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第27課時(shí)平行四邊形 1 如圖27 1 在 ABCD中 AD 3cm AB 2cm 則 ABCD的周長(zhǎng)等于 A 10cmB 6cmC 5cmD 4cm2 2014 長(zhǎng)沙 平行四邊形的對(duì)角線一定具有的性質(zhì)是 A 相等B 互相平分C 互相垂直D 互相垂直且相等 小題熱身 圖27 1 A B 3 如圖27 2 四邊形ABCD中 對(duì)角線AC BD相交于點(diǎn)O 下列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是 A AB DC AD BCB AB DC AD BCC AO CO BO DOD AB DC AD BC 解析 A 由AB DC AD BC可知 四邊形ABCD的兩組對(duì)邊互相平行 則該四邊形是平行四邊形 B 由AB DC AD BC可知 四邊形ABCD的兩組對(duì)邊相等 則該四邊形是平行四邊形 圖27 2 D C 由AO CO BO DO可知 四邊形ABCD的兩條對(duì)角線互相平分 則該四邊形是平行四邊形 D 由AB DC AD BC可知 四邊形ABCD的一組對(duì)邊平行 另一組對(duì)邊相等 據(jù)此不能判定該四邊形是平行四邊形 故本選項(xiàng)符合題意 故選D 4 如圖27 3 在 ABCD中 對(duì)角線AC BD相交于點(diǎn)O 若AC 14 BD 8 AB 10 則 OAB的周長(zhǎng)為 圖27 3 21 5 2015 玉林一模 如圖27 4 在四邊形ABCD中 B D 1 2 求證 四邊形ABCD是平行四邊形 證明 1 B ACB 180 2 D CAD 180 B D 1 2 CAD ACB AD BC 1 2 AB CD 四邊形ABCD是平行四邊形 圖27 4 一 必知3知識(shí)點(diǎn)1 平行四邊形的定義和性質(zhì)定義 兩組對(duì)邊分別 的四邊形是平行四邊形 性質(zhì)定理 1 平行四邊形的對(duì)角 2 平行四邊形的對(duì)邊 3 平行四邊形的對(duì)角線互相 推論 1 夾在兩條平行線間的平行線段相等 2 夾在兩條平行線間的垂線段相等 考點(diǎn)管理 平行 相等 相等 平分 智慧錦囊 1 平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形 它的對(duì)稱(chēng)中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn) 2 若一條直線過(guò)平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn) 那么這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中心 且這條直線等分平行四邊形的面積 2 平行四邊形的判定判定定理 1 一組對(duì)邊平行且 的四邊形是平行四邊形 2 兩組對(duì)邊分別 的四邊形是平行四邊形 3 對(duì)角線 的四邊形是平行四邊形 4 兩組對(duì)角分別 的四邊形是平行四邊形 3 平行四邊形的面積平行四邊形的面積 平行四邊形的面積 底 高 平行線之間的距離 兩條平行線中 一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離 叫做這兩條平行線間的距離 注意 同底 等底 同高 等高 的平行四邊形面積 相等 相等 互相平分 相等 相等 二 必會(huì)2方法1 平行四邊形判定方法 1 若條件中涉及角 試著用 兩組對(duì)角分別相等 或 兩組對(duì)邊分別平行 來(lái)證明 2 若條件中涉及對(duì)角線 試著用 對(duì)角線互相平分 來(lái)證明 3 若條件中涉及邊 試著用 兩組對(duì)邊分別平行 兩組對(duì)邊分別相等 或 一組對(duì)邊平行且相等 來(lái)證明 2 平行四邊形中常用的輔助線的作法 1 連對(duì)角線把平行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為全等三角形問(wèn)題 2 有平行線時(shí) 作平行線構(gòu)造平行四邊形 3 有中點(diǎn)時(shí) 作加倍中線構(gòu)造平行四邊形 4 圖形具有鄰邊特征時(shí) 如等腰三角形 等邊三角形等 可以通過(guò)引輔助線把圖形的某一部分繞鄰邊的公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置 三 必明2易錯(cuò)點(diǎn)1 平行四邊形的性質(zhì)常用于證明線段相等 角相等或計(jì)算邊長(zhǎng)或角度等 在應(yīng)用時(shí)注意分清對(duì)邊 鄰邊 對(duì)角 鄰角等 2 一組對(duì)邊相等 一組對(duì)角相等的四邊形不一定是平行四邊形 反例如下 如圖27 5 ABE是等腰三角形 作 DCA EAC 所以 B E D AB AE DC 顯然 四邊形ABCD不是平行四邊形 圖27 5 類(lèi)型之一平行四邊形性質(zhì) 2015 自貢 如圖27 6 在 ABCD中 BCD的平分線與BA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E BH EC于點(diǎn)H 求證 CH EH 圖27 6 解析 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知條件易證 EBC是等腰三角形 由等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可證明CH EH 證明 在 ABCD中 BE CD E 2 CE平分 BCD 1 2 1 E BE BC 又 BH EC CH EH 三線合一 例1答圖 1 如圖27 7 在 ABCD中 點(diǎn)E在邊BC上 點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上 且BE CF 求證 BAE CDF 證明 在 ABCD中 AB DC AB DC B DCF 在 ABE和 DCF中 ABE DCF BAE CDF 圖27 7 2 如圖27 8 四邊形ABCD是平行四邊形 點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上 且BE AD 點(diǎn)F在AD上 AF AB 求證 AEF DFC 證明 四邊形ABCD是平行四邊形 AB CD AB CD D EAF AF AB BE AD AF CD AD AF BE AB 即DF AE 圖27 8 點(diǎn)悟 平行四邊形的對(duì)邊相等且平行 角的相等或互補(bǔ) 對(duì)角線的互相平分 面積公式 中心對(duì)稱(chēng)等性質(zhì) 為我們解決有關(guān)問(wèn)題提供了直接根據(jù) 創(chuàng)造了有利條件 熟記這些性質(zhì) 對(duì)解題尤為重要 類(lèi)型之二平行四邊形的判定 2015 河北 嘉淇同學(xué)要證明命題 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 是正確的 她先用尺規(guī)作出了如圖27 9 的四邊形ABCD 并寫(xiě)出了如下不完整的已知和求證 已知 如圖27 9 在四邊形ABCD中 BC AD AB 求證 四邊形ABCD是 四邊形 1 在橫線上填空 以補(bǔ)全已知和求證 2 按嘉淇的想法寫(xiě)出證明 CD 平行 3 用文字?jǐn)⑹鏊C命題的逆命題為 圖27 9 平行四邊形兩組對(duì)邊 分別相等 解析 1 命題的題設(shè)為 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形 結(jié)論為 是平行四邊形 根據(jù)題設(shè)可得已知 在四邊形ABCD中 BC AD AB CD 求證 四邊形ABCD是平行四邊形 2 連結(jié)BD 利用SSS定理證明 ABD CDB 3 把命題 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 的題設(shè)和結(jié)論對(duì)換可得平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等 解 2 證明 連結(jié)BD 在 ABD和 CDB中 ABD CDB SSS ADB DBC ABD CDB AD CB AB CD 四邊形ABCD是平行四邊形 例2答圖 1 2015 黃岡 已知 如圖27 10 在四邊形ABCD中 AB CD E F為對(duì)角線AC上兩點(diǎn) 且AE CF DF BE 求證 四邊形ABCD為平行四邊形 解析 首先證明 AEB CFD可得AB CD 再由條件AB CD可利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形來(lái)證明四邊形ABCD為平行四邊形 圖27 10 證明 AB CD DCA BAC DF BE DFA BEC AEB DFC 在 AEB和 CFD中 AEB CFD ASA AB CD AB CD 四邊形ABCD為平行四邊形 2 2015 遂寧 如圖27 11 在 ABCD中 點(diǎn)E F在對(duì)角線BD上 且BE DF 求證 1 AE CF 2 四邊形AECF是平行四邊形 證明 1 在 ABCD中 AB CD AB CD ABE CDF 又 BE DF ABE CDF SAS AE CF 圖27 11 2 由 1 ABE CDF 可得AE CF AEB DFC AED CFB AE CF 四邊形AECF是平行四邊形 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 類(lèi)型之三平行四邊形的開(kāi)放與探究 2016 中考預(yù)測(cè) 如圖27 12 四邊形ABCD中 對(duì)角線AC與BD相交于O 在 AB CD AO CO AD BC中任意選取兩個(gè)作為條件 四邊形ABCD是平行四邊形 為結(jié)論構(gòu)成命題 1 以 作為條件構(gòu)成的命題是真命題嗎 若是 請(qǐng)證明 若不是 請(qǐng)舉出反例 2 寫(xiě)出按題意構(gòu)成的所有命題中的假命題 并舉出反例加以說(shuō)明 命題請(qǐng)寫(xiě)成 如果 那么 的形式 圖27 12 解 1 是真命題 證明 AB CD ABO CDO 又 AOB COD AO CO ABO CDO AB CD 四邊形ABCD是平行四邊形 2 假命題 四邊形ABCD中 如果AB CD AD BC 那么四邊形ABCD是平行四邊形 四邊形ABCD中 如果AO CO AD BC 那么四邊形ABCD是平行四邊形 反例 如答圖 四邊形ABCD中 AB CD AD BC 但四邊形ABCD不是平行四邊形 如答圖 四邊形ABCD中 AO CO AD BC 但四邊形ABCD不是平行四邊形 例3答圖 如圖27 13 請(qǐng)?jiān)谙铝兴膫€(gè)關(guān)系中 選出兩個(gè)恰當(dāng)?shù)年P(guān)系作為條件 推出四邊形ABCD是平行四邊形 并予以證明 寫(xiě)出一種即可 關(guān)系 AD BC AB CD A C B C 180 已知 在四邊形ABCD中 求證 四邊形ABCD是平行四邊形 圖27 13 解析 選用的條件應(yīng)符合平行四邊形的定義或判定定理所具備的條件 解 答案不唯一 如 已知 在四邊形ABCD中 AD BC A C 求證 四邊形ABCD是平行四邊形 證明 AD BC A B 180 A C B C 180 AB CD 四邊形ABCD是平行四邊形 點(diǎn)悟 熟練掌握平行四邊形的判定是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵 平行四邊形的判定要注意 摳字眼 四川中考 不能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的條件是 A 兩組對(duì)邊分別平行B 一組對(duì)邊平行 另一組對(duì)邊相等C 一組對(duì)邊平行且相等的D 兩組對(duì)邊分別相等 錯(cuò)解 A或C或D 錯(cuò)因 對(duì)于判定定理 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 應(yīng)用時(shí)要注意必須是 一組 而 一組對(duì)邊平行 另一組對(duì)邊相等 的四邊形不一定是平行四邊形 如等腰梯形 正解 B