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1、 §3條件概率與獨立事件 條件概率 100件產(chǎn)品中有93件產(chǎn)品的長度合格，90件產(chǎn)品的質量合格，85件產(chǎn)品的長度、質量都合格． 令A＝{產(chǎn)品的長度合格}，B＝{產(chǎn)品的質量合格}，A∩B＝{產(chǎn)品的長度、質量都合格}． 問題1：試求P(A)，P(B)，P(A∩B)． 提示：P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝. 問題2：任取一件產(chǎn)品，已知其質量合格(即B發(fā)生)，求它的長度(即A發(fā)生)也合格概率． 提示：若用A|B表示上述事件，則A|B發(fā)生相當于從90件產(chǎn)品中任取1件長度合格，其概率為P(A|B)＝. 問題3：如何理解問題2? 提示：在質量合格的

2、情況下，長度又合格，即事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生． 問題4：試探求P(B)，P(A∩B)，P(A|B)間的關系． 提示：P(A|B)＝. 條件概率 (1)概念 事件B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱為B發(fā)生時A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B)． (2)公式 P(A|B)＝(其中，A∩B也可記成AB)． (3)當P(A)>0時，A發(fā)生時B發(fā)生的條件概率為P(B|A)＝. 獨立事件 有這樣一項活動：甲箱里裝有3個白球，2個黑球，乙箱里裝有2個白球，2個黑球，從這兩個箱子里分別摸出1個球，記事件A＝{從甲箱里摸出白球}，B＝{從乙箱里摸出白球}． 問題1：事件A

3、發(fā)生會影響事件B發(fā)生的概率嗎？ 提示：不影響． 問題2：試求P(A)，P(B)，P(AB)． 提示：P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝＝. 問題3：P(AB)與P(A)，P(B)有什么關系？ 提示：P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝. 問題4：P(B|A)與P(B)相等嗎？ 提示：相等，由P(B|A)＝＝，可得P(B|A)＝P(B)． 獨立事件 (1)概念：對兩個事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱A，B相互獨立． (2)推廣：若A與B相互獨立，則A與，與B，與也相互獨立． (3)拓展：若A1，A2，…，An相互獨立，則有 P(A1A2…An)＝P

4、(A1)P(A2)…P(An)． 1．由條件概率的定義知，P(B|A)與P(A|B)是不同的；另外，在事件A發(fā)生的前提下，事件B發(fā)生的概率為P(B|A)，其值不一定等于P(B)． 2．事件A與B相互獨立就是事件A的發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率，事件B的發(fā)生不影響事件A發(fā)生的概率． 條件概率 [例1]　盒中裝有5個產(chǎn)品，其中3個一等品，2個二等品，不放回地從中取產(chǎn)品，每次取1個． 求：(1)取兩次，兩次都取得一等品的概率， (2)取兩次，第二次取得一等品的概率； (3)取兩次，已知第二次取得一等品的條件下，第一次取得的是二等品的概率． [思路點撥]　由

5、于是不放回地從中取產(chǎn)品，所以第二次抽取受到第一次的影響，因而是條件概率，應用條件概率中的乘法公式求解． [精解詳析]　記Ai為第i次取到一等品，其中i＝1,2. (1)取兩次，兩次都取得一等品的概率， P(A1A2)＝P(A1)·P(A2|A1)＝×＝. (2)取兩次，第二次取得一等品，則第一次有可能取到一等品，也可能取到二等品， 則P(A2)＝P(A2)＋P(A1A2)＝×＋×＝. (3)取兩次，已知第二次取得一等品， 則第一次取得二等品的概率為P(|A2)＝＝＝. [一點通]　求條件概率一般有兩種方法： 一是對于古典概型類題目，可采用縮減基本事件總數(shù)的辦法來計算，P(B|

6、A)＝，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件個數(shù)，n(A)表示事件A包含的基本事件個數(shù)． 二是直接根據(jù)定義計算，P(B|A)＝，特別要注意P(AB)的求法． 1．拋擲一枚質地均勻的骰子所出現(xiàn)的點數(shù)的所有可能結果為Ω＝{1,2,3,4,5,6}，記事件A＝{2,3,5}，B＝{1,2,4,5,6}，則P(A|B)＝(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：P(B)＝，P(A∩B)＝，P(A|B)＝＝＝. 答案：C 2．已知P(A|B)＝，P(B)＝，則P(AB)＝________. 解析：∵P(A|B)＝， ∴P(AB)＝P(A|B)P(B)＝×＝.

7、 答案： 3．甲、乙兩地都位于長江下游，根據(jù)一百多年的氣象記錄，知道甲、乙兩地一年中雨天所占的比例分別為20%和18%，兩地同時下雨的比例為12%，問： (1)乙地為雨天時甲地也為雨天的概率是多少？ (2)甲地為雨天時乙地也為雨天的概率是多少？ 解：設“甲地為雨天”為事件A，“乙地為雨天”為事件B，由題意，得P(A)＝0.20，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12. (1)乙地為雨天時甲地也為雨天的概率是 P(A|B)＝＝≈0.67. (2)甲地為雨天時乙地也為雨天的概率是 P(B|A)＝＝＝0.60. 獨立事件的判斷 [例2]　一個家庭中有若干個小孩，假定生男孩

8、和生女孩是等可能的，令A＝{一個家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一個家庭中最多有一個女孩}，對下述兩種情形，討論A與B的獨立性： (1)家庭中有兩個小孩； (2)家庭中有三個小孩． [思路點撥]　先寫出家庭中有兩個小孩的所有可能情形，需注意基本事件(男，女)，(女，男)是不同的，然后分別求出A，B所含的基本事件數(shù)，由于生男生女具有等可能性，故可借助古典概型來求P(A)，P(B)及P(AB)的概率，最后分析P(AB)是否等于P(A)P(B)． [精解詳析]　(1)有兩個小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形為Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}， 它有4個基本事件，由等可能

9、性知每個基本事件的概率都為. ∵A＝{(男，女)，(女，男)}， B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB＝{(男，女)，(女，男)}， ∴P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝. ∴P(A)P(B)＝≠P(AB)． ∴事件A，B不相互獨立． (2)有三個小孩的家庭，小孩為男孩、女孩的所有可能情形為Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，由等可能性知這8個基本事件的概率均為，這時A中含有6個基本事件，B中含有4個基本事件，AB中含有3個基本事件． 于是P(A)＝＝，P(B)＝

10、＝，P(AB)＝， 顯然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立， 從而事件A與B是相互獨立的． [一點通]　(1)利用相互獨立事件的定義(即P(AB)＝P(A)·P(B))可以準確地判定兩個事件是否相互獨立，這是用定量計算方法判斷，因此我們必須熟練掌握． (2)判別兩個事件是否為相互獨立事件也可以從定性的角度進行分析，也就是看一個事件的發(fā)生對另一個事件的發(fā)生是否有影響．沒有影響就是相互獨立事件；有影響就不是相互獨立事件． 4．若A與B相互獨立，則下面不是相互獨立事件的是(　　) A．A與 B．A與 C.與B D.與 解析：當A，B相互獨立時，A與，與B以及與都是相互獨立

11、的，而A與是對立事件，不相互獨立． 答案：A 5．從一副撲克牌(52張)中任抽一張，設A＝“抽得老K”，B＝“抽得紅牌”，判斷事件A與B是否相互獨立． 解：抽到老K的概率為P(A)＝＝，抽到紅牌的概率P(B)＝＝，故P(A)P(B)＝×＝，事件AB即為“既抽得老K又抽得紅牌”，亦即“抽得紅桃老K或方塊老K”，故P(AB)＝＝，從而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此A與B互為獨立事件. 獨立事件的概率 [例3]　(10分)某田徑隊有三名短跑運動員，根據(jù)平時訓練情況統(tǒng)計甲，乙，丙三人100 m跑(互不影響)的成績在13 s內(nèi)(稱為合格)的概率分別為，，，若對這三名短跑運動員的100

12、 m 跑的成績進行一次檢測，則 (1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出現(xiàn)幾人合格的概率最大？ [思路點撥]　若用A，B，C表示甲，乙，丙三人100米跑的成績合格，則事件A，B，C相互獨立． [精解詳析]　記“甲、乙、丙三人100米跑成績合格”分別為事件A，B，C，顯然事件A，B，C相互獨立， 則P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. (3分) 設恰有k人合格的概率為Pk(k＝0,1,2,3)． (1)三人都合格的概率： P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝. (5分) (2)三人都不合格的概率： P0

13、＝P()＝P()P()P()＝××＝. (7分) (3)恰有兩人合格的概率： P2＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC) ＝××＋××＋×× ＝. 恰有一人合格的概率： P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝. 結合(1)(2)可知P1最大． 所以出現(xiàn)恰有1人合格的概率最大． (10分) [一點通]　(1)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推廣到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互獨立，那么這n 個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． (2)求相互獨立事件同時發(fā)生的概

14、率的程序：①首先確定各事件之間是相互獨立的；②確定這些事件可以同時發(fā)生；③求出每個事件發(fā)生的概率，再求其積． 6．先后拋擲一枚骰子兩次，則兩次都出現(xiàn)奇數(shù)點的概率為________． 答案： 7．(北京高考改編)李明在10場籃球比賽中的投籃情況統(tǒng)計如下(假設各場比賽相互獨立)： 場次 投籃次數(shù) 命中次數(shù) 場次 投籃次數(shù) 命中次數(shù) 主場1 22 12 客場1 18 8 主場2 15 12 客場2 13 12 主場3 12 8 客場3 21 7 主場4 23 8 客場4 18 15 主場5 24 20 客場5 25 1

15、2 (1)從上述比賽中隨機選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過0.6的概率； (2)從上述比賽中隨機選擇一個主場和一個客場，求李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6的概率； 解：(1)根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，李明投籃命中率超過0.6的場次有5場，分別是主場2，主場3，主場5，客場2，客場4. 所以在隨機選擇的一場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6的概率是0.5. (2)設事件A為“在隨機選擇的一場主場比賽中李明的投籃命中率超過0.6”， 事件B為“在隨機選擇的一場客觀比賽中李明的投籃命中率超過0.6”， 事件C為“在隨機選擇的一個主場和一個客場中，李明的

16、投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6”． 則C＝A∪B，A，B獨立． 根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，P(A)＝，P(B)＝. P(C)＝(A)＋P(B) ＝×＋× ＝. 所以在隨機選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6的概率為. 8．一個袋子中有3個白球，2個紅球，每次從中任取2個球，取出后再放回，求： (1)第一次取出的2 個球都是白球，第二次取出的2個球都是紅球的概率； (2)第一次取出的2 個球1個是白球、1個是紅球，第二次取出的2個球都是白球的概率． 解：記“第一次取出的2 個球都是白球”事件為A，“第二次取出的2個球都是紅球”為事件

17、B，“第一次取出的2個球1個是白球、1個是紅球”為事件C，很明顯，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互獨立事件． (1)P(AB)＝P(A)P(B)＝·＝·＝. 故第一次取出的2個球都是白球，第二次取出的2個球都是紅球的概率是. (2)P(CA)＝P(C)P(A)＝·＝·＝. 故第一次取出的2個球1個是白球、1個是紅球，第二次取出的2個球都是白球的概率是. 1．計算條件概率要明確： (1)準確理解條件概率的概念：條件概率中的兩個事件是互相影響的，其結果受兩個條件的概率的制約； (2)要正確求出條件概率，必須首先弄清楚“事件A發(fā)生”“事件A發(fā)生并且事件B也發(fā)生”“事件B在事

18、件A發(fā)生的條件下發(fā)生”的概率之間的關系． 2．互斥事件、對立事件、相互獨立事件的區(qū)別與聯(lián)系 名稱 區(qū)別 聯(lián)系 定義 事件個數(shù) 互斥事件 在一次試驗中不能同時發(fā)生的事件 兩個或兩個以上 ①兩事件互斥，但不一定對立；反之一定成立； ②兩事件獨立，則不一定互斥(或對立)； ③兩事件互斥(或對立)，則不相互獨立 對立事件 在一次試驗中不能同時發(fā)生但必有一個發(fā)生的事件 兩個 獨立事件 一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響 兩個或兩個以上 1．拋擲一顆骰子一次，A表示事件：“出現(xiàn)偶數(shù)點”，B表示事件：“出現(xiàn)3點或6點”，則事件A與B的

19、關系是(　　) A．相互互斥事件 B．相互獨立事件 C．既相互互斥又相互獨立事件 D．既不互斥又不獨立事件 解析：A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，A∩B＝{6}，所以P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝＝×，所以A與B是相互獨立事件． 答案：B 2．設A，B為兩個事件，若事件A和B同時發(fā)生的概率為，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為，則事件A發(fā)生的概率為(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：由題意知：P(AB)＝，P(B|A)＝， ∴P(A)＝＝＝. 答案：B 3．某農(nóng)業(yè)科技站對一批新水稻種子進行試驗，已知這批水稻種子的發(fā)芽率為0.

20、8，出芽后的幼苗成活率為0.9，在這批水稻種子中，隨機地取出一粒，則這粒水稻種子發(fā)芽能成長為幼苗的概率為(　　) A．0.02 B．0.08 C．0.18 D．0.72 解析：設“這粒水稻種子發(fā)芽”為事件A，“這粒水稻種子發(fā)芽又成長為幼苗”為事件AB，“這粒種子能成長為幼苗”為事件B|A，則P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.9，由條件概率公式，得 P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72. 答案：D 4．從某地區(qū)的兒童中挑選體操學員，已知兒童體型合格的概率為，身體關節(jié)構造合格的概率為，從中任挑一兒童，這兩項至少有一項合格的概率是(假定體型與身體關節(jié)構造

21、合格與否相互之間沒有影響)(　　) A. B. C. D. 解析：設“兒童體型合格”為事件A，“身體關節(jié)構造合格”為事件B，則P(A)＝，P(B)＝.又A，B相互獨立，則，也相互獨立，則P( )＝P()P()＝×＝，故至少有一項合格的概率為P＝1－P( )＝. 答案：D 5．有一個數(shù)學難題，在半小時內(nèi)，甲能解決的概率是，乙能解決的概率是，兩人試圖獨立地在半小時內(nèi)解決它，則兩人都未解決的概率為________，問題得到解決的概率為________． 解析：甲、乙兩人都未能解決為 ＝×＝， 問題得到解決就是至少有1 人能解決問題． ∴P＝1－＝. 答案：　 6．從編號

22、為1,2，…，10的10個大小相同的球中任取4個，已知選出4號球的條件下，選出球的最大號碼為6的概率為________． 解析：令事件A＝{選出的4個球中含4號球}， B＝{選出的4個球中最大號碼為6}，依題意可知 n(A)＝C＝84，n(AB)＝C＝6， ∴P(B|A)＝＝＝. 答案： 7．1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現(xiàn)隨機地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱中隨機取出一球，問： (1)從1號箱中取出的是紅球的條件下，從2號箱取出紅球的概率是多少？ (2)從2號箱取出紅球的概率是多少？ 解：“最后從2號箱中取出的是紅球”為事件A，“從

23、1號箱中取出的是紅球”為事件B. P(B)＝＝， P()＝1－P(B)＝， (1)P(A|B)＝＝， (2)∵P(A|)＝＝， ∴P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝. 8．一張儲蓄卡的密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從0～9中任選一個，某人在銀行自動提款機上取錢時，忘記了密碼的最后一位數(shù)字．求： (1)任意按最后一位數(shù)字，不超過2次就按對密碼的概率； (2)如果他記得密碼的最后一位數(shù)字是偶數(shù)，不超過2次就按對密碼的概率． 解：(1)設“第i次按對密碼”為事件Ai(i＝1,2)，則事件A＝A1＋(1A2)表示不超過2次就按對密碼． 因為事件A1與1A2互斥，由概率加法公式，得 P(A)＝P(A1)＋P(1A2)＝＋＝. (2)用B表示“最后一位數(shù)字是偶數(shù)”這個事件， 則A|B＝A1|B＋(1A2)|B. ∴P(A|B)＝P(A1|B)＋P((1A2)|B) ＝＋＝.