能 力 提 升 一、選擇題 1．化簡以下各式： ①＋＋； ②－＋－； ③－＋； ④＋＋－. 結(jié)果為零向量的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案]　D [解析]　①＋＋＝＋＝－＝0； ②－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0； ③－＋＝(＋)－＝－＝0； ④＋＋－＝＋＋＝－＝0. 2．若||＝8，||＝5，則||的取值范圍是(　　) A．[3,8] B．(3,8) C．[3,13] D．(3,13，) [答案]　C [解析]　由于＝－，則有||－||≤||≤||＋||，即3≤||≤13. 3．(2011·湖南高考)若O、E、F是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是(　　) A.＝＋ B.＝－ C.＝－＋ D.＝－－ [答案]　B [解析]　由向量的減法的定義求解． 4．已知△ABC的三個頂點A、B、C及平面內(nèi)一點P滿足＋＝，下列結(jié)論中正確的是(　　) A．P在△ABC的內(nèi)部 B．P在△ABC的邊AB上 C．P在AB邊所在直線上 D．P在△ABC的外部 [答案]　D [解析]　由＋＝可得 ＝－＝，∴四邊形PBCA為平行四邊形． 可知點P在△ABC的外部．選D. 5．(四川高考改編)設(shè)點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，則||＝(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 [答案]　C [解析]　以、為鄰邊作平行四邊形ACDB，則由向量加、減法的幾何意義可知＝＋，＝－， 因為|＋|＝|－|， 所以||＝||. 又四邊形ACDB為平行四邊形， 所以四邊形ACDB為矩形，故AC⊥AB. 則AM為Rt△ABC斜邊BC上的中線， 因此，||＝|＝2. 6．已知＝a，＝b，||＝5，||＝12，∠AOB＝90°，則|a－b|＝________.(　　) A．7 B．17 C．13 D．8 [答案]　C [解析]　如圖，∵a－b＝－＝， ∴|a－b|＝||＝＝13. 故選C. 二、填空題 7．已知如圖，在正六邊形ABCDEF中，與－＋相等的向量有________． ①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋. [答案]　① [解析]?。剑?； ＋＝＋＝≠； －＝≠； ＋＝≠. 8．已知|a|＝7，|b|＝2，且a∥b，則|a－b|＝________. [答案]　5或9 [解析]　當a與b方向相同時，|a－b|＝|a|－|b|＝7－2＝5； 當a與b方向相反時，|a－b|＝|a|＋|b|＝7＋2＝9. 9．在△OAB中，已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°，則|a－b|＝________. [答案]　4 [解析]　∵|a|＝|b|，∴OA＝OB.又∠AOB＝60°， ∴△ABO是等邊三角形，∴BA＝4， ∴|a－b|＝|－|＝||＝4. 三、解答題 10．在平行四邊形ABCD中，＝a，＝b，先用a、b表示向量和，并回答：當a、b分別滿足什么條件時，四邊形ABCD為矩形、菱形、正方形？ [解析]　由向量加法的平行四邊形法則，得＝a＋b，＝－＝a－b. 則有：當a、b滿足|a＋b|＝|a－b|時，平行四邊形的兩條對角線相等，四邊形ABCD為矩形； 當a、b滿足|a|＝|b|時，平行四邊形的兩條鄰邊相等，四邊形ABCD為菱形； 當a、b滿足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|時，四邊形ABCD為正方形． 11．已知|a|＝6，|b|＝14，|c|＝3，求|a＋b＋c|的最大值和最小值． [解析]　根據(jù)三角形法則，可知||b|－|a||≤|a＋b| ≤|a|＋|b|， ∴|a＋b＋c|≤|a＋b|＋|c|≤|a|＋|b|＋|c|＝23. 且當a、b、c同向時，|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|，此時|a＋b＋c|有最大值23. 又|a＋b＋c|≥||a＋c|－|b||， 當a、c同向且與b異向時，|a＋b＋c|最小，此時|a＋b＋c|有最小值5. ∴|a＋b＋c|的最大值為23，最小值為5. 12．如圖所示，已知在矩形ABCD中，||＝4，||＝8.設(shè)＝a，＝b，＝c，求|a－b－c|. [解析]　如圖，b＋c＝，a－b－c＝a－(b＋c)＝a－＝＋＝， 則|a－b－c|＝||＝＝8.