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1、新編人教版精品教學(xué)資料
第2課時(shí) 分段函數(shù)及映射
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解分段函數(shù)的定義,并能解決簡(jiǎn)單的分段函數(shù)問(wèn)題(重點(diǎn)).2.了解映射的概念以及它與函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別(難點(diǎn)).
預(yù)習(xí)教材P21-P22,完成下面問(wèn)題:
知識(shí)點(diǎn)1 分段函數(shù)
分段函數(shù)的定義:
(1)前提:在函數(shù)的定義域內(nèi);
(2)條件:在自變量x的不同取值范圍內(nèi),有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系;
(3)結(jié)論:這樣的函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù).
【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】
已知函數(shù)f(x)=,則f=________,f=________.
解析 由題意得f=2×-3=-2,f=f(-2)=2×(-2)+3=-1.
答案?。??。?
知識(shí)點(diǎn)
2、2 映射
映射的定義:
【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】 (正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)函數(shù)是特殊的映射.( )
(2)在映射的定義中,對(duì)于集合B中的任意一個(gè)元素在集合A中都有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng).( )
(3)按照一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系,從集合A到集合B的映射與從集合B到集合A的映射是同一個(gè)映射.( )
提示 (1)√ 根據(jù)映射的定義,當(dāng)映射中的集合是非空數(shù)集時(shí),該映射就是函數(shù),否則不是函數(shù);
(2)× 映射可以是“多對(duì)一”,但不可以是“一對(duì)多”;
(3)× 從集合A到集合B的映射與從集合B到集合A的映射不是同一個(gè)映射.
題型一 映射的概念及應(yīng)用
【例1】 (1)下列對(duì)應(yīng)是集合
3、A到集合B上的映射的是( )
A.A=N*,B=N*,f:x→|x-3|
B.A=N*,B={-1,1,-2},f:x→(-1)x
C.A=Z,B=Q,f:x→
D.A=N*,B=R,f:x→x的平方根
(2)已知映射f:A→B,在f的作用下,A中的元素(x,y)對(duì)應(yīng)到B中的元素(3x-2y+1,4x+3y-1),求:
①A中元素(-1,2)在f作用下與之對(duì)應(yīng)的B中的元素.
②在映射f作用下,B中元素(1,1)對(duì)應(yīng)A中的元素.
(1)解析 對(duì)于選項(xiàng)A,由于A中的元素3在對(duì)應(yīng)關(guān)系f的作用下與3的差的絕對(duì)值在B中找不到象,所以不是映射;對(duì)于選項(xiàng)B,對(duì)任意的正整數(shù)x,在集合B中有唯
4、一的1或-1與之對(duì)應(yīng),符合映射的定義;對(duì)于選項(xiàng)C,0在f下無(wú)意義,所以不是映射;對(duì)于選項(xiàng)D,正整數(shù)在實(shí)數(shù)集R中有兩個(gè)平方根(互為相反數(shù))與之對(duì)應(yīng),不滿(mǎn)足映射的定義,故該對(duì)應(yīng)不是映射.
答案 B
(2)解?、儆深}意可知當(dāng)x=-1,y=2時(shí),3x-2y+1=3×(-1)-2×2+1=-6,
4x+3y-1=4×(-1)+3×2-1=1,故A中元素(-1,2)在f的作用下與之對(duì)應(yīng)的B中的元素是(-6,1).
②設(shè)在映射f作用下,B中元素(1,1)對(duì)應(yīng)A中的元素為(x,y),
則解之得,即A中的元素為.
規(guī)律方法 1.判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是不是映射的兩個(gè)關(guān)鍵
(1)對(duì)于A中的任意一個(gè)元素,在B中
5、是否有元素與之對(duì)應(yīng).
(2)B中的對(duì)應(yīng)元素是不是唯一的.
2.求對(duì)應(yīng)元素的兩種類(lèi)型及處理思路(映射f:A→B)
(1)若已知A中的元素a,求B中與之對(duì)應(yīng)的元素b,這時(shí)只要將元素a代入對(duì)應(yīng)關(guān)系f求解即可.
(2)若已知B中的元素b,求A中與之對(duì)應(yīng)的元素a,這時(shí)構(gòu)造方程(組)進(jìn)行求解即可,需注意解得的結(jié)果可能有多個(gè).
【訓(xùn)練1】 下列各個(gè)對(duì)應(yīng)中,構(gòu)成映射的是( )
解析 對(duì)于A,集合M中元素2在集合N中無(wú)元素與之對(duì)應(yīng),對(duì)于C,D,均有M中的一個(gè)元素與集合N中的兩個(gè)元素對(duì)應(yīng),不符合映射的定義,故選B.
答案 B
典例遷移
題型二 分段函數(shù)求值問(wèn)題
【例2】 已知函數(shù)f(x
6、)=求f(-5),f(1),f.
解 由-5∈(-∞,-2],1∈(-2,2),-∈(-∞,-2],知f(-5)=-5+1=-4,
f(1)=3×1+5=8,f=f=f=3×+5=.
【遷移1】 (變換所求)例2條件不變,若f(a)=3,求實(shí)數(shù)a的值.
解 當(dāng)a≤-2時(shí),f(a)=a+1=3,即a=2>-2,不合題意,舍去;
當(dāng)-22x,求
7、x的取值范圍.
解 當(dāng)x≤-2時(shí),f(x)>2x可化為x+1>2x,即x<1,所以x≤-2;
當(dāng)-22x可化為3x+5>2x,即x>-5,所以-22x可化為2x-1>2x,則x∈?.
綜上可得,x的取值范圍是{x|x<2}.
規(guī)律方法 1.求分段函數(shù)函數(shù)值的方法
(1)先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間.
(2)然后代入該段的解析式求值,直到求出值為止.當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0))的形式時(shí),應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.
2.由分段函數(shù)的函數(shù)值求自變量的方法
已知分段函數(shù)的函數(shù)值求對(duì)應(yīng)的自變量的值,可分段利用函數(shù)解析式求得自變量的值,但
8、應(yīng)注意檢驗(yàn)函數(shù)解析式的適用范圍,也可先判斷每一段上的函數(shù)值的范圍,確定解析式再求解.
【訓(xùn)練2】 函數(shù)f(x)=若f(x0)=8,則x0=________.
解析 當(dāng)x0≤2時(shí),f(x0)=x+2=8,即x=6,
∴x0=-或x0=(舍去).
當(dāng)x0>2時(shí),f(x0)=2x0=8,∴x0=4.
綜上,x0=-或x0=4.
答案?。?
題型三 分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用
【例3】 (1)已知f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的解析式為_(kāi)_______.
(2)已知函數(shù)f(x)=1+(-2
9、函數(shù)f(x)的值域.
(1)解析 當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=-1;
當(dāng)1
10、據(jù)圖象中的已知點(diǎn),列出方程或方程組,求出該段內(nèi)的解析式.
(4)下結(jié)論:最后用“{”表示出各段解析式,注意自變量的取值范圍.
2.作分段函數(shù)圖象的注意點(diǎn)
作分段函數(shù)的圖象時(shí),定義域分界點(diǎn)處的函數(shù)取值情況決定著圖象在分界點(diǎn)處的斷開(kāi)或連接,特別注意端點(diǎn)處是實(shí)心點(diǎn)還是空心點(diǎn).
【訓(xùn)練3】 已知f(x)=
(1)畫(huà)出f(x)的圖象;
(2)求f(x)的值域.
解 (1)利用描點(diǎn)法,作出f(x)的圖象,如圖所示.
(2)由條件知,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.
由圖象知,當(dāng)-1≤x≤1時(shí),f(x)=x2的值域?yàn)閇0,1],
當(dāng)x>1或x<-1時(shí),f(x)=1,所以f(x)的值域?yàn)閇
11、0,1].
課堂達(dá)標(biāo)
1.已知函數(shù)f(x)=則f(0)=( )
A.2 B. C.1 D.0
解析 因?yàn)?∈(-∞,2),所以f(0)==1.
答案 C
2.下列圖形是函數(shù)y=x|x|的圖象的是( )
解析 y=故選D.
答案 D
3.如圖中所示的對(duì)應(yīng):
其中構(gòu)成映射的個(gè)數(shù)為( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析 由映射的定義知①②③是映射.
答案 A
4.設(shè)函數(shù)f(x)=,若f(a)=4,則實(shí)數(shù)a=________.
解析 當(dāng)a≤0時(shí),f(a)=-a=4,即a=-4;當(dāng)a>0時(shí),f(a)=a2=4,a=2(a=-
12、2舍去),故a=-4或a=2.
答案?。?或2
5.作出y=的圖象,并求y的值域.
解 y= 值域?yàn)閥∈[-7,7].
圖象如右圖.
課堂小結(jié)
1.對(duì)分段函數(shù)的理解
(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而非幾個(gè)函數(shù).
分段函數(shù)的定義域是各段上“定義域”的并集,其值域是各段上“值域”的并集.
(2)分段函數(shù)的圖象應(yīng)分段來(lái)作,特別注意各段的自變量取值區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)的取值情況,以決定這些點(diǎn)的虛實(shí)情況.
2.函數(shù)與映射的關(guān)系
映射f:A→B,其中A、B是兩個(gè)“非空集合”,而函數(shù)y=f(x),x∈A為“非空的實(shí)數(shù)集”,其值域也是實(shí)數(shù)集.于是,函數(shù)是數(shù)集到數(shù)集的映射.
由此可知,映射是函數(shù)的推廣,函數(shù)是一種特殊的映射.