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機械零件的承載能力計算 一、零件的強度和剛度條件 （一） 拉（壓）桿的強度計算 在進行強度計算中，為確保軸向拉伸（壓縮）桿件有足夠的強度，把許用應(yīng)力作為桿件實際工作應(yīng)力的最高限度，即要求工作應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力。于是，強度條件為： ≤???????????????????????????????????????????????? （3-19） 應(yīng)用強度條件進行強度計算時會遇到以下三類問題。 一是校核強度。已知構(gòu)件橫截面面積，材料的許用應(yīng)力以及所受載荷，校核（3-31）式是否滿足，從而檢驗構(gòu)件是否安全。 二是設(shè)計截面。已知載荷及許用應(yīng)力?，根據(jù)強度條件設(shè)計截面尺寸。 三是確定許可載荷。已知截面面積和許用應(yīng)力，根據(jù)強度條件確定許可載荷。 例3-6? 某冷鐓機的曲柄滑塊機構(gòu)如圖3-49（a）所示。連桿接近水平位置時，鐓壓力=3.78MN ( l MN=106N)。連桿橫截面為矩形，高與寬之比（圖3-49（b）所示），材料為45號鋼，許用應(yīng)力=90MPa，試設(shè)計截面尺寸和。 解? 由于鐓壓時連桿AB近于水平，連桿所受壓力近似等于鐓壓力，軸力=3.78MN。根據(jù)強度條件可得： A≥(mm2) 以上運算中將力的單位換算為，應(yīng)力的單位為MPa或N/mm2，故得到的面積單位就是（mm2） 注意到連桿截面為矩形，且，故 (mm2) =173.2(mm)，=1.4=242(mm) 所求得的尺寸應(yīng)圓整為整數(shù)，取=175mm，h=245mm。 1. 某張緊器（圖3-50）工作時可能出現(xiàn)的最大張力=30kN ( l kN=103N)，套筒和拉桿的材料均為鋼，=160MPa，試校核其強度。 解? 此張緊器的套筒與拉桿均受拉伸，軸力=30kN。由于截面面積有變化。必須找出最小截面。對拉桿，20螺紋內(nèi)徑=19.29mm，=292mm2，對套筒，內(nèi)徑=30mm，外徑=40mm，故=550mm2 。 最大拉應(yīng)力為： 故強度足夠。 例3-7? 某懸臂起重機如圖3-51（a）所示。撐桿為空心鋼管，外徑105mm，內(nèi)徑95mm。鋼索1和2互相平行，且鋼索1可作為相當(dāng)于直徑=25mm的圓桿計算。材料的許用應(yīng)力同為=60MPa，試確定起重機的許可吊重。 解? 作滑輪的受力圖[圖3-51（b）]，假設(shè)撐桿受壓，其軸力為；鋼索1受拉，其拉力為。選取坐標(biāo)軸和如圖所示。列出平衡方程如下： 若不計摩擦力，則鋼索2的拉力與吊重相等，以代入第一式，并解以上方程組，求得和為： ?????????????????????????????????????????? （a） ???????????????????????????????? (b) 所求得的和皆為正號，表示假設(shè)桿受壓，鋼索1受拉是正確的。 現(xiàn)在確定許可吊重。根據(jù)強度條件，撐桿的最大軸力為： ≤kN 代入（a）式得相應(yīng)的吊重為： (kN) 同理，鋼索1允許的最大拉力是： ≤kN 代入（b）式得相應(yīng)的吊重為： ( kN ) 比較以上結(jié)果，可知起重機的許可吊重應(yīng)為17kN。 （二）剪切和擠壓的實用計算 各種連接件的剪切和擠壓強度計算的方法是相同的。下面介紹工程中通常采用的實用計算法。 1. 剪切的實用計算 以螺栓為例進行分析，其受力簡圖如圖3－52（a）所示，圖中以合力代替均勻分布的作用力。由于螺栓的剪切變形為截面的相對錯動，因此抵抗這種變形的內(nèi)力必然是沿著錯動的反方向作用的。仍用截面法求內(nèi)力。將螺栓假想地沿剪切面m—m切開，取左邊部分來研究[圖3－52（b）]，根據(jù)靜力平衡條件，在剪切面上必然有一個與平行的分布內(nèi)力系的合力作用，且 ??? 與剪切面m—m相切，稱為截面m—m上的剪力。 聯(lián)接件一般并非細長桿，而且實際受力和變形情況比較復(fù)雜，通過理論分析或?qū)嶒炑芯縼泶_定剪力在剪切面上的實際分布規(guī)律較為困難。因此在工程實際中，做出一些假設(shè)進行簡化計算，稱為實用計算，或假定計算。假設(shè)應(yīng)力在剪切面內(nèi)是均勻分布的，若為剪切面面積，則應(yīng)力為： ?????????????????????????????????? ??? ??????????? （3-20） 與剪切面相切，故為剪應(yīng)力。以上計算是以假設(shè)剪應(yīng)力在剪切面內(nèi)均勻分布為基礎(chǔ)的，實際上它只是剪切面內(nèi)的一個“平均應(yīng)力”，所以也稱為名義剪應(yīng)力。其值與剪切面上的最大剪應(yīng)力大致相等。 2、擠壓實用計算 在第一節(jié)中已講過，聯(lián)接件除承受剪切外，在聯(lián)接件和被聯(lián)接件的接觸面上還將承受擠壓。所以對上面的聯(lián)接件還要進行擠壓強度計算。 把作用在螺栓擠壓面上的壓力稱為擠壓力，用表示，用表示擠壓面面積。擠壓面上單位面積內(nèi)承受的擠壓力稱為擠壓應(yīng)力，用表示。在工程上也采用類似剪切的實用計算方法，假定擠壓應(yīng)力是均勻分布的，則 ?????????????????????????????????????? ??? ??????? （3-21） 通常擠壓應(yīng)力的分布情況如圖3－53（b），最大應(yīng)力發(fā)生在半圓柱形接觸面的中點，它與實用計算所得的擠壓應(yīng)力大致相等。 擠壓面面積為擠壓面的正投影面積。對于平鍵接觸面面積就是擠壓面面積；對于螺栓擠壓面面積就是直徑平面面積，其值為。 3、強度條件 為了保證構(gòu)件在剪切和擠壓的情況下能夠正常工作，必須限制其工作剪應(yīng)力和擠壓應(yīng)力不超過材料的許用剪應(yīng)力和許用擠壓應(yīng)力。因此剪切和擠壓的強度條件如下： 剪切強度條件：≤????????????????????????????????????????? （3-22） 擠壓強度條件：≤??????????????????????????????????? （3-23） 式中的許用剪應(yīng)力和許用擠壓應(yīng)力可從有關(guān)規(guī)范中查得，它們與材料拉伸許用應(yīng)力有下列關(guān)系： 塑性材料： ????????? 脆性材料： 例3-8?? 圖3－54（a）所示聯(lián)接件中，已知P=200kN，t=20mm，螺栓之=80MPa，=200MPa（暫不考慮板的強度），求所需螺栓的最小直徑。 解? 螺栓受力情況如圖3－54（b）所示，可求得 ?? 先按剪切強度設(shè)計： ≤? ≤ d≥ 再用擠壓強度條件設(shè)計，擠壓力為，所以 ≤? ?≤ d≥ 最后得到螺栓的最小直徑為。 圖3－54的螺栓的中間部分有兩個剪切面[圖3－54（b）]稱為雙剪。 例3-9? 圖3－55（a）所示為鉚接接頭，板厚t=2mm，板寬b=15mm，板端部長a=8mm，鉚釘直徑d=4mm，拉力P=1.25kN，材料的許用剪切應(yīng)力=100MPa，許用擠壓應(yīng)力 1 1 ?=300MPa，拉伸許用應(yīng)力=160MPa。試校核此接頭的強度。 解 （1）接頭強度分析：整個接頭的強度問題包含鉚釘?shù)募羟信c擠壓強度，拉板釘孔處的擠壓強度，拉板端部縱向截面積（圖c中的2-2截面）處的剪切強度以及拉板因釘孔削弱的拉伸強度四種情形。但是若端部長度大于鉚釘直徑的兩倍，則釘孔后面拉板縱截面的剪切強度是安全的，不會被“豁開”，所以只討論三種情形下的強度計算。 （2）鉚釘剪切與擠壓強度計算：鉚釘?shù)募羟忻鏋?-1截面[3－55（a）]，其上剪力為： Q=P 由（18-1）和（3－52）式得： 鉚釘所受的擠壓力為，有效擠壓面積為。根據(jù)（3-21）和（3-23）式得： 因拉板與鉚釘?shù)牟牧舷嗤?，故其擠壓強度計算與鉚釘相同。 （3）拉板被削弱截面的拉伸強度計算：拉板削弱處[圖3－55（b）]的截面面積為，故拉應(yīng)力為： ??? 因此，本例接頭是安全的。 （三）圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度和剛度計算 1、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算 為了保證受扭圓軸能正常工作，不會因強度不足而破壞，其強度條件為：最大工作應(yīng)力不超過材料的許用剪應(yīng)力，即 ≤ ???????????????????????????????????????????????????（3-24） 從軸的受力情況或由扭矩圖上可確定最大扭矩，最大剪應(yīng)力就發(fā)生于所在截面的周邊各點處。由公式（3-12）可把公式（3-24）寫成： ≤??????????????????????????????????? ????????（3-25） 對階梯軸來說，各段的抗扭截面模量不同，因此要確定其最大工作應(yīng)力，必須綜合考慮扭矩和兩種因素。 在靜載荷的情況下，扭轉(zhuǎn)許用剪應(yīng)力與許用拉應(yīng)力之間有如下關(guān)系： 鋼??? =（0.5~0.6） 鑄鐵? =（0.8~1） 但考慮到扭轉(zhuǎn)軸所受載荷多為動載荷，因此所取值應(yīng)比上述許用剪應(yīng)力值還要低些。 例3-10?? 如圖3-56所示汽車傳動軸AB，由45號鋼無縫鋼管制成，該軸的外徑D=90mm，壁厚t=2.5mm，工作時的最大扭矩Mn＝1.5kNm，材料的許用剪應(yīng)力＝60MPa。求（1）試校核AB軸的強度；（2）將AB軸改為實心軸，試在強度相同的條件下，確定軸的直徑，并比較實心軸和空心軸的重量。 解? （1）校核AB軸的強度： 軸的最大剪應(yīng)力為 ： (N/m2)＝51MPa﹤[τ] 故AB軸滿足強度要求。????????????????????????????????? ? （2）確定實心軸的直徑：按題意，要求設(shè)計的實心軸應(yīng)與原空心軸強度相同，因此要求實心軸的最大剪應(yīng)力也應(yīng)該是 ： 設(shè)實心軸的直徑為，則 在兩軸長度相同，材料相同的情況下，兩軸重量之比等于其橫截面面積之比，即 上述結(jié)果表明，在載荷相同的條件下，空心軸所用材料只是實心軸的31％，因而節(jié)省了三分之二以上的材料。這是因為橫截面上的剪應(yīng)力沿半徑線性分布，圓心附近的應(yīng)力很小，材料沒有充分發(fā)揮作用。若把軸心附近的材料向邊緣移置，這樣可以充分發(fā)揮材料的強度性能；也可以使軸的抗扭截面模量大大增加，從而有效地提高了軸的強度。因此，在用料相同的條件下，空心軸比實心軸具有更高的承載能力，而且節(jié)省材料，降低消耗。因此工程上較大尺寸的傳動軸常被設(shè)計為空心軸。 2、圓軸扭轉(zhuǎn)時的剛度計算 在機械設(shè)計中，為使軸能正常工作，除了滿足強度要求外，往往還要考慮它的變形情況。例如車床的絲杠，扭轉(zhuǎn)變形過大，會影響螺紋的加工精度；鏜床的主軸扭轉(zhuǎn)變形過大，將會產(chǎn)生劇烈的振動而影響加工精度；發(fā)動機的凸輪軸，扭轉(zhuǎn)變形過大，會影響氣門的啟閉時間的準(zhǔn)確性等等。所以，軸還應(yīng)該滿足剛度要求。 由公式（3-17）表示的扭轉(zhuǎn)角與軸的長度有關(guān)，為了消除長度的影響，用對的變化率來表示扭轉(zhuǎn)變形的程度。用表示變化率，由公式（3-21）得出： ??????????????????????????????????????????????? （3-26） 式中為單位長度的扭轉(zhuǎn)角。單位為rad/m。若圓軸的截面不變，且只在兩端作用外力矩，則由公式（3-17）得： ????????????????????????????????????????????????? （3-27） 為了保證軸的剛度，工程上規(guī)定單位長度扭轉(zhuǎn)角不得超過規(guī)定的許用扭轉(zhuǎn)角。故軸的剛度條件可表示為： ≤rad/m????????????????????????????????????? （3-28） 在工程中，的單位習(xí)慣上用 o/m。故把公式（3-28）中的弧度換算為度，得 ≤o/m???? ?????????????????????????????（3-29） 許用扭轉(zhuǎn)角?的數(shù)值可根據(jù)軸的工作條件和機器的精度要求，按實際情況從有關(guān)手冊中查到。下面列舉幾個參考數(shù)據(jù)： 精密機器的軸： 一般傳動軸：?? 精度較低的軸： 最后討論一下關(guān)于空心軸的問題。由例3-10的討論知，在工程上，較大尺寸的傳動軸常被設(shè)計為空心軸，如飛機、輪船、汽車等運輸機械的某些軸，常采用空心軸以減輕軸的重量，提高運輸能力。再如車床的主軸，為了便于加工長的棒料也采用空心軸，等等。但空心軸加工工藝復(fù)雜，經(jīng)濟成本高，對一些又細又長的軸，如機床上的光桿及起重機的長傳動軸，由于加工不便，而多采用實心軸。另外空心軸的壁不允許過薄，以免局部屈曲而出現(xiàn)喪失穩(wěn)定的現(xiàn)象?？傊?，應(yīng)根據(jù)具體要求，全面分析，綜合考慮，合理設(shè)計。 例3-11?? 如圖3-57所示的階梯軸。段的直徑=4cm，段的直徑=7cm，外力偶矩＝0.8kNm，=1.5kNm，已知材料的剪切彈性模量＝80GPa，試計算和最大的單位長度扭轉(zhuǎn)角。 解 （1）畫扭矩圖：用截面法逐段求得： kNm?????????????????????????????????????????????? kNm???????????????????????????????????????????? 畫出扭矩圖[圖3-18（b）] （2）計算極慣性矩： （cm4） （cm4） （3）求相對扭轉(zhuǎn)角：由于段和段內(nèi)扭矩不等，且橫截面尺寸也不相同，故只能在兩段內(nèi)分別求出每段的相對扭轉(zhuǎn)角和，然后取和的代數(shù)和，即求得軸兩端面的相對扭轉(zhuǎn)角。 （rad） （rad） （rad）=1.37 (4)求最大的單位扭轉(zhuǎn)角：考慮在段和段變形的不同，需要分別計算其單位扭轉(zhuǎn)角。 段?? 段?? 負號表示轉(zhuǎn)向與相反。 所以??? ＝＝2.28o/m 例3-12? 實心軸如圖3-58所示。已知該軸轉(zhuǎn)速＝300r/min，主動輪輸入功率=40kW，從動輪的輸出功率分別為=10 kW，=12 kW，=18 kW。材料的剪切彈性模量＝80GPa，若＝50MPa，＝0.3o/m，試按強度條件和剛度條件設(shè)計此軸的直徑。 解 （1）求外力偶矩： (Nm) (Nm) ( Nm) ( Nm) 1. 求扭矩、畫扭矩圖： ?? (Nm) (Nm) (Nm) 根據(jù)以上三個扭矩方程，畫出扭矩圖[圖3-58（b）]。由圖可知，最大扭矩發(fā)生在段內(nèi)，其值為： Nm 因該軸為等截面圓軸，所以危險截面為段內(nèi)的各橫截面。 （3）按強度條件設(shè)計軸的直徑：由強度條件： ≤ 得? （4）按剛度條件設(shè)計軸的直徑：由剛度條件： ≤ 得d≥ 為使軸同時滿足強度條件和剛度條件，所設(shè)計軸的直徑應(yīng)不小于64.2mm。 （四）彎曲正應(yīng)力的強度條件及其應(yīng)用 由式（3-14）知梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩截面的上、下邊緣處，故 = 這里Iz/ymax是只決定于截面的幾何形狀和尺寸的幾何量，以Wz表示，稱為截面對于中性軸z的抗彎截面模量。于是 （3-15） 對于矩形截面[圖3－59（a）] 對于圓形截面[圖3－59（b）]， 對于各種軋制型鋼，其慣性矩和抗彎截面模量可查型鋼表（附錄Ⅱ）。 彎曲時正應(yīng)力的強度條件是： 還應(yīng)指出，對于鑄鐵等脆性材料，由于它們的抗拉和抗壓強度不同，則應(yīng)按拉伸和壓縮分別進行強度計算，即要求最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力不超過許用拉應(yīng)力[σL]和許用壓應(yīng)力[σy]。即 ﹙3-30﹚ 下面舉例說明強度條件的應(yīng)用。 例3-13? 某車間安裝一簡易天車[圖3－60（a）]，起重量G=50kN，跨度l=9.5m，電葫蘆自重G=6.7kN，天車在起吊重物時多少承受一些突然加載的作用，故梁在中間承受的集中力（G+G1）應(yīng)乘以動荷系數(shù)kd=1.2（根據(jù)設(shè)計規(guī)范），許用應(yīng)力[σ]=140MPa,試選擇工字截面。 解? 在一般機械中，梁的自重較其承受的其它載荷小，故可先按集中力初選工字截面，集中力P值為： 由集中力在中間截面引起的彎矩是[圖3－60（b）]： 只考慮此彎矩時的強度條件為： 故 由型鋼表查找Wz比1150103 mm3 稍大一些的工字鋼號，查出40C工字鋼，其119010３mm3,此鋼號的自重q=801N/m。這時自重在中間截面引起的彎矩是[圖3－60（c）] 中間截面的總彎矩是： 于是考慮自重在內(nèi)的強度條件是： [] 雖大于許用應(yīng)力[],但超出值在5%以內(nèi)，工程中是允許的。 當(dāng)不考慮梁自重時，為： 考慮自重與不考慮自重相比，梁內(nèi)應(yīng)力相差（143.3-135.7）/143.3。因此，對于像鋼這類強度較高的材料，計算應(yīng)力時一般可忽略其自重的影響。 例3-14? 鑄鐵梁的載荷及截面尺寸如圖3－61（a）所示，C為T形截面的形心，慣性矩Iz=6031104mm4，材料的許用拉應(yīng)力，許用壓應(yīng)力，試校核梁的強度。 解? 梁彎矩圖如圖3－61(b)所示，絕對值最大的彎矩為負彎矩，發(fā)生在Ｂ截面上，應(yīng)力分布如圖3－61(c)所示。 此截面最大拉應(yīng)力發(fā)生于截面上邊緣各點處，大小為： 最大壓應(yīng)力發(fā)生于截面下邊緣各點處，即 ? 雖然A截面彎矩的絕對值，但MA為正彎矩，應(yīng)力分布如圖3－61(d)所示。最大拉應(yīng)力發(fā)生于截面下邊緣各點，此截面上最大拉應(yīng)力大于最大壓應(yīng)力。因此，全梁最大拉應(yīng)力究竟發(fā)生在哪個截面上，必須經(jīng)過計算才能確定： A截面最大拉應(yīng)力為： ? 從以上計算可看出，最大壓應(yīng)力發(fā)生于截面Ｂ下邊緣處，最大拉應(yīng)力發(fā)生于A截面下邊緣處，都滿足強度條件，因此是安全的。