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第30課時直線與圓的位置關系 1 在平面直角坐標系xOy中 以點 3 4 為圓心 4為半徑的圓 A 與x軸相交 與y軸相切B 與x軸相離 與y軸相交C 與x軸相切 與y軸相交D 與x軸相切 與y軸相離 小題熱身 C 2 2015 瀘州模擬 如圖30 1 AB是 O的直徑 PA切 O于點A OP交 O于點C 連結BC 若 P 20 則 B的度數(shù)是 A 20 B 25 C 30 D 35 D 圖30 1 3 如圖30 2 AB是 O的直徑 BC交 O于點D DE AC于點E 要使DE是 O的切線 還需補充一個條件 則補充的條件不正確的是 A DE DOB AB ACC CD DBD AC OD A 圖30 2 4 如圖30 3 PA PB是 O的切線 A B為切點 AC是 O的直徑 若 BAC 25 則 P 度 50 圖30 3 5 如圖30 4 AB為 O的直徑 P為AB延長線上一點 PT切 O于T 若PT 6 PB 2 則 O的直徑為 A 8B 10C 16D 18 圖30 4 C 一 必知5知識點1 直線和圓的位置關系在同一平面內 直線與圓的位置關系有三種 分別是 定義法 直線l與 O沒有公共點 直線l與 O 直線l與 O有唯一公共點 直線l與 O 直線l與 O有兩個公共點 直線l與 O d r比較法 設 O的半徑為r 圓心O到直線l的距離為d d r 直線l與 O d r 直線l與 O d r 直線l與 O 考點管理 相離 相交 相切 相離 相切 相交 相離 相切 相交 2 圓的切線性質定理 經過 點的半徑垂直于圓的切線 推論 1 經過圓心且垂直于切線的直線必過 點 2 經過切點且垂直于切線的直線必過 心 切 切 圓 智慧錦囊 見到切線要想到它垂直于過切點的半徑 過切點的垂線則必過圓心 過切點有弦 則想到圓心角 圓周角性質 可再聯(lián)想同圓或等圓的弧 弦 弦心距等的性質應用 3 圓的切線的判定方法及切線長定理判定定理 經過半徑的外端并且垂直這條半徑的直線是圓的切線 智慧錦囊 證明圓的切線技巧 1 如果直線與圓有交點 連結圓心與交點的半徑 證明直線與該圓的半徑垂直 即 有交點 作半徑 證垂直 2 如果直線與圓沒有明確的交點 則過圓心作該直線的垂線段 證明垂線段等于半徑 即 無交點 作垂直 證半徑 4 切線長定理切線長定義 從圓外一點作圓的切線 把圓外這一點到切點間的線段的長叫做切線長 切線長定理 過圓外一點所作的圓的兩條切線長相等 基本圖形 如圖30 5 點P是 O外一點 PA PB切 O于點A B AB交PO于點C 則有如下結論 1 PA PB 2 APO BPO OAC OBC AOP BOP CAP CBP 3 AB OP且AC BC 圖30 5 5 三角形的內切圓三角形內切圓 與三角形各邊都相切的圓叫三角形的 內心 三角形的內切圓的圓心叫做三角形的 內心是三角形三個角的角平分線的交點 圓的外切三角形 各邊都與圓相切的三角形叫做圓的外切三角形 內切圓 內心 智慧錦囊 I內切于 ABC 切點分別為D E F 如圖30 6 圖30 6 二 必會2方法1 切線的性質常用的輔助線連結圓心和切點 構造直角三角形 2 判定切線的方法 1 連半徑 證垂直 2 作垂線 證半徑 判定切線是中考的熱點考題 三 必明3易錯點1 求直線與圓的位置關系時 在圖形不明確的情況下 要分類討論 不要漏解 2 三角形的外接圓與三角形的內切圓 注意弄清 內 與 外 接 與 切 的含義 3 內切圓的半徑問題常與 面積法 結合在一起運用 類型之一直線與圓的位置關系的判定 2015 岳池模擬 如圖30 7 在 ABC中 A 90 AB 3cm AC 4cm 若以A為圓心 3cm為半徑作 A 則BC與 A的位置關系是 A 相交B 相離C 相切D 不能確定 圖30 7 A 解析 作AD BC A 90 AB 3cm AC 4cm BC 5cm 若以A為圓心 3cm為半徑作 A AD BC AC AB 解得AD 2 4 2 4 3 BC與 A的位置關系是相交 例1答圖 1 2014 白銀 已知 O的半徑是6cm 點O到同一平面內直線l的距離為5cm 則直線l與 O的位置關系是 A 相交B 相切C 相離D 無法判斷 解析 設圓的半徑為r 點O到直線l的距離為d d 5 r 6 d r 直線l與圓相交 A 2 2015 廣州 已知 O的半徑是5 直線l是 O的切線 則點O到直線l的距離是 A 2 5B 3C 5D 10 解析 如果 O的半徑為r 圓心O到直線l的距離為d 那么直線l和 O相切 d r 所以點O到直線l的距離等于半徑 點悟 判斷直線與圓的位置關系 常根據圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小確定 1 若d r 則直線與圓相交 2 若d r 則直線與圓相切 3 若d r 則直線與圓相離 C 類型之二切線的性質 2015 銅仁 如圖30 8 已知三角形ABC的邊AB是 O的切線 切點為B AC經過圓心O并與圓相交于點D C 過C作直線CE AB 交AB的延長線于點E 1 求證 CB平分 ACE 2 若BE 3 CE 4 求 O的半徑 圖30 8 解析 1 連結OB 得到OB AB 得到 1 3 根據等腰三角形的性質得到 1 2 解 1 證明 如答圖 連結OB AB是 O的切線 OB AB CE AB OB CE 1 3 OB OC 1 2 2 3 CB平分 ACE 2 如答圖 連結BD CE AB E 90 BC 5 CD是 O的直徑 DBC 90 E DBC DBC BEC 例2答圖 例2答圖 2015 聊城 如圖30 9 已知AB是 O的直徑 點P在BA的延長線上 PD切 O于點D 過點B作BE垂直于PD 交PD的延長線于點C 連結AD并延長 交BE于點E 1 求證 AB BE 圖30 9 解 1 證明 如答圖 連結OD PD切 O于點D PDO 90 即 PDA ADO 90 BE垂直于PD 交PD的延長線于點C E EDC 90 PDA EDC ADO E OA OD OAD ADO OAD E AB BE 變式跟進答圖 2 設 O半徑的半徑為r OD PC BE PC OD BE POD B 在Rt PDO中 類型之三切線的判定 2015 畢節(jié) 如圖30 10 以 ABC的BC邊上一點O為圓心的圓 經過A B兩點 且與BC邊交于點E D為BE的下半圓弧的中點 連結AD交BC于F AC FC 1 求證 AC是 O的切線 2 已知圓的半徑r 5 EF 3 求DF的長 圖30 10 解析 1 連結OA OD 得到OD BE 再由AC FC得到 CAF CFA 證明 OAD CAF 90 2 由于圓的半徑r 5 EF 3 則OF 2 然后在Rt ODF中利用勾股定理計算DF的長 解 1 證明 連結OA OD D為BE的下半圓弧的中點 OD BE D DFO 90 AC FC CAF CFA CFA DFO CAF DFO 而OA OD 例3答圖 OAD ODF OAD CAF 90 即 OAC 90 OA AC AC是 O的切線 2 圓的半徑r 5 EF 3 OF 2 在Rt ODF中 OD 5 OF 2 2015 黃石 如圖30 11 O的直徑AB 4 ABC 30 BC交 O于D D是BC的中點 1 求BC的長 2 過點D作DE AC 垂足為E 求證 直線DE是 O的切線 圖30 11 解析 1 根據圓周角定理求得 ADB 90 然后解直角三角形即可求得BD 進而求得BC 2 要證明直線DE是 O的切線只要證明 EDO 90 解 1 如答圖 連結AD AB是 O的直徑 ADB 90 又 ABC 30 AB 4 變式跟進答圖 2 證明 如答圖 連結OD D是BC的中點 O是AB的中點 DO是 ABC的中位線 OD AC 則 EDO CED 又 DE AC CED 90 EDO CED 90 DE是 O的切線 點悟 證明某直線為圓的切線時 如果已知直線與圓有公共點 即可作出該點的半徑 證明直線垂直于該半徑 即 作半徑 證垂直 如果不能確定某直線與已知圓有公共點 則過圓心作直線的垂線段 證明它到圓心的距離等于半徑 即 作垂直 證半徑 在證明垂直時 常用到直徑所對的圓周角是直角 類型之四切線長定理的運用 2014 日照 如圖30 12 AB是 O的直徑 AM和BN是它的兩條切線 DE切 O于點E 交AM于點D 交BN于點C 1 求證 OD BE 2 如果OD 6cm OC 8cm 求CD的長 圖30 12 解 1 證明 如答圖 連結OE AM DE是 O的切線 OA OE是 O的半徑 ADO EDO DAO DEO 90 例4答圖 AOD EOD BOC EOC 180 EOD EOC 90 DOC是直角三角形 2015 南充 如圖30 13 PA和PB是 O的切線 點A和B是切點 AC是 O的直徑 已知 P 40 則 ACB的大小是 A 60 B 65 C 70 D 75 C 圖30 13 點悟 作半徑得直角是常用輔助線 變式跟進答圖 類型之五三角形的內切圓的有關計算 2015 濱州 若等腰直角三角形的外接圓半徑的長為2 則其內切圓半徑的長為 B B 圖30 14 解析 如答圖 作 DAF與 AB1G的角平分線交于點O 則O即為四邊形AB1ED的內切圓圓心 過O作OF AB1 則 OAF 30 AB1O 45 變式跟進答圖 直線與圓的位置關系的陷阱 無錫中考 已知 O的半徑為2 直線l上有一點P滿足PO 2則直線l與 O的位置關系是 A 相切B 相離C 相離或相切D 相切或相交 錯解 圓心O到直線l的距離d 2 r O與l相切 選擇A 錯因 分OP垂直于直線l OP不垂直直線l兩種情況討論 錯解中忽視第2種情況 正解 當OP垂直于直線l時 即圓心O到直線l的距離d 2 r O與l相切 當OP不垂直于直線l時 即圓心O到直線l的距離d r 2 O與直線l相交 故直線l與 O的位置關系是相切或相交 故選D