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1、
課時分層訓練(四十四)
A組 基礎達標
(建議用時:30分鐘)
一、填空題
1.已知點A(1,-2),B(m,2)且線段AB的垂直平分線的方程是x+2y-2=0,則實數(shù)m的值是________.
3 [因為線段AB的中點在直線x+2y-2=0上,代入解得m=3.]
2.(2016·北京高考改編)圓(x+1)2+y2=2的圓心到直線y=x+3的距離為________.
[圓心坐標為(-1,0),所以圓心到直線y=x+3即x-y+3=0的距離為==.]
3.若直線(a+1)x+2y=0與直線x-ay=1互相垂直,則實數(shù)a的值等于________.
1 [由×=-1,得a+1
2、=2a,故a=1.]
4.(2017·蘇州模擬)已知傾斜角為α的直線l與直線x+2y-3=0垂直,則cos的值為________.
[依題設,直線l的斜率k=2,
∴tan α=2,且α∈[0,π),
則sin α=,cos α=,
則cos=cos=sin 2α
=2sin αcos α=.]
5.已知直線3x+4y-3=0與直線6x+my+14=0平行,則它們之間的距離是________. 【導學號:62172242】
2 [∵=≠,∴m=8,
直線6x+my+14=0可化為3x+4y+7=0,
∴兩平行線之間的距離d==2.]
6.若直線l1:y=k(x-4)與直
3、線l2關于點(2,1)對稱,則直線l2經(jīng)過定點________.
(0,2) [直線l1:y=k(x-4)經(jīng)過定點(4,0),其關于點(2,1)對稱的點為(0,2),又直線l1:y=k(x-4)與直線l2關于點(2,1)對稱,故直線l2經(jīng)過定點(0,2).]
7.當00,
即x<0,y>0,從而兩直線的交點在第二象限.]
8.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則直線xsin A+ay+c=0與直線bx-ysin B+sin C=0的位置關
4、系是________. 【導學號:62172243】
垂直 [在△ABC中,由正弦定理=,得·=1.
又xsin A+ay+c=0的斜率k1=-,
bx-ysin B+sin C=0的斜率k2=,
因此k1·k2=·=-1,兩條直線垂直.]
9.經(jīng)過直線l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交點,且垂直于直線l3:3x-5y+6=0的直線l的方程為________.
5x+3y-1=0 [由方程組得l1,l2的交點坐標為(-1,2).
∵l3的斜率為,∴l(xiāng)的斜率為-,則直線l的方程為y-2=-(x+1),即5x+3y-1=0.]
10.l1,l2是分別經(jīng)過點A(1
5、,1),B(0,-1)的兩條平行直線,當l1與l2間的距離最大時,直線l1的方程是________.
x+2y-3=0 [當AB⊥l1時,兩直線l1與l2間的距離最大,由kAB==2,知l1的斜率k=-,
∴直線l1的方程為y-1=-(x-1),
即x+2y-3=0.]
二、解答題
11.已知△ABC的頂點A(5,1),AB邊上的中線CM所在直線方程為2x-y-5=0,AC邊上的高BH所在直線方程為x-2y-5=0,求直線BC的方程.
【導學號:62172244】
[解] 依題意知:kAC=-2,A(5,1),
∴l(xiāng)AC為2x+y-11=0,
聯(lián)立lAC、lCM得
∴C(
6、4,3).
設B(x0,y0),AB的中點M為,
代入2x-y-5=0,得2x0-y0-1=0,
∴∴B(-1,-3),
∴kBC=,
∴直線BC的方程為y-3=(x-4),
即6x-5y-9=0.
12.已知直線l經(jīng)過直線l1:2x+y-5=0與l2:x-2y=0的交點.
(1)若點A(5,0)到l的距離為3,求l的方程;
(2)求點A(5,0)到l的距離的最大值.
[解] (1)易知l不可能為l2,可設經(jīng)過兩已知直線交點的直線系方程為(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0.
∵點A(5,0)到l的距離為3,
∴=3,
則2λ2
7、-5λ+2=0,∴λ=2或λ=,
∴l(xiāng)的方程為x=2或4x-3y-5=0.
(2)由
解得交點P(2,1),如圖,過P作任一直線l,設d為點A到l的距離,則d≤PA(當l⊥PA時等號成立),
∴dmax=PA==.
B組 能力提升
(建議用時:15分鐘)
1.若點(m,n)在直線4x+3y-10=0上,則m2+n2的最小值是________.
4 [因為點(m,n)在直線4x+3y-10=0上,所以4m+3n-10=0.
欲求m2+n2的最小值可先求的最小值,
而表示4m+3n-10=0上的點(m,n)到原點的距離,如圖.當過原點的直線與直線4m+3n-10=0垂直時,原點
8、到點(m,n)的距離最小為2.所以m2+n2的最小值為4.]
2.(2017·南京模擬)已知平面上一點M(5,0),若直線上存在點P使PM=4,則稱該直線為“切割型直線”.下列直線中是“切割型直線”的是________(填序號).
①y=x+1;②y=2;③y=x;④y=2x+1.
②③ [設點M到所給直線的距離為d,①d==3>4,故直線上不存在點P到點M的距離等于4,不是“切割型直線”;②d=2<4,所以在直線上可以找到兩個不同的點P,使之到點M的距離等于4,是“切割型直線”;③d==4,所以直線上存在一點P,使之到點M的距離等于4,是“切割型直線”;④d==>4,故直線上不存在
9、點P,使之到點M的距離等于4,不是“切割型直線”.故填②③.]
3.已知兩直線l1:x+ysin α-1=0和l2:2x·sin α+y+1=0,求α的值,使得:
(1)l1∥l2;
(2)l1⊥l2.
[解] (1)法一:當sin α=0時,直線l1的斜率不存在,l2的斜率為0,顯然l1不平行于l2.
當sin α≠0時,k1=-,k2=-2sin α.
要使l1∥l2,需-=-2sin α,
即sin α=±.
所以α=kπ±,k∈Z,此時兩直線的斜率相等.
故當α=kπ±,k∈Z時,l1∥l2.
法二:由A1B2-A2B1=0,
得2sin2α-1=0,所以sin
10、α=±.
所以α=kπ±,k∈Z.
又B1C2-B2C1≠0,所以1+sin α≠0,即sin α≠-1.
故當α=kπ±,k∈Z時,l1∥l2.
(2)因為A1A2+B1B2=0是l1⊥l2的充要條件,
所以2sin α+sin α=0,即sin α=0,所以α=kπ,k∈Z.
故當α=kπ,k∈Z時,l1⊥l2.
4.已知直線l:(2a+b)x+(a+b)y+a-b=0及點P(3,4).
(1)證明直線l過某定點,并求該定點的坐標;
(2)當點P到直線l的距離最大時,求直線l的方程.
[解] (1)證明:直線l的方程可化為a(2x+y+1)+b(x+y-1)=0,
由得
∴直線l恒過定點(-2,3).
(2)設直線l恒過定點A(-2,3),當直線l垂直于直線PA時,點P到直線l的距離最大.
又直線PA的斜率kPA==,
∴直線l的斜率kl=-5.
故直線l的方程為y-3=-5(x+2),即5x+y+7=0.