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1、第第2課時等差數(shù)列課時等差數(shù)列第五章數(shù)列第五章數(shù)列教材回扣教材回扣 夯實雙基夯實雙基基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1.等差數(shù)列的基本問題等差數(shù)列的基本問題(1)定義定義如果一個數(shù)列從第如果一個數(shù)列從第_項起項起,每一項與它每一項與它的前一項的差等于的前一項的差等于_,那那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,2同一個常數(shù)同一個常數(shù)這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的_,通常用通常用字母字母_表示表示,定義的表達式為定義的表達式為_.(2)通項公式通項公式如果等差數(shù)列如果等差數(shù)列an的首項為的首項為a1,公差為公差為d,那么通項公式為那么通項公式為an_.公差公差dan1anda1(n1)

2、d(3)等差中項等差中項如果如果a,A,b成等差數(shù)列成等差數(shù)列,那么那么_叫做叫做a與與b的等差中項且的等差中項且_.A思考探究思考探究2.等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列已知數(shù)列an是等差數(shù)列是等差數(shù)列,Sn是其前是其前n項項和和.(1)aman(mn)d.(2)若若mnpq,則則_.特別地：若特別地：若mn2p,則則aman2ap.amanapaq(3)am,amk,am2k,am3k,仍是等差仍是等差數(shù)列數(shù)列,公差為公差為_.(4)數(shù)列數(shù)列Sm,S2mSm,S3mS2m,也是等也是等差數(shù)列差數(shù)列.kd課前熱身課前熱身1.(2010高考重慶卷高考重慶卷)在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中中,a

3、1a910,則則a5的值為的值為()A.5B.6C.8 D.10答案：答案：A2.(2011高考大綱全國卷高考大綱全國卷)設(shè)設(shè)Sn為等差數(shù)為等差數(shù)列列an的前的前n項和項和,若若a11,公差公差d2,Sk2Sk24,則則k()A.8 B.7C.6 D.5解析：選解析：選D.Sk2Skak1ak2a1kda1(k1)d2a1(2k1)d21(2k1)24k424,k5.3.(教材改編教材改編)在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中中Sn為其為其前前n項和項和,且且S312,a57,則則S8等于等于()A.31 B.52C.69 D.92答案：答案：B5.(2011高考遼寧卷高考遼寧卷)Sn為等差數(shù)列為等差數(shù)

4、列an的前的前n項和項和,S2S6,a41,則則a5_.答案：答案：1考點探究考點探究 講練互動講練互動考點考點1等差數(shù)列的判定等差數(shù)列的判定證明一個數(shù)列證明一個數(shù)列an是等差數(shù)列的基本方是等差數(shù)列的基本方法有兩種：一是利用等差數(shù)列的定義法有兩種：一是利用等差數(shù)列的定義法法,即證明即證明an1and(nN*),二是利二是利用等差中項法用等差中項法,即證明：即證明：an2an2an1(nN*).在在選擇方法時選擇方法時,要根據(jù)題目條件的特點要根據(jù)題目條件的特點,如如果能夠求出數(shù)列的通項公式果能夠求出數(shù)列的通項公式,則可以利則可以利用定義法用定義法,否則否則,可以利用等差中項法可以利用等差中項法.

5、 已知數(shù)列已知數(shù)列an的通項公式的通項公式anpn2qn(p、qR,且且p、q為常數(shù)為常數(shù)).(1)當當p和和q滿足什么條件時滿足什么條件時,數(shù)列數(shù)列an是等是等差數(shù)列差數(shù)列?(2)求證：對任意實數(shù)求證：對任意實數(shù)p和和q,數(shù)列數(shù)列an1an是等差數(shù)列是等差數(shù)列.【思路分析思路分析】(1)直接運用定義證明直接運用定義證明;(2)視視an1an為一整體再用定義法即可為一整體再用定義法即可.例例1【解解】(1)an1anp(n1)2q(n1)(pn2qn)2pnpq,要要使使an是等差數(shù)列是等差數(shù)列,則則2pnpq應(yīng)是應(yīng)是一個與一個與n無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù),所以只有所以只有2p0,即即p0.故當故

6、當p0時時,數(shù)列數(shù)列an是等差數(shù)列是等差數(shù)列.(2)證明：證明：an1an2pnpq,an2an12p(n1)pq,而而(an2an1)(an1an)2p為一為一個常數(shù)個常數(shù).an1an是等差數(shù)列是等差數(shù)列.考點考點2等差數(shù)列的基本運算等差數(shù)列的基本運算(1)等差數(shù)列可以由首項等差數(shù)列可以由首項a1和公差和公差d確定確定,所有關(guān)于等差數(shù)列的計算和證明所有關(guān)于等差數(shù)列的計算和證明,都可都可圍繞圍繞a1和和d進行進行.(2)對于等差數(shù)列問題一般要給出兩個對于等差數(shù)列問題一般要給出兩個條件條件,可以通過列方程求出可以通過列方程求出a1,d.如果再如果再給出第三個條件就可以完成給出第三個條件就可以完成

7、an,a1,d,n,Sn的的“知三求二知三求二”問題問題. 已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an滿足滿足a1020,a2010,求求a30.例例2【方法小結(jié)方法小結(jié)】(1)用定義列方程組法用定義列方程組法求解求解.(2)an為為n的一次型函數(shù)的一次型函數(shù),利用函數(shù)的幾利用函數(shù)的幾何意義求解何意義求解.例例3【思路分析思路分析】(1)利用公式先求利用公式先求a1和和d,再求再求an和和Sn;(2)利用裂項法求利用裂項法求bn的前的前n項和項和Tn.互動探究互動探究1.已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn,且且a35,S15225.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項的通項an;(2)設(shè)設(shè)bn2

8、an2n,求數(shù)列求數(shù)列bn的前的前n項項和和Tn.考點考點3等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列已知數(shù)列an是等差數(shù)列是等差數(shù)列,Sn是其前是其前n項項和和.(1)若若mnpq,則則amanapaq.若若mn2p,則則aman2ap.(2)am,amk,am2k,am3k,仍是等差仍是等差數(shù)列數(shù)列,公差為公差為kd.例例4【思路分析思路分析】(1)可利用前可利用前6項與后項與后6項的和及等差數(shù)列的性質(zhì)求出項的和及等差數(shù)列的性質(zhì)求出a1an的的值值,(2)可先利用中項公式求解可先利用中項公式求解,然后利用然后利用前前n項和公式求出項數(shù)項和公式求出項數(shù)n.【名師點評名師點評】(1)中解法運用了等差

9、數(shù)中解法運用了等差數(shù)列 的 性 質(zhì)列 的 性 質(zhì) , 若若 m n p q(m,n,p,qN*),則則amanapaq,從從中我們可以體會運用性質(zhì)解決問題的方中我們可以體會運用性質(zhì)解決問題的方便與簡潔便與簡潔,應(yīng)注意運用應(yīng)注意運用;(2)小題中小題中,直接得出直接得出Sn(3n1)k,Tn(2n3)k,然后求然后求a8,b8.這種做法是錯誤這種做法是錯誤的的.互動探究互動探究方法技巧方法技巧1.等差數(shù)列的判斷方法等差數(shù)列的判斷方法(1)定義法：定義法：an 1and(d是常是常數(shù)數(shù))an是等差數(shù)列是等差數(shù)列.(2)等差中項公式：等差中項公式：2an1anan2(nN*)an是等差數(shù)列是等差數(shù)列

10、.(3)通項公式：通項公式：anpnq(p,q為常數(shù)為常數(shù))an是等差數(shù)列是等差數(shù)列.(4)前前n項和公式：項和公式：SnAn2Bn(A、B為常數(shù)為常數(shù))an是等差數(shù)列是等差數(shù)列.2.對于等差數(shù)列有關(guān)計算問題主要圍繞對于等差數(shù)列有關(guān)計算問題主要圍繞著通項公式和前著通項公式和前n項和公式項和公式,在兩個公式在兩個公式中共五個量中共五個量a1、d、n、an、Sn,已知其已知其中三個量可求出剩余的量中三個量可求出剩余的量,而而a1與與d是最基本的是最基本的,它可以確定等差數(shù)列它可以確定等差數(shù)列的通項公式和前的通項公式和前n項和公式項和公式.3.要注意等差數(shù)列通項公式及前要注意等差數(shù)列通項公式及前n項

11、和公式項和公式的靈活應(yīng)用的靈活應(yīng)用,如如anam(nm)d,S2n1(2n1)an等等.4.在遇到三個數(shù)成等差數(shù)列問題時在遇到三個數(shù)成等差數(shù)列問題時,可設(shè)三可設(shè)三個數(shù)為個數(shù)為(1)a,ad,a2d;(2)ad,a,ad;(3)ad,ad,a3d等等,可視具體情況可視具體情況而定而定.失誤防范失誤防范1.如果如果pqrs,則則apaqaras,一般地一般地,apaqapq,必須是兩項相加必須是兩項相加,當然可以是當然可以是aptapt2ap.2.等差數(shù)列的通項公式通常是等差數(shù)列的通項公式通常是n的一次的一次函數(shù)函數(shù),除非公差除非公差d0.3.公差不為公差不為0的等差數(shù)列的前的等差數(shù)列的前n項和公

12、式項和公式是是n的二次函數(shù)的二次函數(shù),且常數(shù)項為且常數(shù)項為0.若某數(shù)列若某數(shù)列的前的前n項和公式是項和公式是n的常數(shù)項不為的常數(shù)項不為0的二的二次函數(shù)次函數(shù),則該數(shù)列不是等差數(shù)列則該數(shù)列不是等差數(shù)列,它從第它從第二項起成等差數(shù)列二項起成等差數(shù)列.考向瞭望考向瞭望 把脈高考把脈高考命題預(yù)測命題預(yù)測通過對近幾年高考試題的統(tǒng)計分析不通過對近幾年高考試題的統(tǒng)計分析不難發(fā)現(xiàn)難發(fā)現(xiàn),等差數(shù)列作為最基本的數(shù)列模等差數(shù)列作為最基本的數(shù)列模型之一型之一,一直是高考重點考查的對象一直是高考重點考查的對象.難難度屬中低檔的題目較多度屬中低檔的題目較多,但也有難度偏大的題目但也有難度偏大的題目.其中其中,選擇題、選擇

13、題、填空題突出填空題突出“小、巧、活小、巧、活”,主要以通項主要以通項公式、前公式、前n項和公式為載體項和公式為載體,結(jié)合等差數(shù)結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)考查分類討論、化歸與方程等列的性質(zhì)考查分類討論、化歸與方程等思想思想,要注重通性、通法要注重通性、通法;解答題解答題“大而大而全全”,注重題目的綜合與新穎注重題目的綜合與新穎,突出對邏輯突出對邏輯思維能力的考查思維能力的考查.預(yù)測預(yù)測2013年高考仍將以等差數(shù)列的定年高考仍將以等差數(shù)列的定義、通項公式和前義、通項公式和前n項和公式為主要考項和公式為主要考點點,重點考查學生的運算能力與邏輯推重點考查學生的運算能力與邏輯推理能力理能力.規(guī)范解答規(guī)范解答例例【名師點評名師點評】此題重點考查了等差數(shù)此題重點考查了等差數(shù)列的基本運算和利用錯位相減法求和列的基本運算和利用錯位相減法求和,屬容易題屬容易題.