考點(diǎn)一　平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算 1．(2015·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ，7)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝3，則(　　) A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ 解析　∵＝3，∴－＝3(－)，即4－＝3， ∴＝－＋. 答案　A 2．(2014·福建，8)在下列向量組中，可以把向量a＝(3，2)表示出來(lái)的是(　　) A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3) 解析　法一　若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，則e1∥e2，而a不能由e1，e2表示，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，因?yàn)椤?，所以e1，e2不共線(xiàn)，根據(jù)共面向量的基本定理，可以把向量a＝(3，2)表示出來(lái)，故選B. 法二　因?yàn)閍＝(3，2)，若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，不存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，則(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以解得 所以a＝2e1＋e2，故選B. 答案　B 3．(2012·天津，7)已知△ABC為等邊三角形，AB＝2.設(shè)點(diǎn)P，Q滿(mǎn)足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－，則λ＝(　　) A. B. C. D. 解析　設(shè)＝a，＝b， 則|a|＝|b|＝2，且a，b＝. ＝－＝(1－λ)b－a，＝－＝λa－b. ·＝[(1－λ)b－a]·(λa－b) ＝[λ(1－λ)＋1]a·b－λa2－(1－λ)b2 ＝(λ－λ2＋1)×2－4λ－4(1－λ) ＝－2λ2＋2λ－2 ＝－. 即(2λ－1)2＝0，∴λ＝. 答案　A 4．(2015·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ，13)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝____________. 解析　∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b與a＋2b平行，則存在唯一的實(shí)數(shù)μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，則得解得λ＝μ＝. 答案　 5．(2015·北京，13)在△ABC中，點(diǎn)M，N滿(mǎn)足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝________；y＝________． 解析　＝＋＝＋＝＋(－) ＝－， ∴x＝，y＝－. 答案　?。? 6．(2014·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ，15)已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若＝(＋)，則與的夾角為_(kāi)_______． 解析　由＝(＋)可知O為BC的中點(diǎn)，即BC為圓O的直徑，又因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角為直角，所以∠BAC＝90°，所以與的夾角為90°. 答案　90° 考點(diǎn)二　平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算 1．(2015·湖南，8)已知點(diǎn)A，B，C在圓x2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)，且AB⊥BC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，0)，則|＋＋|的最大值為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析　由A，B，C在圓x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC為圓直徑，故＋＝2＝(－4，0)，設(shè)B(x，y)，則x2＋y2＝1且x∈[－1，1]，＝(x－2，y)，所以＋＋＝(x－6，y)．故|＋＋|＝，∴x＝－1時(shí)有最大值＝7，故選B. 答案　B 2．(2014·安徽，10)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，點(diǎn)Q滿(mǎn)足＝(a＋b)．曲線(xiàn)C＝{P|＝acos θ＋bcos θ，0≤θ< 2π}，區(qū)域Ω＝{P|0<r≤||≤R，r<R}．若C∩Ω為兩段分離的曲線(xiàn)，則(　　) A．1<r<R<3 B．1<r<3≤R C．r≤1<R<3 D．1<r<3<R 解析　由已知可設(shè)＝a＝(1，0)，＝b＝(0，1)，P(x，y)，則＝(，)，曲線(xiàn)C＝{P|＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C：x2＋y2＝1，區(qū)域Ω＝{P|0<r≤||≤R，r<R}表示圓P1：(x－)2＋(y－)2＝r2與圓P2：(x－)2＋(y－)2＝R2所形成的圓環(huán)，如圖所示，要使C∩Ω為兩段分離的曲線(xiàn)，只有1<r<R<3. 答案　A 3．(2012·廣東，3)若向量＝(2，3)，＝(4，7)，則＝(　　) A．(－2，－4) B．(2，4) C．(6，10) D．(－6，－10) 解析　∵＝(2，3)，＝(4，7)， ∴＝＋＝－＝(2，3)－(4，7)＝(2－4，3－7)＝(－2，－4)． 答案　A 4．(2012·大綱全國(guó)，6)△ABC中，AB邊的高為CD.若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則＝(　　) A.a－b B.a－b C.a－b D.a－b 解析　解Rt△ABC得AB＝，AD＝ . 即＝＝(－)＝a－b，故選D. 答案　D 5．(2011·山東，12)設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若＝λ(λ∈R)，＝μ (μ∈R)，且＋＝2，則稱(chēng)A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2.已知平面上的點(diǎn)C，D調(diào)和分割點(diǎn)A，B，則下列說(shuō)法正確的是(　　) A．C可能是線(xiàn)段AB的中點(diǎn) B．D可能是線(xiàn)段AB的中點(diǎn) C．C，D可能同時(shí)在線(xiàn)段AB上 D．C，D不可能同時(shí)在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上 解析　∵C，D調(diào)和分割點(diǎn)A，B， ∴＝λ，＝μ，且＋＝2(*)， 不妨設(shè)A(0，0)，B(1，0)，則C(λ，0)，D(μ，0)， 對(duì)A，若C為AB的中點(diǎn)，則＝，即λ＝，將其代入(*)式，得＝0，這是無(wú)意義的，故A錯(cuò)誤； 對(duì)B，若D為AB的中點(diǎn)，則μ＝，同理得＝0，故B錯(cuò)誤； 對(duì)C，要使C，D同時(shí)在線(xiàn)段AB上，則0<λ<1且0<μ<1， ∴>1，>1，∴＋>2，這與＋＝2矛盾；故C錯(cuò)誤；顯然D正確． 答案　D 6．(2015·江蘇，6)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為_(kāi)_______． 解析　∵a＝(2，1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即解得故m－n＝2－5＝－3. 答案?。? 7．(2014·湖南，16)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，動(dòng)點(diǎn)D滿(mǎn)足||＝1，則|＋＋|的最大值是________． 解析　設(shè)D(x，y)，由||＝1，得(x－3)2＋y2＝1，向量＋＋＝(x－1，y＋)，故|＋＋|＝的最大值為圓(x－3)2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)(1，－)距離的最大值，其最大值為圓(x－3)2＋y2＝1的圓心(3，0)到點(diǎn)(1，－)的距離加上圓的半徑，即＋1＝1＋. 答案　1＋ 8．(2013·北京，13)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝________. 解析　以向量a和b的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，令每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位，則A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，所以a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb 可得解得所以＝4. 答案　4