課時分層訓練(五十四) A組　基礎達標 (建議用時：30分鐘) 一、填空題 1．有一個游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、南、西、北四個方向前進，每人一個方向．事件“甲向南”與事件“乙向南”是________事件． 互斥　[由于每人一個方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不可能的，故是互斥事件．] 2．從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件，設事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為________． 0．35　[∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65， ∴事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.] 3．給出下列三個命題，其中正確命題有________個． ①有一大批產(chǎn)品，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品；②做7次拋硬幣的試驗，結果3次出現(xiàn)正面，因此正面出現(xiàn)的概率是；③隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率． 0　[①錯，不一定是10件次品；②錯，是頻率而非概率；③錯，頻率不等于概率，這是兩個不同的概念．] 4．已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結果． 經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)： 907　966　191　925　271　932　812　458　569 683　431　257　393　027　556　488　730　113 537　989 據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為________. 【導學號：62172300】 　[20組隨機數(shù)中，恰有兩次命中的有5組，因此該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為P＝＝.] 5．(2017·云南昆明3月月考)中國乒乓球隊中的甲、乙兩名隊員參加奧運會乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率為，乙奪得冠軍的概率為，那么中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為________． 　[由于事件“中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事件“甲奪得冠軍”和“乙奪得冠軍”，但這兩個事件不可能同時發(fā)生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式進行計算，即中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為＋＝.] 6．某袋中有編號為1,2,3,4,5,6的6個球(小球除編號外完全相同)，甲先從袋中摸出一個球，記下編號后放回，乙再從袋中摸出一個球，記下編號，則甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率是________． 　[設a，b分別為甲、乙摸出球的編號．由題意，摸球試驗共有n＝6×6＝36種不同結果，滿足a＝b的基本事件共有6種， 所以摸出編號不同的概率P＝1－＝.] 7.如圖54­1所示的莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數(shù)字被污損，則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率是________. 【導學號：62172301】 圖54­1 　[設被污損的數(shù)字為x，則 甲＝(88＋89＋90＋91＋92)＝90， 乙＝(83＋83＋87＋99＋90＋x)， 若甲＝乙，則x＝8. 若甲>乙，則x可以為0,1,2,3,4,5,6,7， 故P＝＝.] 8．拋擲一枚均勻的正方體骰子(各面分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過2”，則P(A＋B)＝________. 　[將事件A＋B分為：事件C“朝上一面的數(shù)為1,2”與事件D“朝上一面的數(shù)為3,5”． 則C，D互斥， 且P(C)＝，P(D)＝， ∴P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝.] 9．在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3，則下列說法正確的是________． ①A＋B與C是互斥事件，也是對立事件； ②B＋C與D是互斥事件，也是對立事件； ③A＋C與B＋D是互斥事件，但不是對立事件； ④A與B＋C＋D是互斥事件，也是對立事件． ④　[由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一個必然事件，故其事件的關系可由如圖所示的Venn圖表示，由圖可知，任何一個事件與其余3個事件的和事件必然是對立事件，任何兩個事件的和事件與其余兩個事件的和事件也是對立事件，④正確．] 10．若隨機事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實數(shù)a的取值范圍是________． 　[由題意可知 解得<a≤.] 二、解答題 11．(2015·北京高考節(jié)選)某超市隨機選取1 000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計表，其中“√”表示購買，“×”表示未購買. 商品 顧客人數(shù)　　　 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × (1)估計顧客同時購買乙和丙的概率； (2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率． [解]　(1)從統(tǒng)計表可以看出，在這1 000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙，所以顧客同時購買乙和丙的頻率為＝0.2. (2)從統(tǒng)計表可以看出，在這1 000位顧客中，有100位顧客同時購買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品，所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為＝0.3. 12．某班選派5人，參加學校舉行的數(shù)學競賽，獲獎的人數(shù)及其概率如下： 獲獎人數(shù) 0 1 2 3 4 5 概率 0.1 0.16 x y 0.2 z (1)若獲獎人數(shù)不超過2人的概率為0.56，求x的值； (2)若獲獎人數(shù)最多4人的概率為0.96，最少3人的概率為0.44，求y，z的值. 【導學號：62172302】 [解]　記事件“在競賽中，有k人獲獎”為Ak(k∈N，k≤5)，則事件Ak彼此互斥． (1)∵獲獎人數(shù)不超過2人的概率為0.56， ∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56， 解得x＝0.3. (2)由獲獎人數(shù)最多4人的概率為0.96，得 P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04. 由獲獎人數(shù)最少3人的概率為0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44， 即y＋0.2＋0.04＝0.44， 解得y＝0.2. B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．擲一個骰子的試驗，事件A表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點”，事件B表示“出現(xiàn)小于5的點數(shù)”，若表示B的對立事件，則一次試驗中，事件A＋發(fā)生的概率為________． 　[擲一個骰子的試驗有6種可能結果． 依題意P(A)＝＝，P(B)＝＝， ∴P()＝1－P(B)＝1－＝. ∵表示“出現(xiàn)5點或6點”的事件， 因此事件A與互斥， 從而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.] 2．某城市2017年的空氣質(zhì)量狀況如表所示： 污染指數(shù)T 30 60 100 110 130 140 概率P 其中污染指數(shù)T≤50時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50<T≤100時，空氣質(zhì)量為良；100<T≤150時，空氣質(zhì)量為輕微污染，則該城市2017年空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率為________． 　[由題意可知2017年空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率為P＝＋＋＝.] 3．某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統(tǒng)計如下： 賠付金額(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000 車輛數(shù)(輛) 500 130 100 150 120 (1)若每輛車的投保金額均為2 800元，估計賠付金額大于投保金額的概率； (2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4 000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4 000元的概率． [解]　(1)設A表示事件“賠付金額為3 000元”，B表示事件“賠付金額為4 000元”，以頻率估計概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12. 由表格知，賠付金額大于投保金額即事件A＋B發(fā)生， 且A，B互斥， 所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27， 故賠付金額大于投保金額的概率為0.27. (2)設C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4 000元”，由已知，樣本車輛中車主為新司機的有0.1×1 000＝100(輛)，而賠付金額為4 000元的車輛中，車主為新司機的有0.2×120＝24(輛)， 所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4 000元的頻率為＝0.24， 因此，由頻率估計概率得P(C)＝0.24. 4．不透明袋中有3個白球，3個黑球，從中任意摸出3個球，求下列事件發(fā)生的概率： (1)摸出1個或2個白球； (2)至少摸出1個白球． [解]　將白球分別編號為1,2,3，黑球分別編號為4,5,6，則從6個球中任意摸出3個球，結果如下： 三白為(1,2,3)； 兩白一黑為(1,2,4)，(1,2,5)，(1,2,6)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,3,6)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,3,6)；一白兩黑為(1,4,5)，(1,4,6)，(1,5,6)，(2,4,5)，(2,4,6)，(2,5,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(3,5,6)；三黑為(4,5,6)． 共有20種不同的結果． 從6個球中任取3個，記“恰有1個白球”為事件A1，“恰有2個白球”為事件A2，“恰有3個黑球”為事件B，事件A1與A2為互斥事件，則 (1)摸出1個或2個白球的概率P1＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝. (2)“至少摸出一個白球”的對立事件為“摸出的3個球都是黑球”，所以所求概率P2＝1－P(B)＝1－＝.