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第七章有限長數(shù)字濾波器的設計 7 1引言一 IIRDF的特點1 DF的設計依托AF的設計 有圖表可查 方便簡單 2 相位的非線性H z 的頻響 其中 是幅度函數(shù) 是相位函數(shù) 通常 與不是呈線性的 這是IIRDF 無限長響應濾波器 的一大缺點 因此限制了它的應用 如圖象處理 數(shù)據(jù)傳輸都要求信道具有線性相位特性 3 用全通網(wǎng)絡進行相位校正 可以得線性特性 1 單位抽樣響應h n 是有限長的 因此FIRDF一定是穩(wěn)定的 2 經(jīng)延時 h n 總可變成因果序列 所以FIRDF總可以由因果系統(tǒng)實現(xiàn) 3 h n 為有限長 可以用FFT實現(xiàn)FIRDF 4 FIR的系統(tǒng)函數(shù)是Z 1的多項式 故IIR的方法不適用 5 FIR的相位特性可以是線性的 因此 它有更廣泛的應用 非線性的FIR一般不作研究 6 H z 為全零點結(jié)構(gòu) 有N 1個零點 N 1個極點在z 0處 二 FIRDF的特點 7 2線性相位FIRDF的特點一 線性相位的條件如果FIRDF的單位抽樣響應h n 為實數(shù) 而且滿足偶對稱h n h N 1 n 或滿足奇對稱H n h N 1 n 其對稱中心在處 則濾波器就具有準確的線性相位 N又分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況 所以有4種線性相位FIRDF 如下所述 1 N為奇數(shù)的偶對稱例如N 11 對稱中心為 2 N為偶數(shù)時的偶對稱例如N 10 對稱中心為 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 N為奇數(shù)時的奇對稱例如 N 11 對稱中心為 n 5 6 7 8 9 10 4 N為偶數(shù)時的奇對稱例如 N 10 對稱中心為4 5 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二 線性相位的特點 為幅度函數(shù) 是一個純實數(shù) 是相位函數(shù) 線性相位是指是的函數(shù) 即如果 1 h n 為偶對稱情況 也就是 下面分為奇 偶對稱兩種情況討論 上式兩邊同時加H z 再用2去除得 所以 這時的幅度函數(shù)和相位函數(shù)如下所示 幅度函數(shù)為相位函數(shù)為 顯然與呈正比 是嚴格的線性相位 0 2 h n 為奇對稱的情況 上式兩邊同時加H z 再用2去除得 所以 其幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為 可見 其相位特性是線性相位 而且還產(chǎn)生一個900相移 這樣就使得通過filter的所有頻率都相移900 因此稱它為正交變換網(wǎng)絡 相移900的信號與原信號為正交的 0 對于以上兩類線性相位濾波器 又分為N取偶數(shù)和奇數(shù)的情況 下面分別討論四種不同情況下的幅度特性 1 N為奇數(shù) h n 為偶對稱的情況 三 幅度函數(shù)的特點 可見 對呈現(xiàn)偶對稱 2 N為偶數(shù) h n 為偶對稱的情況 1 b 0 0 2 3 4 3 N為奇數(shù) h n 為奇對稱的情況 討論 1 可見 時 對呈奇對稱 2 c 0 0 3 4 只能作帶通濾波器 4 N為偶數(shù) h n 為奇對稱的情況 可見 時 對呈奇對稱 而對呈偶對稱 在 0處有一個特征零點 可作高通濾波器和帶通濾波器 四種線性相位FIRDF的特性 四 系統(tǒng)函數(shù)H Z 的零點分布情況1 零點的分布原則 所以 如果是零點 則也一定是H Z 的零點 h n 為實數(shù)時 H Z 的零點必成共軛對出現(xiàn) 即也一定是H Z 的零點 也一定是H Z 的零點 2 零點的位置 1 既不在實軸上 也不在單位圓上 則零點是互為倒數(shù)的兩組共軛對 可知h n 長度為5 滿足偶對稱關(guān)系 2 不在實軸上 但在單位圓上 共軛對的倒數(shù)就是它們本身 如 3 在實軸上 不在單位圓上 實數(shù)零點 沒復共軛 只有倒數(shù) 例如 0 1 號相當于 i 零點在負實軸上 號相當于 i 0零點在正實軸上 4 既在實軸上也在單位圓上 此時 只有一個零點 且有兩種可能 或位于Z 1 或位于Z 1 N為偶數(shù)時的偶對稱為其零點 N為偶數(shù)奇對稱H 0 0 有Z 1零點 N為奇數(shù)奇對稱有零點Z 1 和Z 1 了解了線性相位FIR濾波器的各種特性 便可根據(jù)實際需要選擇合適類型的FIR濾波器 同時設計時要遵循有關(guān)的約束條件 任何長度為N的線性相位FIRDF H z 都可分解為以上四種形式的級聯(lián)組合 一 設計方法1 設計思想先給定理想濾波器的頻響Hd ej 所要求設計一個FIR的濾波器的頻響為H ej 使H ej 在一定精度內(nèi)逼近Hd ej 7 3窗函數(shù)設計法 2 設計過程設計是在時域進行的 先用傅氏反變換求出理想濾波器的單位抽樣響應hd n 然后加時間窗w n 對hd n 截斷 以求得FIRDF的單位取樣響應h n 例如 低通濾波器 Hd ej 是矩形的 則h n 一定是無限長的且是非因果的 1 理想LF的單位抽樣響應hd n 理想低通濾波器的頻響Hd ej 為 二 窗函數(shù)對頻響的影響 因為頻響的相位 所以hd n 是偶對稱 其對稱中心為 這是因為n 時 即為其最大 故 為其對稱中心 hd n 又是無限長的非因果序列 加窗就是實行乘操作 而矩形窗就是截斷數(shù)據(jù) 這相當于通過窗口RN n 看hd n 稱RN n 為窗口函數(shù) 其他n值 2 加矩形窗WR n RN n 因h n 是偶對稱的 長度為N 所以其對稱中心應為 所以h n 可寫作 3 h n 的頻率響應h n 的頻響H ej 可通過離散傅式變換H ej F h n 求得 為了便于與hd n 的頻率響應Hd ej 相比較 利用卷積定理 1 對于矩形窗的頻響 其中 為幅度函數(shù) 為相位函數(shù) 2 對于理想LF的頻響 其中 為幅度函數(shù) 為相位函數(shù) 3 h n 的頻響 其中 為幅度函數(shù) 為相位函數(shù) 可見窗函數(shù)頻率響應函數(shù)對實際濾波器的幅度函數(shù)起關(guān)鍵影響 4 窗函數(shù)頻響產(chǎn)生的影響從幾個特殊頻率點的卷積過程就可看出其影響 0 2 時 正好與的一半相重疊 這時有 3 時 的主瓣全部在的通帶內(nèi) 這時應出現(xiàn)正的肩峰 4 時 主瓣全部在通帶外 出現(xiàn)負的肩峰 5 當時 隨增加 左邊旁瓣的起伏部分掃過通帶 卷積也隨著的旁瓣在通帶內(nèi)的面積變化而變化 故將圍繞著零值而波動 6 當時 的右邊旁瓣將進入的通帶 右邊旁瓣的起伏造成值圍繞值而波動 5 加窗后對理想矩形頻率幾點結(jié)論 1 加窗后 使頻響產(chǎn)生一過渡帶 其寬度正好等于窗的頻響的主瓣寬度 2 在處出現(xiàn)肩峰 肩峰兩側(cè)形成起伏振蕩 其振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度 而振蕩的多少則取決于旁瓣的多少 3 吉布斯 Gibbs 效應因為窗函數(shù)的頻響的幅度函數(shù)為這是一個很特殊的函數(shù) 分析表明 當改變N時僅能改變的絕對值的大小和主瓣的寬度 旁瓣的寬度 但不能改變主瓣與旁瓣的相對比例 也就是說 不會改變歸一化頻響的肩峰的相對值 對于矩形窗最大相對肩峰為8 95 不管N怎樣改變 最大肩峰總是8 95 這種現(xiàn)象稱作吉布斯效應 這種效應直接影響濾波器的性能 即 通帶中的波動影響濾波器通帶的平穩(wěn)性 阻帶中的波動影響阻帶最小衰減不滿足技術(shù)要求 設計濾波器一般要求過渡帶要窄 阻帶衰減要大 上圖為N 8時 WR ej 的幅度特性 當N增加時 幅度特性的 主瓣 2 N間的區(qū)域 寬度減小 對于矩形窗來說 當N增加時 主瓣和旁瓣的幅度峰值都要增加 還保持每一波瓣下的面積恒定不變 所以每一波瓣的寬度隨N增加而減小 呈振蕩方式變化 振蕩更快 增加N是否可減小吉布斯效應 N增加 主瓣幅度會增加 但旁瓣幅度也會增加 而主瓣和旁瓣幅度相對值不變 N 時 sin x x 單位沖激函數(shù) 此時H 才會逼近Hd 但這相當于窗的寬度為無限長 等于不加窗口截斷 故沒有實際意義 結(jié)論 N增大時 H 的波動幅度沒有多大改善 但H 過渡帶變窄 4 N 所以加大N并不是減小吉布斯效應的有效方法 要減小吉布斯效應只能從窗函數(shù)的形狀上找解決方法 但這總是以犧牲主瓣寬度來達到 即使濾波器過渡帶加寬 1 基本概念 1 窗譜 窗函數(shù)的頻響的幅度函數(shù)亦稱作窗譜 2 對窗函數(shù)要求a 希望窗譜主瓣盡量窄 以獲得較陡的過渡帶 這是因為過渡帶等于主瓣寬度 b 盡量減少窗譜最大旁瓣的相對幅度 這樣可使肩峰和波紋減少 把窗函數(shù)的頂部縮窄 同時使窗函數(shù)的兩端平緩的過渡到零 就可以降低旁瓣的高度 但這樣做卻增加了主瓣 從而加寬了過渡區(qū) 三 各種窗函數(shù) 2 矩形窗時域表達式 頻域表達式 頻譜 幅度函數(shù) 3 三角形 Bartlett 窗時域表達式 1 01234 頻譜 第一對零點為 即 所以主瓣寬度 比矩形寬一倍 4 漢寧窗 升余弦窗 其窗譜可利用如下方法求出 將變形為又由于其中又考慮到 這里 所以有 當時 窗譜分析可知 它等于三部分之和 旁瓣較大程度地互相抵消 但主瓣加寬一倍 即為 漢寧窗是 2時 特例 5 海明窗 又稱作改進升余弦窗其窗函數(shù)為仿照漢寧窗的分析方法可以得其頻響的幅度函數(shù)為其主瓣寬度仍為 旁瓣峰值 主瓣峰值 1 有99 963 的能量集中在主瓣內(nèi) 海明窗是下一類窗的特例 6 布拉克曼窗 又稱二階余弦窗加上余弦的二次諧波分量 可以進一步抑制旁瓣相應的幅度函數(shù)為其主瓣寬度為 是矩形窗的三倍 7 五種窗函數(shù)的比較 1 時域窗 2 各個窗的幅度函數(shù) 圖中是dB表示的 3 理想LF加窗后的幅度函數(shù) 響應 把窗函數(shù)的頂部縮窄 同時使窗函數(shù)的兩端平緩的過渡到零 就可以降低旁瓣的高度 但這樣做卻增加了主瓣 從而加寬了過渡區(qū) 由于所用的窗函數(shù)都是對稱的 所以相位是線性的 上圖中 很顯然矩形窗的主瓣最窄 左圖表示增加窗的長度N對低通濾波器設計的影響 可見 N增大 阻帶衰減不變 過渡區(qū)變小 因此 可以通過選擇窗函數(shù)的形狀和窗函數(shù)列長N對設計加以控制 四 窗函數(shù)法的設計1 設計步驟 1 給定頻響函數(shù) 2 求出單位抽樣響應 3 根據(jù)過渡帶寬度和阻帶最小衰減 借助窗函數(shù)基本參數(shù)表確定窗的形式及N的大小 4 最后求及 例 分別利用矩形窗與漢寧窗設計具有線性相位的FIR低通濾波器 具體要求 2 設計舉例 解 1 由于是一理想LF 所以可以得出 2 確定N由于相位函數(shù) 所以呈偶對稱 其對稱中心為 因此 3 加矩形窗 則有 可以求出h n 的數(shù)值 注意偶對稱 對稱中心 由于h n 為偶對稱 N 25為奇數(shù) 所以 例如H 0 0 94789 可以計算H 的值 畫如下圖 4 加漢寧窗由于可以求出序列的各點值 通過可求出加窗后的h n 相應幅度函數(shù)可用下式求得 如H 0 0 98460 圖如下