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1、中檔題保分練(四) 1. (2018 唐山模擬)已知 a= (2sin ?x, sin 3x+ cos 3》，b= (cos 3x, >/3(sin wx —cos 3))), 0v wV 1,函數(shù)f(x) = a b,直線x=5^已是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸. (1) 求函數(shù)f(x)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間； 解析：(1) f(x) = a b = sin 2wx— 3cos 2w — 2sin 2 (2) 在厶ABC 中，已知 f(A) = 0, c= 3, a= , 13,求 b. 3x— 3 . x= 函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸, ??時", 5 n n n

2、??OX? 3— 3= kn+ 2, k?. ? 3= 3k 1 5 + 2, k?. ??3q0,1),「k= 0, 3= 2, ?f(x) = 2sin n 3. 令 2kn— qWx — 3<2kn+ q, /口 冗? 5 n k?, 得 2kn— 6

3、2 2 在△ABC 中，由余弦定理：cos A= 2bc , ? + c — a — 2bccos A= 0, 2 2 1 ??b ??b2— 3b — 4 = 0, ??(b — 4)(b+ 1) = 0. '?b> 0,.°b= 4. + 32 — 13— 2bX 3X 2 = 0, 2. （2018哈師大附中模擬）哈師大附中高三學(xué)年統(tǒng)計甲、乙兩個班級一模數(shù)學(xué)分 數(shù)（滿分150分），每個班級20名同學(xué)，現(xiàn)有甲、乙兩班本次考試數(shù)學(xué)分數(shù)如下 列莖葉圖所示： 叩 乙 2 1 1 1 1 3 5 5 1 2 1 3 0 15 5 7 9 呂 7 { 3 2 1

4、 2 5 6 8 8 8 ■112 1 1 1 2 3 8 7 G 1 3 1 0 1 3 9曲1 9 （1）根據(jù)莖葉圖求甲、乙兩班同學(xué)數(shù)學(xué)分數(shù)的中位數(shù)，并將乙班同學(xué)的分數(shù)的頻 率分布直方圖填充完整； 頻率 組距 （2） 根據(jù)莖葉圖比較在一?？荚囍?，甲、乙兩班同學(xué)數(shù)學(xué)分數(shù)的平均水平和分數(shù) 的分散程度（不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可）； （3） 若規(guī)定分數(shù)在［100,120）的成績?yōu)榱己?，分?shù)在［120,150）的成績?yōu)閮?yōu)秀，現(xiàn)從甲、 乙兩班成績?yōu)閮?yōu)秀的同學(xué)中，按照各班成績?yōu)閮?yōu)秀的同學(xué)人數(shù)占兩班總的優(yōu)秀人 數(shù)的比例分層抽樣，共選出12位同學(xué)參加數(shù)學(xué)提優(yōu)培訓(xùn)，

5、求這12位同學(xué)中恰含 甲、乙兩班所有140分以上的同學(xué)的概率. 解析：（1）甲班數(shù)學(xué)分數(shù)的中位數(shù): 122+ 114 =118, 128+ 128 乙班數(shù)學(xué)分數(shù)的中位數(shù): (2)乙班學(xué)生數(shù)學(xué)考試分數(shù)的平均水平高于甲班學(xué)生數(shù)學(xué)考試分數(shù)的平均水平; 甲班學(xué)生數(shù)學(xué)考試分數(shù)的分散程度高于乙班學(xué)生數(shù)學(xué)考試分數(shù)的分散程度 (3)由頻率分布直方圖可知：甲、乙兩班數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)分別為 10、14, 若從中分層抽樣選出12人，則應(yīng)從甲、乙兩班各選出5人、7人, 設(shè)“選出的12人中恰含有甲、乙兩班的所有 140分以上的同學(xué)”為事件A, 8X 7X

6、6 3X 2X 1 11X 10X 9X 8 一 4X 3X2X 1 則 P(A)= X - = X C10 C14 10X 9X 8X 7X 6 14X 13X 12X 11X 10X 9X 8 5X4X 3X2X1 7X6X 5X4X 3X 2X 1 2^ 5 5 9X 52— 234. 所以選出的12人中恰含有甲、乙兩班的所有 140分以上的同學(xué)的概率為 5 234. 3. 如圖，矩形 ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，/ BCF = 90° BE // CF, CE丄 EF, AD= 3, EF = 2. (1)求異面直線AD與E

7、F所成的角； ⑵當(dāng)AB的長為何值時，二面角 A-EF-C的大小為45° 解析：如圖，以點C為坐標原點，分別以CB, CF和CD作 為x軸，y軸和z軸建立空間直角坐標系 C-xyz設(shè)AB = a, BE =b， CF= c(b

8、 二二 DA FE 3 3 所以 cos〈 DA, FE〉= - - = —3x 2二 |DA||FE| 所以異面直線AD與EF所成的角為30° ⑵設(shè)n= (1 , y, z)為平面AEF的法向量, —— —— 貝U n AE = 0, n EF = 0, ~— 2 ~— 2 ~— 2 ~— 2 結(jié)合 |BC| + |BE| =|CF| — |EFr, 解得 n = (1, . 3,葺3). 又因為BA丄平面BEFC, BA= (0,0, a), 所以|cos〈n, BA〉|= |n BA|_ 揶a _返 |n||BA| a 4 a2+ 27 2 得至U a_ 3

9、 ；3 2 所以當(dāng)AB為穿時，二面角A-EF-C的大小為45° 4 ?請在下面兩題中任選一題作答 (選修4— 4:坐標系與參數(shù)方程)在平面直角坐標系中，以原點為極點，以 x軸的 =2cos 0. y= 1 + tsin a (1)若曲線C2參數(shù)方程為：* (a為參數(shù))， iX= tCOS a 求曲線Ci的直角坐標方程和曲線 C2的普通方程； X= tCOS a ⑵若曲線C2參數(shù)方程為' (t為參數(shù)),A(0,1),且曲線Ci與曲線C2 $= 1 + tsin a 1 1 交點分別為P, Q,求眞Pj+ |AQj的取值范圍， 解析：(1) Tp= 2cos 0

10、???： = 2 pcos 0 又???：= x 2 (2s in a— 2cos a — 4= 8sin + y2, pcos 0= x, ?曲線C1的直角坐標方程為：x2 + y2 — 2x= 0. 曲線C2的普通方程為：x2 + (y— 1)2= t2. x= tcos a, 2 2 ⑵將C2的參數(shù)方程： (t為參數(shù))代入C1的方程：x + y — 2x= 0 y= 1 + tsin a 得: 2 . a—4> 0, t1 +12=— (2sin a— 2cos c) = — 2 2sin a— 4 , t1 t2= 1> 0. t + (2si n a

11、— 2cos "t + 1 = 0. '?t1 t2= 1 > 0, ?1 , t2 同號，二血|+ |t2|= |t1 + t2|. 1111 MI+ 悝| |tl|+ |t2| 由t的幾何意乂可得： 兩+ |AQ廠面+氐廠 麗p二下 It1+劃 | ( n 廠 = 2逞 sin 4 ;.〈2,2曲， 二兩+ |AQ| ^2,2 2]- (選修4— 5:不等式選講)已知函數(shù)f(x)= |2x+ b|+ |2x-b|. (1) 若b= 1,解不等式f(x)>4, (2) 若不等式f(a)> |b+ 1|對任意的實數(shù)a恒成立，求b的取值范圍. 解析：(1) b= 1 時，f

12、(x)= |2x+ 1|+ |2x— 1|>4, 「1 「1 「11 x> 2 x< — 2 — xv? { 2 ? x> 1 或< 2 ? xv— 1 或< 2 2 ?x€?. 4x> 4 — 4x> 4 2> 4 所以解集為(—X,— 1)U(1,+x). (2)f(a) = |2a+ b|+ |2a— b|= |2a+ b|+ |b— 2a|> |(2a+ b) + (b— 2a)匸 |2b|. 當(dāng)且僅當(dāng)(2a + b) (b— 2a)>0 時(f(a))min= |2b|, 所以 |2b|>|b+ 1|,所以(2b)2>(b+ 1)2，所以(3b + 1)(b— 1) >0. 所以b的取值范圍為i — x,— 3 L(1, + x).