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數(shù)學(xué)教學(xué)中的歸納與類比 摘要：數(shù)學(xué)教師要想有所發(fā)現(xiàn)、有所創(chuàng)造并培養(yǎng)出有創(chuàng)新能力的學(xué)生, 就要認(rèn)真研究數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的規(guī)律, 研究數(shù)學(xué)的思想方法，只有掌握了正確的數(shù)學(xué)思想方法, 才能學(xué)得深刻, 理解得透徹, 才能用學(xué)到的知識解決實際問題。 關(guān)鍵詞 教學(xué) 歸納 類比 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史, 看看數(shù)學(xué)家們實際的工作, 我們會發(fā)現(xiàn), 和其他自然科學(xué)一樣, 數(shù)學(xué)家們的科學(xué)研究工作也是從觀察和實驗開始, 通過歸納和類比, 經(jīng)歷失敗和挫折, 終于領(lǐng)悟而發(fā)現(xiàn)一條規(guī)律, 做出一個證明的。偉大的數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾經(jīng)說過, “ 甚至在數(shù)學(xué)里, 發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比?！?而開普列是說到“ 我珍惜類比勝于任何別的東西, 它是我最可信賴的老師, 它能揭示自然界的秘密, 在幾何學(xué)中它應(yīng)該是最不容忽視的?！?歐拉, 這位十八世紀(jì)里領(lǐng)袖的數(shù)學(xué)家和帶頭的物理學(xué)家, 也正是一位用歸納和類比方法的大師,他曾經(jīng)用正確的歸納和大膽的類比做出了很多驚人的著名的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。 本文通過一些教學(xué)中的例子，來說明歸納與類比的重要性。 1、歸納 所謂歸納, 作為數(shù)學(xué)思想方法, 是指通過對特例的分析去引出普遍的結(jié)論，主要是通過實驗、觀察、分析從而歸納出結(jié)論, 有時得到的結(jié)論不一定是正確的, 要求對歸納出的結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)格的證明。具體過程是:歸納(不完全) —— 猜想—— 完全歸納(數(shù)學(xué)歸納法證明) 。數(shù)學(xué)歸納法是應(yīng)用范圍相當(dāng)廣泛的論證方法, 其基本形式是: 為了證明與參數(shù)n 有關(guān)的命題對一切自然數(shù)成立, 首先驗證歸納基礎(chǔ), 其次提出歸納假設(shè), 最后完成歸納過渡, 從而得到結(jié)論對一切自然數(shù)成立。歸納包括：枚舉歸納、、類比歸納、實驗歸納、統(tǒng)計與模式歸納。 1.1 枚舉歸納 枚舉歸納法是從枚舉一類事物中的若干分子具有某種性質(zhì)得出這類事物的所有分子都具有該性質(zhì)的邏輯方法. 枚舉歸納法只依靠所枚舉的事例的數(shù)量, 因此它所得到的結(jié)論可靠性較低, 一旦遇到一個反例, 結(jié)論就會被推翻. 但是枚舉歸納法仍有一定的作用, 通過枚舉歸納法得到的結(jié)論可作為進(jìn)一步研究的假說. 例1 觀察圖1中每一個大三角形中白色三角形的排列規(guī)律, 則第5個大三角形中白色三角形有121個. 圖1 分析 設(shè)第n個大三角形中白色三角形有an 個. 第1個里面蘊含1個白色三角形(即a1 = 1); 第2個里面蘊含4個白色三角形(即a2 = 1+ 3a1 ); 第3個里面蘊含13 個白色三角形(即a3 = 1 +3a2 ); … 通過前三個里面蘊含的規(guī)律, 可以發(fā)現(xiàn)第n 個大三角形中白色三角形有an = 1+ 3an- 1個. 因此, 可知a1 = 1,a2 = 4, a3 = 13, a4 = 40, a5 = 121。 例2 如圖2所示, 已知點A ( 0, 0), B ( 3, 0), C ( 0, 1), 在△ABC 內(nèi)依次作等邊三角形, 使一邊在BC 邊上, 作出的等邊三角形分別是第1個△AA 1B1, 第2個△B1A2B2, 第3個△B2A3B3,…則第n個等邊三角形的邊長等于32n 圖2 分析 顯然要求第n 個等邊三角形的邊長, 需要求出第1個等邊三角形的邊長、第2個等邊三角形的邊長,…, 從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律△ABC在平面直角坐標(biāo)系下,顯然OB = 3, 通過計算可得出OB1 =32, B1B2 =322,…,Bn-1Bn =32n 1.2 類比歸納 類比歸納法是兩種或兩種以上在某些關(guān)系上表現(xiàn)相似的對象進(jìn)行對比, 做出歸納判斷的一種科學(xué)研究方法. 在中考數(shù)學(xué)中考查類比歸納法, 引導(dǎo)學(xué)生通過對知識的類比和歸納, 把知識由點連成線, 由線織成網(wǎng), 使知識有序化、系統(tǒng)化, 從而使學(xué)生掌握知識內(nèi)在的規(guī)律. 例3 如圖3是與楊輝三角形有類似性質(zhì)的三角形數(shù)壘, a, b是某行的前兩個數(shù),當(dāng)a= 7時, b= 22. 圖3 分析 一看到此題, 學(xué)生應(yīng)該頭腦中馬上映現(xiàn)出楊輝三角的基本數(shù)表結(jié)構(gòu)對比楊輝三角形的性質(zhì)通過觀察、類比、歸納三角形數(shù)壘的特征, 當(dāng)a= 6, 鄰近的數(shù)字是16, 那么當(dāng)a =7, 鄰近的數(shù)字是22. 1.3 實驗歸納 實驗歸納是直接從觀察實驗結(jié)果中分析、歸納、概括而總結(jié)出規(guī)律的方法. 在中考試題中, 需要學(xué)生動手操作, 通過實驗, 依托直覺, 對實驗的結(jié)果進(jìn)行大膽猜想, 形成解決問題的初步方案; 然后根據(jù)猜想, 繼續(xù)實驗, 通過實驗來驗證方案, 從而解決問題. 例4 已知等邊三角形紙片ABC 的邊長為8, D為AB 邊上的點, 過點D作DG∥BC 交AC于點G. DE⊥BC于點E, 過點G 作GF⊥BC于點F, 把三角形紙片ABC分別沿DG, DE, GF 按圖4所示方式折疊,點A,B,C分別落在點A’,B’,C’處. 若A’,B’,C’在矩形DEFG內(nèi)或其邊上, 且互不重合, 此時我們稱△A’B’C’(即圖中陰影部分)為“重疊三角形”. ( 1) 若把三角形紙片ABC 放在等邊三角形網(wǎng)格中(圖中每個小三角形都是邊長為1的等邊三角形), 點A,B,C,D 恰好落在網(wǎng)格圖中的格點上. 如圖4所示, 請直接寫出此時重疊三角形A’B’C’的面積. 圖4 圖5 ( 2)實驗探究: 設(shè)AD 的長為m, 若重疊三角形A’B’C’存在. 試用含m 的代數(shù)式表示重疊三角形A’B’C’的面積, 并寫出m 的取值范圍. 分析 通過一個等邊三角形進(jìn)行折疊實驗.根據(jù)折疊, 發(fā)現(xiàn)結(jié)果是等邊三角形, 那么可以猜測如果出現(xiàn)重疊的話, 那么可能是等邊三角形. 此時的歸納結(jié)論還屬于猜測, 通過第二次或第三次的折疊來驗證結(jié)論, 在驗證的過程中, 可能會出現(xiàn)沒有重疊的可能性, 那么根據(jù)直覺經(jīng)驗, 能否獲得重疊三角形可能與點D 有密切聯(lián)系, 從而順利過渡到m 取值范圍上來 解 根據(jù)折疊, 設(shè)A’ D 的長為m, 那么A’B’的長為8- 2m, 從而s?A’B’C’=3(4-m)2 此時8- m > m, 即得m< 4. 那么m到底應(yīng)該至少多長才會出現(xiàn)重疊呢? 觀察實驗可以得出8- 2m ≥m, 解m≥83.故83≤m<4. 1.4 統(tǒng)計歸納 統(tǒng)計歸納推理是歸納推理的主要形式, 作為歸納推理, 它是以一些統(tǒng)計數(shù)據(jù)或資料為前提, 以概率演算為基礎(chǔ), 由樣本所含單位具有某屬性的相對頻率推出總體所含單位具有該屬性的概率. 例5 初中生對待學(xué)習(xí)的態(tài)度一直是教育工作者關(guān)注的問題之一. 為此某市教育局對該市部分學(xué)校的八年級學(xué)生對待學(xué)習(xí)的態(tài)度進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查(把學(xué)習(xí)態(tài)度分為三個層級, A 級: 對學(xué)習(xí)很感興趣; B 級: 對學(xué)習(xí)較感興趣; C 級: 對學(xué)習(xí)不感興趣), 并將調(diào)查結(jié)果繪制成圖6 和圖7 的統(tǒng)計圖(不完整). 請根據(jù)圖中提供的信息, 解答下列問題: ( 1)此次抽樣調(diào)查中, 共調(diào)查了多少名學(xué)生; ( 2)將圖6補充完整; ( 3)求出圖7中C 級所占的圓心角的度數(shù); ( 4)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果, 請你估計該市近20000名 初中生中大約有多少名學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度達(dá)標(biāo)(達(dá)標(biāo)包括A 級和B 級)? 圖6 圖7 分析 以柱狀圖、扇形圖等來呈現(xiàn)資料, 要讀懂里面蘊含的信息, 從而迅速求解. 解 ( 1) 200; ( 2) 圖8 ( 3) C 所占圓心角度數(shù)360 ( 1- 25% - 60% ) =54 ( 4) 20000 ( 25% + 60% ) = 17000 1.5模式歸納 模式歸納是借助于已有的提供數(shù)、圖表信息, 以此為依據(jù), 構(gòu)造數(shù)學(xué)模型, 進(jìn)行歸納得出結(jié)論的過程. 模式可以包括數(shù)的模式、形的模式、運動變化的模式、推理通信的模式、算法模式等等. 例6將4個數(shù)a, b, c, d 排成2行2列, 兩邊各加一條豎線記作abcc, 定義abcc= ad –bc.上述記號就叫做二階行列式. 若x+1x-11-x1+x=6,則x=2. 分析 此題給出了一個新的運算規(guī)則, 學(xué)生需讀懂這個運算規(guī)則, 然后根據(jù)運算規(guī)則, 將二階行列式轉(zhuǎn)化為一個一元二次方程, 從而獲得解決. 解 計算(x +1)(x+1)-(1-x)(x-1)=6, 解得x=2. 例7 如圖9, 根據(jù)下面的運算程序, 若輸入x = 1-3時, 輸出的結(jié)果y 是多少? 圖9 分析 此題結(jié)合程序設(shè)計框圖, 設(shè)計出一個選擇結(jié)構(gòu), 構(gòu)造出一個算法模式. 使輸入值與輸出值之間產(chǎn)生新的函數(shù)關(guān)系. 解 根據(jù)輸入的數(shù)值, 選擇合理的算式, 顯然得出結(jié)果- 1-3. 2 類比 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中新增加“推理與證明”包含演繹推理與合情推理, 新一輪基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革中, 給了合情推理應(yīng)有的關(guān)注. 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在選修1- 2 與選修2- 2 中設(shè)計了推理與證明內(nèi)容, 要求學(xué)生結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例和生活的實例, 對合情推理與演繹推理的方法進(jìn)行概括總結(jié), 體會合情推理與演繹推理在數(shù)學(xué)結(jié)論發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)體系建構(gòu)中的作用.而類比作為一種常用的合情推理方法, 具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用, 有利于創(chuàng)新能力的 培養(yǎng). 本文結(jié)合試題實例, 從概念類比、方法類比、升維類比、結(jié)構(gòu)類比四個角度, 對近幾年試卷中出現(xiàn)的“類比”型試題進(jìn)行分類解析, 探討教學(xué)實踐中對學(xué)生類比推理能力的培養(yǎng). 2.1 類比推理及其特征 所謂類比推理是根據(jù)兩個( 或兩類) 不同的對象在某些方面( 屬性、關(guān)系、特征、形式等) 有相同或相似性, 猜測它們在其他方面也可能相同或相似, 即把信息從一個對象轉(zhuǎn)移到另一個對象, 并作出某種判斷的推理方法. 類比的實質(zhì)就是信息從模型向原型的轉(zhuǎn)移, 恰當(dāng)?shù)剡\用類比可以有效地培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力. 2.2 常見類比類型 2.2. 1 概念類比 用類比法引入新概念, 可使學(xué)生更好地理解新概念的內(nèi)涵與外延. 數(shù)學(xué)中的許多概念, 知識點之間有類似的地方, 在新概念的提出, 新知識的講授過程中,運用類比的方法, 能使學(xué)生易于理解和掌握, 有效培養(yǎng)學(xué)生的探究能力. 如：三角形的外接圓和三角形的內(nèi)切圓類比，大多數(shù)學(xué)生會把外心和內(nèi)心的概念及性質(zhì)混淆。針對這一問題，采用類比思想，把三角形的外心和內(nèi)心的概念及性質(zhì)歸納為：外心是三角形三邊中垂線的交點，它隨三角形的形狀不同，位置也不同，它在銳角三角形的內(nèi)部，在直角三角形斜邊的中點處，在鈍角三角形的外部，它是三角形外接圓的圓心，具有到三角形三個頂點的距離相等的性質(zhì)。內(nèi)心是三角形內(nèi)切圓的圓心，它是三角形三個內(nèi)角平分線的交點，它一定在三角形的內(nèi)部，不隨三角形形狀的改變而變化位置，它到三角形三邊的距離相等。 2.2.2 方法類比 例如：解一元一次不等式與解一元一次方程類比 解一元一次方程：2x+9=6-x 解：移項，得：2x+x=6-9 合并同類項，得：3x=-3 系數(shù)化為1，得：x=-1 解一元一次不等式：2x+9＜6-x 解：移項，得：2x+x＜6-9 合并同類項，得：3x＜-3 兩邊都除以3，得：x＜-1 學(xué)生只要注意最后一步：系數(shù)化為1時，不等式的兩邊如果都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向改變即可。從而類比一元一次方程的解法歸納出一元一次不等式的解法步驟。 2.2.3 升維類比 將平面( 二維) 中問題升級到空間( 三維) 問題, 此種方法即為升維類比. 例 在平面幾何里, 有勾股定理:設(shè)三角形ABC的兩邊AB、AC 互相垂直, 則AB2+AC2=BC2, 拓展到空間, 類比平面幾何的勾股定理, 研究三棱錐的側(cè)面積與底面面積間的關(guān)系, 可以得出的正確結(jié)論是: 設(shè)三棱錐A-BCD 的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB 兩兩相互垂直, 則 S?ABC2+S?ACD2+S?ADB2=S?BCD2. 分析 關(guān)于平面問題與空間問題的類比, 通常可抓住幾何要素的如下對應(yīng)關(guān)系作對比:多邊形?多面體; 邊?面; 面積?體積; 平面角?二面角; 線段長?面積; …由此, 根據(jù)線段長?面積, 可類比猜測本題的答案: S?ABC2+S?ACD2+S?ADB2=S?BCD2 ( 證明略) 2.2.4 結(jié)構(gòu)類比 某些待解決的問題沒有現(xiàn)成的類比物, 但可通過觀察, 特征命題的條件或結(jié)論與已知的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)上的相似性, 尋找類比問題, 然后可通過適當(dāng)?shù)拇鷵Q,將原問題轉(zhuǎn)化為類比問題來解決. 最常見的同構(gòu)類比就是數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與圖像, 代數(shù)與解析幾何等, 如: 例 已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù), 且對于任意的a,b∈R 都滿足: f(ab) = af(b)+bf(a),若f(2)=2,un=f(2-n)n(n∈N),求數(shù)列{un}的前n項和Sn . 解 當(dāng)ab≠0時,f(ab)ab=f(b)b+f(a)a,令gx=f(x)x,則g(ab)=g(a)+g(b),且f(x)=xg(x). 類比具體函數(shù): 對數(shù)函數(shù), 由上可得gan=ng(a).所以fan=ang(an)= nang(a)= nan-1f(a), un=f(2-n)n=12n-1f(12). 因為f(2)=2,所以0 = f1=f212=2f12+12f2=2f12+1 所以 f12=-12，un=-12（12）n-1,所以Sn=(12)n-1(證明略)。 2.2.5 類比是歸納的基礎(chǔ) 首先, 通過對特例的觀察, 我們注意到了某些相似性, 然后, 把所說的相似性推廣為一個明確表述的一般命題. 這就是歸納. 例5 已知數(shù)列{an}(n為正整數(shù))是首項為a1,公比為q的等比數(shù)列. (1)求和: a1C20-a2C21+a3C22,a1C30- a2C31+a3C32- a4C33. ( 2)由(1)的結(jié)果,歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n 的一個結(jié)論,并加以證明. 分析 本題由(1)的結(jié)論 通過大膽猜測,歸納猜想出一般性的結(jié)論: ( 1) a1C20-a2C21+a3C22= a1-2a1q+a1q2 = a1(1-q)2,a1C31-a2C31+ a3C32- a4C33=a1-3a1q+3a1q2-a1q3=a1(1-q)3 (2)歸納概括的結(jié)論為:若數(shù)列{an}是首項為a1, 公比為q 的等比數(shù)列,則a1Cn0- a2Cn1+ a3Cn2- a4Cn3+… + +(-1)nan+1Cnn =a1(1-q)n.(證明略) 從以上幾點可以看出，類比在獲取解題思路，新概念的導(dǎo)入，公式、定理和記憶及證明，新知識的探索研究等方面都有著重要作用。 從實踐中也證明，這種類比的數(shù)學(xué)方法，學(xué)生掌握的知識扎實，理解也較好。因此，類比思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可缺少的一種教學(xué)方法，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中充分運用類比法培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，有不可估量的作用。 歸納法和類比法是數(shù)學(xué)方法論中最基本的方法之一, 用好了能獲得新的成果, 乃至完成重要發(fā)現(xiàn)。但要真正用好是很不容易的。首先, 要有敏銳的觀察力, 才能從眾多的特例中歸納總結(jié)出一般性命題來。特例有時是現(xiàn)成的, 有時卻需要故意構(gòu)造出來。要用好類比需要較豐富的數(shù)學(xué)知識, 知識面越廣, 在數(shù)學(xué)思維中可作類比推理的題材就越多, 因而能形成普遍命題的機會也越多,重視培養(yǎng)學(xué)生的類比推理和歸納推理的能力. 不僅能幫助他們理解和掌握新知識, 而且還能提高他們的解題能力, 促進(jìn)創(chuàng)造性思維的培養(yǎng). 參考文獻(xiàn) 1 史寧中. 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的若干思考[ J]. 數(shù)學(xué)通報, 2007,46, 5 2 單肖天.中考數(shù)學(xué)探究試題的考察特征[ J].數(shù)學(xué)通報,2008, 47, 7 3 徐章韜、楊小梅. 類比及其思維基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)教學(xué), 2008 ,8 4 何振華. 例說類比方法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊( 教師版) , 2009, 8