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專題四作圖與證明 尺規(guī)作圖與證明是每年中考必考內(nèi)容 一般考查學(xué)生對基本作圖的掌握情況和實踐操作能力 并且在作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)一步證明結(jié)論的成立 此類題目屬于基礎(chǔ)題 難度不大 一般與特殊三角形 特殊四邊形和圓有著密切聯(lián)系 所以掌握5種基本作圖的方法至關(guān)重要 在基本作圖的基礎(chǔ)上 掌握較復(fù)雜的尺規(guī)作圖 即利用基本作圖作三角形 作三角形的外接圓 內(nèi)切圓等是中考常考的內(nèi)容 難度稍有提高 需要結(jié)合其他幾何圖形的性質(zhì)靈活運用尺規(guī)作圖 另外 注意在作圖過程中 保留作圖痕跡 基本作圖與證明 例1 2014年廣西來賓 如圖Z4 1 BD是矩形ABCD的 一條對角線 1 作BD的垂直平分線EF 分別交AD BC于點E F 垂足為點O 要求用尺規(guī)作圖 保留作圖痕跡 不要求寫作法 2 求證 DE BF 圖Z4 1 解 1 答題如圖Z4 2 2 證明 四邊形ABCD為矩形 AD BC ADB CBD 圖Z4 2 EF垂直平分線段BD BO DO 在 DEO和 BFO中 DEO BFO ASA DE BF 解題技巧 尺規(guī)作圖需要進(jìn)一步證明結(jié)論時 一般需要運用尺規(guī)作圖中的結(jié)論 結(jié)合已知圖形的性質(zhì)進(jìn)行推理 證明即可 基本作圖與求值 例2 2015年廣東廣州 如圖Z4 3 AC是 O的直徑 點 B在 O上 ACB 30 1 利用尺規(guī)作 ABC的平分線BD 交AC于點E 交 O 于點D 連接CD 保留作圖痕跡 不寫作法 2 在 1 所作的圖形中 求 ABE與 CDE的面積之比 圖Z4 3 解 1 如圖Z4 4 圖Z4 4 圖Z4 5 2 如圖Z4 5 連接OD 設(shè) O的半徑為r BAE CDE AEB DEC ABE DCE 在RtACB中 ABC 90 ACB 30 名師點評 將尺規(guī)作圖與幾何圖形有機(jī)結(jié)合起來是中考最常見的題型 本題考查了直角三角形和圓的基本性質(zhì) 相似三角形的性質(zhì) 其中角平分線的作圖是關(guān)鍵步驟 知識點兼容性好 難度中等 較復(fù)雜的作圖 例3 2015年浙江杭州 如圖Z4 6 已知 O的直徑為10 點C是圓內(nèi)一點 且OC 3 1 請利用尺規(guī)作圖 找出圓心O 2 經(jīng)過點C的所有弦當(dāng)中 長度為整數(shù)的有幾條 長度分 別是多少 圖Z4 6 思路分析 1 利用垂徑定理得出圓心的位置進(jìn)而得出答案 2 利用過圓內(nèi)一點最長弦以及最短弦的性質(zhì)求出其長度 進(jìn)而得出答案 解 1 尺規(guī)作出兩條弦中垂線 取交點 如圖Z4 7點O就是所求圓心 圖Z4 7 2 過點C最長的弦是直徑 長度為10 OC 3 r 5 過點C最短的弦長是以O(shè)C為弦心距的弦 長度為8 過點C的弦長大于等于8小于等于10 過點C弦有3條 長度分別為8 9 10 解題技巧 不平行的兩個弦的垂直平分線交點即為所求圓的圓心 所以本題問題轉(zhuǎn)化為作線段的垂直平分線 較為復(fù)雜的作圖一般是基本作圖的靈活運用 尺規(guī)作圖與應(yīng)用 例4 2015年甘肅蘭州 如圖Z4 8 在圖中求作 P 使 P滿足以線段MN為弦且圓心P到 AOB兩邊的距離相等 要求 尺規(guī)作圖 不寫作法 保留作圖痕跡 并把作圖痕跡用黑色簽字筆加黑 圖Z4 8 思路分析 作 AOB的角平分線 作MN的垂直平分線 以角平分線與垂直平分線的交點為圓心 以圓心到點M 或點N 的距離為半徑作圓 解 如圖Z4 9 圓P即為所作的圓 圖Z4 9 解題技巧 運用尺規(guī)作圖解決實際問題時 應(yīng)該根據(jù)題意分析需要哪幾種基本作圖 然后確定基本作圖的順序