課時分層訓練(五十五) A組　基礎達標 (建議用時：30分鐘) 一、填空題 1．(2017·鎮(zhèn)江期中)從甲、乙、丙3名候選學生中選取2名作為青年志愿者，則甲被選中的概率為________． 　[從甲、乙、丙3名候選學生中選取2名共有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)三種情況，甲被選中的概率P＝.] 2．(2017·無錫期中)某人拋擲質地均勻的骰子，其拋擲兩次的數(shù)字之和為7的概率是________． 　[拋擲兩次骰子共有36種不同的結果，其中數(shù)字之和為1的共有(1,6)，(6,1)，(2,5)，(5,2)，(3,4)，(4,3)，6種不同的結果，故所求事件的概率P＝＝.] 3．將2本不同的數(shù)學書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數(shù)學書相鄰的概率為________. 【導學號：62172305】 　[設兩本不同的數(shù)學書為a1，a2,1本語文書為b.則在書架上的擺放方法有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6種，其中數(shù)學書相鄰的有4種． 因此2本數(shù)學書相鄰的概率P＝＝.] 4．(2017·揚州模擬)從1,2,3,4,5這5個數(shù)中，隨機抽取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)的和為偶數(shù)的概率是________． 　[從5個數(shù)中隨機抽取2個不同的數(shù)，共有10種不同的結果，其中2個數(shù)的和為偶數(shù)，共有(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)4種不同的結果，故所求事件的概率P＝＝.] 5．同時拋擲三枚質地均勻、大小相同的硬幣一次，則至少有兩枚硬幣正面向上的概率為________． 　[所有可能的試驗結果有(上，上，上)，(上，上，下)，(上，下，上)，(下，上，上)，(下，下，下)，(下，下，上)，(下，上，下)，(上，下， 下)共8種．只有一枚正面向上的試驗結果只有3種，全部向下的1種，故所求事件的概率P＝1－＝.] 6．(2015·全國卷Ⅰ改編)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構成一組勾股數(shù)的概率為________． 　[從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)共有如下10個不同的結果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5)，所以概率為.] 7．在3張獎券中有一、二等獎各1張，另1張無獎．甲、乙兩人各抽取1張，兩人都中獎的概率是________． 　[記“兩人都中獎”為事件A， 設中一、二等獎及不中獎分別記為1,2,0，那么甲、乙抽獎結果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6種．其中甲、乙都中獎有(1,2)，(2,1)，共2種，所以P(A)＝＝.] 8．在集合A＝{2,3}中隨機取一個元素m，在集合B＝{1,2,3}中隨機取一個元素n，得到點P(m，n)，則點P在圓x2＋y2＝9內部的概率為________. 【導學號：62172306】 　[點P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6種情況，只有(2,1)，(2,2)這2個點在圓x2＋y2＝9的內部，所求概率為＝.] 9．在集合中任取一個元素，所取元素恰好滿足方程cos x＝的概率是________． 　[基本事件總數(shù)為10，滿足方程cos x＝的基本事件數(shù)為2，故所求概率為P＝＝.] 10．從集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數(shù)a，從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(1，－1)垂直的概率為________. 【導學號：62172307】 　[由題意知，向量m共有4×3＝12個， 由m⊥n，得m·n＝0，即a＝b，則滿足m⊥n的m有(3,3)，(5,5)共2個，故所求概率P＝＝.] 二、解答題 11．設甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會的運動員人數(shù)分別為27,9,18.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這三個協(xié)會中抽取6名運動員組隊參加比賽． (1)求應從這三個協(xié)會中分別抽取的運動員的人數(shù)； (2)將抽取的6名運動員進行編號，編號分別為A1，A2，A3，A4，A5，A6.現(xiàn)從這6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽． ①用所給編號列出所有可能的結果； ②設A為事件“編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到”，求事件A發(fā)生的概率． [解]　(1)應從甲、乙、丙三個協(xié)會中抽取的運動員人數(shù)分別為3,1,2. (2)①從6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽的所有可能結果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15種． ②編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到的所有可能結果為{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9種．因此，事件A發(fā)生的概率P(A)＝＝. 12．一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同．隨機有放回地抽取3次，每次抽取一張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c. (1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率； (2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率． [解]　(1)由題意知，(a，b，c)所有的可能為 (1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種． 設“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”為事件A， 則事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種． 所以P(A)＝＝. 因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率為. (2)設“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同“為事件B，則事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3種． 所以P(B)＝1－P()＝1－＝. 因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為. B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為________． 　[對函數(shù)f(x)求導可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要滿足題意需x2＋2ax＋b2＝0有兩個不等實根，即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b.又(a，b)的取法共有9種，其中滿足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6種，故所求的概率P＝＝.] 2．將號碼分別為1,2,3,4的四個小球放入一個袋中，這些小球僅號碼不同，其余完全相同，甲從袋中摸出一個小球，其號碼為a，放回后，乙從此口袋中再摸出一個小球，其號碼為b，則使不等式a－2b＋4＜0成立的事件發(fā)生的概率為________． 　[由題意知(a，b)的所有可能結果有4×4＝16個．其中滿足a－2b＋4＜0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)共4種結果． 故所求事件的概率P＝＝.] 3．某飲料公司對一名員工進行測試以便確定其考評級別．公司準備了兩種不同的飲料共5杯，其顏色完全相同，并且其中3杯為A飲料，另外2杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從5杯飲料中選出3杯A飲料．若該員工3杯都選對，則評為優(yōu)秀；若3杯選對2杯，則評為良好；否則評為合格．假設此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力． (1)求此人被評為優(yōu)秀的概率； (2)求此人被評為良好及以上的概率． [解]　將5杯飲料編號為：1,2,3,4,5，編號1,2,3表示A飲料，編號4,5表示B飲料，則從5杯飲料中選出3杯的所有可能情況為：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，可見共有10種． 令D表示此人被評為優(yōu)秀的事件，E表示此人被評為良好的事件，F(xiàn)表示此人被評為良好及以上的事件，則 (1)P(D)＝，即此人被評為優(yōu)秀的概率為. (2)P(E)＝，P(F)＝P(D)＋P(E)＝. ∴此人被評為良好及以上的概率為. 4．一個袋中有4個大小相同的小球，其中紅球1個，白球2個，黑球1個，現(xiàn)從袋中有放回地取球，每次隨機取一個． (1)求連續(xù)取兩次都是白球的概率； (2)假設取一個紅球記2分，取一個白球記1分，取一個黑球記0分，若連續(xù)取三次，則分數(shù)之和為4分的概率是多少？ [解]　(1)連續(xù)取兩次的基本事件有：(紅，紅)，(紅，白1)，(紅，白2)，(紅，黑)；(白1，紅)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，黑)；(白2，紅)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)；(黑，紅)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，共16個． 連續(xù)取兩次都是白球的基本事件有：(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4個． 故所求概率為＝. (2)連續(xù)取三次的基本事件有：(紅，紅，紅)，(紅，紅，白1)，(紅，紅，白2)，(紅，紅，黑)；(紅，白1，紅)，(紅，白1，白1)，(紅，白1，白2)，(紅，白1，黑)，…，共64個． 因為取一個紅球記2分，取一個白球記1分，取一個黑球記0分，若連續(xù)取三次，則分數(shù)之和為4分的基本事件有：(紅，白1，白1)，(紅，白1，白2)，(紅，白2，白1)，(紅，白2，白2)，(白1，紅，白1)，(白1，紅，白2)，(白2，紅，白1)，(白2，紅，白2)，(白1，白1，紅)，(白1，白2，紅)，(白2，白1，紅)，(白2，白2，紅)，(紅，紅，黑)，(紅，黑，紅)，(黑，紅，紅)，共15個． 故所求概率為.