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1、第第19講講全等三角形全等三角形 第第19講講 考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)考點(diǎn)1 1 全等圖形及全等三角形全等圖形及全等三角形 全等圖形全等圖形能夠完全重合的兩個(gè)圖形就是能夠完全重合的兩個(gè)圖形就是_全等圖形的形狀和全等圖形的形狀和_完全相同完全相同全等三全等三角形角形能夠完全重合的兩個(gè)三角形就是全等三能夠完全重合的兩個(gè)三角形就是全等三角形角形說(shuō)明說(shuō)明完全重合有兩層含義：完全重合有兩層含義：(1)(1)圖形的形狀相同；圖形的形狀相同；(2)(2)圖形的大小相圖形的大小相等等全等圖形全等圖形 大小大小第第19講講 考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)考點(diǎn)2 2 全等三角形的性質(zhì)全等三角形的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)

2、1 1全等三角形的對(duì)應(yīng)邊全等三角形的對(duì)應(yīng)邊_性質(zhì)性質(zhì)2 2全等三角形的對(duì)應(yīng)角全等三角形的對(duì)應(yīng)角_性質(zhì)性質(zhì)3 3全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高_(dá)性質(zhì)性質(zhì)4 4全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線_性質(zhì)性質(zhì)5 5 全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線_相等相等 相等相等 相等相等 相等相等 相等相等 考點(diǎn)考點(diǎn)3 3 全等三角形的判定全等三角形的判定 第第19講講 考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)聚焦基本基本判判定方定方法法1.三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為SSS)2.兩個(gè)角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全兩個(gè)角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)

3、相等的兩個(gè)三角形全等等(簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為_(kāi) )3.兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等角形全等(簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為_(kāi) )4.兩條邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全兩條邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等等(簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為_(kāi) )5.斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等全等(簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為_(kāi) )ASA AAS SAS HL 第第19講講 考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)聚焦拓展延拓展延伸伸滿(mǎn)足下列條件的三角形是全等三角形：滿(mǎn)足下列條件的三角形是全等三角形：(1)有兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；有兩邊和其中一邊上

4、的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；(2)有兩邊和第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；有兩邊和第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；(3)有兩角和其中一角的平分線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；有兩角和其中一角的平分線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；(4)有兩角和第三個(gè)角的平分線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；有兩角和第三個(gè)角的平分線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；(5)有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的銳角有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的銳角(或鈍角或鈍角)三角形三角形全等；全等；(6)有兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的銳角有兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的銳角(或鈍角或鈍角)三角形全三角形全等等總結(jié)總結(jié)判定三角形全等，無(wú)

5、論哪種方法，都要有三組元素對(duì)應(yīng)相等，判定三角形全等，無(wú)論哪種方法，都要有三組元素對(duì)應(yīng)相等，且其中最少要有一組對(duì)應(yīng)邊相等且其中最少要有一組對(duì)應(yīng)邊相等考點(diǎn)考點(diǎn)4 4 利用利用“尺規(guī)尺規(guī)”作三角形的類(lèi)型作三角形的類(lèi)型 第第19講講 考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)聚焦1已知三角形的三邊，求作三角形已知三角形的三邊，求作三角形2已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形形3已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形形4已知三角形的兩角及其其中一角的對(duì)邊，已知三角形的兩角及其其中一角的對(duì)邊，求作三角形求作三角形5已知直角三角形一條直角邊和斜邊，求已知直角三角形一條直角

6、邊和斜邊，求作三角形作三角形考點(diǎn)考點(diǎn)5 5 角平分線的性質(zhì)與判定角平分線的性質(zhì)與判定 第第19講講 考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)聚焦性質(zhì)性質(zhì)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的_相相等等判定判定角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的這個(gè)角的_上上距離距離 平分線平分線 第第19講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例 類(lèi)型之一全等三角形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用類(lèi)型之一全等三角形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用命題角度：命題角度：1. 利用利用SSS、ASA、AAS、SAS、HL判定三角形全等；判定三角形全等；2. 利用全等三角形的性質(zhì)解決線段或角之間的關(guān)系與計(jì)算問(wèn)題利用全等三角形的

7、性質(zhì)解決線段或角之間的關(guān)系與計(jì)算問(wèn)題例例1 2012重慶重慶 已知：如圖已知：如圖191，ABAE，12，B E，求證：，求證：BCED.圖圖191第第19講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例第第19講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例 1 1解決全等三角形問(wèn)題的一般思路：先用全等三解決全等三角形問(wèn)題的一般思路：先用全等三角形的性質(zhì)及其他知識(shí)，尋求判定一對(duì)三角形全等的條角形的性質(zhì)及其他知識(shí)，尋求判定一對(duì)三角形全等的條件；再用已判定的全等三角形的性質(zhì)去解決其他問(wèn)件；再用已判定的全等三角形的性質(zhì)去解決其他問(wèn)題即由已知條件題即由已知條件( (包含全等三角形包含全等三角形) )判定新三角形全等、判定新三角形全等、相應(yīng)的線段或角的

8、關(guān)系；相應(yīng)的線段或角的關(guān)系； 2 2軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等；軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等； 3 3利用全等三角形性質(zhì)求角的度數(shù)時(shí)注意挖掘條件，利用全等三角形性質(zhì)求角的度數(shù)時(shí)注意挖掘條件，例如對(duì)頂角相等、互余、互補(bǔ)等例如對(duì)頂角相等、互余、互補(bǔ)等 類(lèi)型之二全等三角形開(kāi)放性問(wèn)題類(lèi)型之二全等三角形開(kāi)放性問(wèn)題 命題角度：命題角度：1. 1. 三角形全等的條件開(kāi)放性問(wèn)題；三角形全等的條件開(kāi)放性問(wèn)題；2. 2. 三角形全等的結(jié)論開(kāi)放性問(wèn)題三角形全等的結(jié)論開(kāi)放性問(wèn)題第第19講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例圖圖192 例例2 2012義烏義烏 如圖如圖192，在，在ABC中，點(diǎn)中，點(diǎn)D是是BC的的中

9、點(diǎn)，作射線中點(diǎn)，作射線AD，在線段，在線段AD及其延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn)及其延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn)E、F，連接，連接CE、BF.添加一個(gè)條件，使得添加一個(gè)條件，使得BDF CDE，并，并加以證明你添加的條件是加以證明你添加的條件是_(不添加輔助線不添加輔助線)DEDF 第第19講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例第第19講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例由于判定全等三角形的方法很多，所以題目中常給出由于判定全等三角形的方法很多，所以題目中常給出( (有有些是推出些是推出) )兩個(gè)條件，讓同學(xué)們?cè)偬砑右粋€(gè)條件，得出全兩個(gè)條件，讓同學(xué)們?cè)偬砑右粋€(gè)條件，得出全等，再去解決其他問(wèn)題這種題型可充分考查學(xué)生對(duì)全等，再去解決其他問(wèn)題這種題型可充

10、分考查學(xué)生對(duì)全等三角形的掌握的牢固與靈活程度等三角形的掌握的牢固與靈活程度 類(lèi)型之三類(lèi)型之三 利用全等三角形設(shè)計(jì)測(cè)量方案利用全等三角形設(shè)計(jì)測(cè)量方案 例例3 3 20122012柳州柳州 如圖如圖193，小強(qiáng)利用全等三角形的知，小強(qiáng)利用全等三角形的知識(shí)測(cè)量池塘兩端識(shí)測(cè)量池塘兩端M、N的距離，如果的距離，如果PQO NMO，則，則只需測(cè)出其長(zhǎng)度的線段是只需測(cè)出其長(zhǎng)度的線段是()APO BPQ CMO DMQ第第19講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例命題角度：命題角度：全等三角形的判定全等三角形的判定 圖圖193B 第第19講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例 解析解析 要想利用要想利用PQOPQONMONMO求得求得MNM

11、N的長(zhǎng)的長(zhǎng)，只需求得線段，只需求得線段PQPQ的長(zhǎng)，故選的長(zhǎng)，故選B.B. 類(lèi)型之四角平分線類(lèi)型之四角平分線 例例4 4 (1)班同學(xué)上數(shù)學(xué)活動(dòng)課，利用角尺平分一個(gè)角班同學(xué)上數(shù)學(xué)活動(dòng)課，利用角尺平分一個(gè)角(如圖如圖194所示所示)設(shè)計(jì)了如下方案：設(shè)計(jì)了如下方案：()AOB是一個(gè)任意角，將角尺的是一個(gè)任意角，將角尺的直角頂點(diǎn)直角頂點(diǎn)P介于射線介于射線OA、OB之間，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的之間，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與刻度與M、N重合，即重合，即PMPN，過(guò)角尺頂點(diǎn)，過(guò)角尺頂點(diǎn)P的射線的射線OP就是就是AOB的平分線的平分線()AOB是一個(gè)任意角，在邊是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分上分別

12、取別取OMON，將角尺的直角頂點(diǎn)，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線介于射線OA、OB之間，移之間，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即重合，即PMPN，過(guò)角，過(guò)角尺頂點(diǎn)尺頂點(diǎn)P的射線的射線OP就是就是AOB的平分線的平分線 第第19講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例命題角度：命題角度：(1)角平分線的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；(2)角平分線的判定角平分線的判定第第19講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例(1)方案方案()、方案、方案()是否可行？若可行，請(qǐng)證是否可行？若可行，請(qǐng)證明；若不可行，請(qǐng)說(shuō)明理由；明；若不可行，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)在方案在方案()PMPN的情況下，繼續(xù)移動(dòng)角尺的情況下，繼續(xù)移動(dòng)角尺，同時(shí)使，同時(shí)使PMOA，PNOB.此方案是否可行？請(qǐng)此方案是否可行？請(qǐng)說(shuō)明理由說(shuō)明理由圖圖194第第19講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例第第19講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例(2)當(dāng)當(dāng)AOB是直角時(shí)，方案是直角時(shí)，方案()可行可行四邊形內(nèi)角和為四邊形內(nèi)角和為360，又若，又若PMOA，PNOB，則，則OMPONP90，MPN90，AOB90.若若PMOA，PNOB，且且PMPN，OP為為AOB的平分線的平分線當(dāng)當(dāng)AOB不為直角時(shí)，此方案不可行不為直角時(shí)，此方案不可行因四邊形內(nèi)角和為因四邊形內(nèi)角和為360，若，若AOB不為直角，不為直角，則則PM、PN不可能垂直不可能垂直O(jiān)A、OB.