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懸臂梁固有頻率的計算 試求在處固定、處自由的等截面懸臂梁振動的固有頻率（求解前五階）。 解：法一：歐拉-伯努利梁理論 懸臂梁的運動微分方程為：； 懸臂梁的邊界條件為： 該偏微分方程的自由振動解為，將此解帶入懸臂梁的運動微分方程可得到，；其中 將邊界條件（1）、（2）帶入上式可得，；進一步整理可得；再將邊界條件（3）、（4）帶入可得；要求有非零解，則它們的系數(shù)行列式必為零，即 所以得到頻率方程為：；該方程的根表示振動系統(tǒng)的固有頻率：滿足上式中的各（）的值在書P443表8.4中給出，現(xiàn)羅列如下：；若相對于的值表示為，根據(jù)式中的，可以表示為；因此由此可得到懸臂梁的前五階固有頻率，分別將n=1,2,3,4,5帶入可得： ； 法二、鐵摩辛柯梁梁理論 1.懸臂梁的自由振動微分方程： ； 邊界條件：； 設(shè)方程的通解為：；易知邊界條件（1）滿足此通解，將通解帶入上面的微分方程可得到頻率方程為：；其中；若轉(zhuǎn)動慣量與剪切變形的影響均忽略，上式的頻率方程簡化為；當(dāng)n=1,2,3,4,5時可分別求得固有頻率為： 多自由度系統(tǒng)頻率的計算方法 等效質(zhì)量：連續(xù)系統(tǒng)懸臂梁簡化為5個相等的集中質(zhì)量。 1.鄧克萊法 鄧克萊公式為： ，其中，；將其代入上式可求得系統(tǒng)的基頻為：，此基頻比用伯努利-歐拉梁求得的一階固有頻率偏小，誤差為17.42%，與鄧克萊法的推導(dǎo)預(yù)期相符。 2. 瑞利法 系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和柔度矩陣分別為 取靜變形曲線為假設(shè)陣型，設(shè)有 所以，此基頻比用伯努利-歐拉梁求得的一階固有頻率偏大，誤差為15.23%，與瑞利法的推導(dǎo)預(yù)期相符。 3. 里茨法 系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣由上面給出，設(shè)陣型為 則可求出分別為 將代入得；可以求得： ，；以及； 所以系統(tǒng)前兩階主陣型的近似為 4. 雅克比法 動力矩陣為，由雅可比法求解其特征值和特征向量為：其固有頻率 ，陣型為