拋物線方程為y2=6x,B(3,3),
易知點(diǎn)B在拋物線上,所以|BF|=3+=.
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