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新編數(shù)學(xué)人教A版必修4 第三章 三角恒等變換 單元測試 含解析

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1、新編人教版精品教學(xué)資料 (時(shí)間:100分鐘,滿分:120分) 一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是正確的) 1.cos230°-sin230°的值是(  ) A.           B.- C. D.- 解析:選A.cos230°-sin230°=cos 60°=. 2.已知sin=,則sin 2x的值為(  ) A. B. C. D. 解析:選D.sin 2x=cos =cos=1-2sin2 =1-2×=. 3.函數(shù)f(x)=sin 2x-cos 2x的最小正周期是(  ) A. B.π

2、 C.2π D.4π 解析:選B.f(x)=sin 2x-cos 2x=sin,故T==π. 4.cos 76°cos 16°+cos 14°cos 74°-2cos 75°cos 15°的值等于(  ) A.0 B. C.1 D.- 解析:選A.因?yàn)閏os 76°cos 16°+cos 14°cos 74°=cos 76°·cos 16°+sin 76°sin 16°=cos(76°-16°)=,2cos 75°·cos 15°=2sin 15°cos 15°=sin 30°=,所以原式=-=0,故選A. 5.若2sin 2x=cos 2x+1,且cos x≠0,則t

3、an 2x=(  ) A. B.- C.2 D. 解析:選A.由已知得4sin xcos x=2cos2x,∴tan x=,∴tan 2x==,故選A. 6.已知銳角α的終邊上一點(diǎn)P(sin 40°,1+cos 40°),則銳角α=(  ) A.80° B.70° C.20° D.10° 解析:選B.易知點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為 = = =2cos 20°, 由三角函數(shù)的定義可知cos α===sin 20°, ∵點(diǎn)P在第一象限,且角α為銳角,∴α=70°. 7.如果α∈,且sin α=,則sin-cos(π-α)等于(  ) A. B.- C.

4、 D.- 解析:選B.sin-cos(π-α) =sin α+cos α+cos α =sin α+cos α. ∵sin α=,α∈, ∴cos α=-. ∴sin α+cos α=×-×=-. 8.的值為(  ) A. B. C.2 D.4 解析:選C.原式= ===2. 9.在△ABC中,若cos Acos B=-cos2+1,則△ABC一定是(  ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形 解析:選C.由已知得2cos Acos B=-2cos2+2=-(cos C+1)+2=cos(A+B)+1=cos Ac

5、os B-sin Asin B+1,∴cos Acos B+sin Asin B=cos(A-B)=1,又-π

6、填在題中橫線上) 11.已知sin α=,α∈,則cos的值為________. 解析:由已知得cos α=-,所以cos=cos α+sin α=-. 答案:- 12.已知α,β為銳角,且 cos(α+β)=sin(α-β),則tan α=________. 解析:∵cos(α+β)=sin(α-β), ∴cos αcos β-sin αsin β=sin αcos β-cos αsin β. ∴cos α(sin β+cos β)=sin α(sin β+cos β). ∵β為銳角,∴sin β+cos β≠0,∴cos α=sin α, ∴tan α=1. 答案:1

7、 13.已知A,B為銳角,且滿足tan Atan B=tan A+tan B+1,則cos(A+B)=________. 解析:由A,B為銳角,且tan A+tan B=tan Atan B-1,得tan(A+B)=-1,A+B=,故cos(A+B)=-. 答案:- 14.已知sin xcos x+3cos2x-=Asin(2x+φ),其中A>0,0<φ<2π,則A=________,φ=________. 解析:sin xcos x+3cos2x-=sin 2x+cos 2x=sin,∴A=,φ=. 答案:  15.若函數(shù)y=sin2與函數(shù)y=sin 2x+acos 2x的圖象的

8、對稱軸相同,則實(shí)數(shù)a的值為________. 解析:y=sin2=,這個(gè)函數(shù)圖象的對稱軸方程是2x+=kπ(k∈Z),取k=0,得其中一條對稱軸方程是x=-.如果x=-是函數(shù)y=sin 2x+acos 2x的對稱軸,則當(dāng)x=-時(shí),這個(gè)函數(shù)取得最值,所以sin+acos=±,即-+a=±,解得a=-.當(dāng)a=-時(shí),函數(shù)y=sin 2x+acos 2x=sin 2x-cos 2x==-cos,顯然符合要求. 答案:- 三、解答題(本大題共5小題,每小題10分,共50分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 16.已知tan α=2,tan β=-,其中0<α<,<β<π. 求:

9、(1)tan(α-β)的值; (2)α+β的值. 解:(1)∵tan α=2,tan β=-, ∴tan(α-β)===7. (2)∵tan(α+β)===1, 且0<α<,<β<π,∴<α+β<. ∴α+β=. 17.已知函數(shù)f(x)=2asincos+sin2-cos2(a∈R). (1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的最小正周期及圖象的對稱軸; (2)當(dāng)a=2時(shí),在f(x)=0的條件下,求的值. 解:f(x)=asin x-cos x. (1)當(dāng)a=1時(shí), f(x)=sin x-cos x=sin(x-), 則函數(shù)f(x)的最小正周期為2π. 令x-=kπ+(k∈

10、Z),得x=kπ+(k∈Z). 則函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸是x=kπ+(k∈Z). (2)當(dāng)a=2,f(x)=0時(shí),有0=2sin x-cos x, 則tan x=, 則原式== ==. 18.已知cos=-,sin=且α∈,β∈. 求:(1)cos;(2)tan(α+β). 解:(1)∵<α<π,0<β<, ∴<α-<π,-<-β<. ∴sin==, cos==. ∴cos=cos =coscos+sinsin =×+× =-. (2)∵<<, ∴sin==. ∴tan==-. ∴tan(α+β)==. 19.已知銳角α,β滿足tan(α-β)=si

11、n 2β,求證:tan α+tan β=2tan 2β. 證明:因?yàn)閠an(α-β)=sin 2β, tan(α-β)=, sin 2β=2sin βcos β==, 所以=, 整理得:tan α=. 所以tan α+tan β = ==2tan 2β. 20.已知函數(shù)f(x)=2cos+2sin. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間; (2)求函數(shù)f(x)的最大值并求f(x)取得最大值時(shí)的x的取值集合; (3)若f(x)=,求cos的值. 解:f(x)=2cos xcos+2sin xsin-2cos x =cos x+sin x-2cos x=sin x-cos x =2sin. (1)令2kπ+≤x-≤2kπ+π(k∈Z), ∴2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z), ∴單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z). (2)f(x)取最大值2時(shí),x-=2kπ+(k∈Z), 則x=2kπ+(k∈Z). ∴f(x)的最大值是2,取得最大值時(shí)的x的取值集合是. (3)f(x)=,即2sin=, ∴sin=. ∴cos=1-2sin2 =1-2×=.

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