第十九章 導數及其應用 19.1 函數的極限 基礎練習 1．判斷下列函數的極限是否存在，并說明理由： （1）． （2）．（3）． 解：（1） （3）（理由說明略）． 2．根據函數極限的定義，求下列函數的極限： （1）． （2）． 解：（1）．（2）． 3．求下列函數的極限： （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． （7）． （8）． 解：． （2）不存在． （3）． （4）． （5）． （6）． （7）． （8）． 能力提高 4．設正數滿足，求． 解： ． 5．把展開成關于的多項式，其各項系數和為，求． 解：令，得到各項系數和：． 則． 6．若，求的值． 解：， ． 則，，得出，． 7．設為多項式，且，求的表達式． 解：，， ，則的表達式為． 8．已知函數，試確定常數，使存在． 解：，則． 9．設函數，當取什么值時，存在？ 解：，當時，存在． 19.2 兩個重要極限 1．求下列函數的極限： （1）． （2）． （3）． （4）． 解：（1）． （2）． （3） ． （4）． 2．證明． 證明：， 3．證明． 證明：令，則，當時，，． 19.3 函數的連續(xù)性 1．試判斷下列函數在給定點處是連續(xù)？并說明理由． （1），在處． （2），在處； （3），點． 解：（1）左、右極限都存在，，，但不相等，在處不連續(xù)． （2）左極限都存在，右極限不存在，在處不連續(xù)． （3），，所以函數在處不連續(xù)． 2．求下列函數的極限： （1）． （2）． （3）． （4）． 解：（1）． （2）． （3）， ，則． （4）， 則． 3．求函數在處的極限： （1）． （2）． （3）， （4）． （5）． （6）． 解：（1），則極限為． （2）極限為． （3）極限為． （4）極限為． （5）極限為． （6）不存在，則極限不存在． 4．求下列函數的極限： （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． 解：（1）． （2）． （3）． （4）． （5）， 則． （6） ． 能力提高 5．求的值． 解：， ， ． 6．研究函數的連續(xù)性． 解：當時，； 當時，； 當時，，則， 由于，，則不存在； 又，則不存在． 則在處不連續(xù)，在定義域內的其余點都連續(xù)，即在區(qū)間、（-1，1）和（1，）上分別連續(xù)． 7．討論上黎曼函數的連續(xù)性． 證明：設為無理數，任給（不妨設）， 滿足正數顯然只有有限個（但至少有一個，如）， 從而使的有理數只有有限個（至少有一個，如），設為，取 ，（顯然） 則對任何，當為有理數時有，當為無理數時． 于是，對任何，總有， 這就證明了在無理點處連續(xù)． 現設為（0，1）內任一有理數，取，對任何正數（無論多少小）， 在內總可取無理數，使得， 所以在任何有理點處都不連續(xù)． 19.4 導數的概念與運算 1．求下列函數的導數： （1）． （2）． （3）． （4）． 解：（1）．（2）．（3）．（4）． 2．求下列函數的導數： （1）． （2）． （3）． （4）． 解：（1），（2）． （3），（4）． 3．求下列函數的導數： （1）． （2）． （3）． （4）． 解：（1）． （2）． （3）． （4）． 能力提高 4．如圖19-5，函數的圖像是折線段，其中的坐標分別為（0，4），（2，0），（6，4），則__________；函數在處的導數__________． 解：，． 5．若，求． 解：． 6．求下列函數的導數： （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． 解：（1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． 7．已知函數是可導的周期函數，試救證其導函數也為周期函數． 證明：． 8．若可導函數是奇函數，求證：其導函數是偶函數． 證明：函數是奇函數，所以， 所以導函數是偶函數，顯然得證． 19.5 導數的應用 基礎練習 1．（1）曲線在點（1，-1）處的切線方程為__________． （2）過曲線上點且與過點的切線夾角最大的直線的方程為__________． （3）曲線在點處切線的斜率為__________． （4）函數的曲線上點處的切線與直線的夾角為，則點的坐標為__________． （5）曲線與在交點處的切線夾角是__________． 解：（1），則切線方程為． （2），則夾角最大為，所以過曲線上點且與過點的切線夾角最大的直線的斜率為，則直線方程為：． （3）． （4）設切線的斜率為，，，， 因為，，，所以點的坐標為或． （5）． ，． 則夾角是． 2．（1）設函數的圖像與軸交點為點，且曲線在點處的切線方程為．若函數在處取得極值0，試確定函數的解析式． （2）若函數在區(qū)間內恒有，則求函數的上的最小值． （3）求曲線的極值點． 解：（1）令，則， 則， ， 解得：， 則函數的解析式為． （2）函數在區(qū)間內恒有，所以在區(qū)間單調遞減，因此函數在上的最小值為． （3），因此在時有極小值． 3．求下列函數的單調區(qū)間： （1）． （2）． （3）． （4）． 解：（1），單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為． （2），單調遞增區(qū)間為（-1，1），單調遞減區(qū)間為． （3），單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為． （4），單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為． 4．求下列函數的極值或最值： （1）． （2），． （3）． （4）． 解：（1），單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為（-1，3）， 當時取到極大值，當時取到極小值． （2），單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為， 當時取到極大值，當時取到極小值． 當時取到最小值，當時取到最大值； （3），單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為， 當時取到極小值． （4），單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為， 當時取到極小值． 5．當時，證明下列不等式成立： （1）． （2）． 證明：（1）令，， 所以在區(qū)間上單調遞增，則， 則，顯然得證． （2）令，， ,,， 則在區(qū)間上單調遞減，所以， 則在區(qū)間上單調遞增，所以， 則在區(qū)間上單調遞增，所以， 則在區(qū)間上單調遞增，所以， 即得證． 6．設（為自然對數的底，為常數且，），則何時取得極小值？ 解：， 當時，時，取得極小值；當時，時，取得極小值． 7．求拋物線上與點距離最近的點． 解：任取拋物線上一點，則． ，則在單調遞減，單調遞增， 則拋物線上與點距離最近的點是（2，2）． 能力提高 8．已知函數在處取得極值． （1）討論和是函數的極大值還是極小值． （2）過點作曲線的切線，求此切線方程． 解：（1）函數在處取得極值的解為，則， 則是極大值，是極小值． （2）設切點為，則切線方程為． 過點，則， 則切點為，則切線方程為． 9．設函數在處取得極值，且曲線在點處的切線垂直于直線．（1）求的值．（2）若函數，討論的單調性． 解：（1）因，故； 又在處取得極限值，故，從而． 由曲線在處的切線與直線相互垂直可知： 該切線斜率為2，即，有，從而． （2）由（1）知，，． 令，有． ①當，即當時，在上恒成立，故函數在上為增函數． ②當，即當時，， 時，在上為增函數． ③，即當時，方程有兩個不相等實根， ，． 當是，故在上為增函數， 當時，，故在上為減函數， 10．已知函數，且．（1）試用含的代數式表示．（2）求的單調區(qū)間．（3）令，設函數在處取得極值，記點，，證明：線段與曲線存在異于的公共點． 解：（1）依題意，得，由得． （2）由（1）得， 故， 令，則或． ①當時， 當變化時，與的變化情況如下表： + - + 單調遞增 單調遞減 單調遞增 由此得，函數的單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為． ②由時，，此時，恒成立，且僅在處，故函數的單調區(qū)間為． ③當時，，同理可得函數的單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為． 綜上： 當時，函數的單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為； 當時，函數的單調增區(qū)間為； 當時，函數的單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為． （3）當時，得，由，得，． 由（2）得的單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為（-1，3）， 所以函數在，處取得極值． 故，．所以直線的方程為． 由，得． 令， 易得，，而的圖像在（0，2）內是一條連續(xù)不斷的曲線， 故在（0，2）內存在零點，這表明線段與曲線有異于，的公共點． 11．設定義在上的函數，當時，取得極大值，并且函數的圖像關于軸對稱． （1）求的表達式． （2）試在函數的圖像上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在區(qū)間[-1，1]上． （3）求證：． 解：（1）由于為偶函數，則， 則， 則對一切恒成立， 則，則， 又當時，取得極大值， 則，解得，則，． （2）設所求兩點的橫坐標為，，則， 又由于，，則，， 則，中有一個為，一個為-1， 則或，則所求的兩點為（0，0）與或（0，0）與． （3）證明：易知，． 當時，；當時，． 則在為減函數，在上為增函數， 又，，，而在上為奇函數， 則在上最大值為，最小值為，即， 則，， 則． 12．已知函數， （1）若，試求函數的值域． （2）若，，求證：． （3）若，，，猜想與的大小關系（不必寫出比較過程）． 解：（1）當時，，則為增函數． 又在區(qū)間上連續(xù)，所以，求得，即的值域為． （2）設． 即，， 由于，，則，由，得， 則當時，，為減函數，當時，，為增函數． 由于在區(qū)間上連續(xù)，則為的最小值 對有，因而． （3）在題設條件下，當為偶數時，， 當為奇數時，．