《九年級數(shù)學(xué)上冊 第二十八章 銳角三角函數(shù)課件 （新版）新人教版.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《九年級數(shù)學(xué)上冊 第二十八章 銳角三角函數(shù)課件 （新版）新人教版.ppt（87頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第二十八章銳角三角函數(shù) 28 1銳角三角函數(shù)28 1 1三角函數(shù)的定義 課前預(yù)習(xí)1 如圖 已知Rt ABC中 C 90 AC 6 BC 8 則tanA的值為 A B C D 2 已知Rt ABC中 C 90 CAB AC 7 那么BC為 A 7sin B 7cos C 7tan D 7cot 3 已知銳角 且sin cos37 則 等于 A 37 B 63 C 53 D 45 D C C 4 如圖 在直角三角形ABC中 C 90 AC 12 B 13 則sinB的值等于 5 在Rt ABC中 C 90 如果AC BC 3 4 那么cosA的值為 課堂精講知識點1正弦的定義如圖所示 在Rt ABC中 C 90 如果銳角A確定 那么 A的對邊與斜邊的比是一個固定值 銳角A的對邊與斜邊的比叫做 A的正弦 sine 記作sinA 即sinA 注意 1 正弦是在直角三角形中定義的 反映了直角三角形邊與角的關(guān)系 是兩條線段的比值 它沒有單位 當(dāng)角的度數(shù)確定時 其比值隨之確定 與三角形的邊的長短無關(guān) 即與三角形的大小無關(guān) 2 sinA是一個完整的符號 不能寫成 sin A 書寫時習(xí)慣省略 A的角的符號 但當(dāng)用三個大寫字母表示角時 如 ABC 其正弦應(yīng)寫成sin ABC 不能寫成sinABC sin2A表示 sinA 2 即sinA sinA 而不能寫成sinA2 3 在直角三角形中 因為O a c 所以由正弦的定義可知O sinA 1 例1 在Rt ABC中 A 90 求sinC和sinB的值 解析 利用勾股定理求出BC 再由銳角三角函數(shù)值的定義求出sinC和sinB的值 解 在Rt ABC中 BC sinC sinB 變式拓展 1 如圖是4 4的正方形網(wǎng)格 點C在 BAD的一邊AD上 且A B C為格點 sin BAD的值是 知識點2余弦 正切的定義如圖所示 在Rt ABC中 C 90 當(dāng)銳角A的大小確定時 A的鄰邊與斜邊的比 A的對邊與鄰邊的比也分別是確定的 我們把 A的鄰邊與斜邊的比叫做 A的余弦 cosine 記作cosA 即cosA 把 A的對邊與鄰邊的比叫做 A的正切 tangent 記作tanA 即tanA 注意 1 余弦 正切都是一個比值 是沒有單位的數(shù)值 2 余弦 正切只與角的大小有關(guān) 而與三角形的大小無關(guān) 3 cosA tanA是整體符號 不能寫成cos A tan A cos2A和tan2A分別表示 cosA 2和 tanA 2 即cosA cosA和tanA tanA 而不能寫成cosA2和tanA2 4 當(dāng)用三個字母表示角時 角的符號 不能省略 如cos ABC tan ABC 5 因為O0 b 0 所以tanA O 例2 如圖所示 在Rt ABC中 C 90 求 A B的余弦值和正切值 解析 先用勾股定理求出AC的長 再用余弦和正切的定義求值 解 C 90 AC 4 cosA tanA cosB tanB 變式拓展2 Rt ABC中 C 90 AB 10 BC 8 則cosB 3 如圖 ABC的頂點都是正方形網(wǎng)格中的格點 則tan BAC等于 知識點3銳角三角函數(shù)的定義對于銳角A的每一個確定的值 sinA有唯一確定的值與它對應(yīng) 所以sinA是A的函數(shù) 同樣的 cosA tanA也是A的函數(shù) 即銳角A的正弦 余弦 正切都是么A的銳角三角函數(shù) 注意 1 銳角三角函數(shù)的實質(zhì)是一個比值 這些比值只與角的大小有關(guān) sinx cosx tanx都是以銳角x為自變量的函數(shù) 當(dāng)x確定后 它們的值都是唯一確定的 也就是說 銳角三角函數(shù)值隨角度的變化而變化 2 銳角三角函數(shù)都不可取負(fù)值 例3 在Rt ABC中 C 90 AB 13 BC 5 求 A的銳角三角函數(shù)數(shù)值 解析 利用勾股定理列式求出AC 然后根據(jù)銳角的三角函數(shù)列式即可 解 由勾股定理得 AC 12 sinA cosA tanA 變式拓展4 已知 如圖 在Rt ABC中 C 90 AC 15 BC 8 求 A的銳角三角函數(shù)值 解 在Rt ABC中 C 90 AC 15 BC 8 AB2 AC2 BC2 289 AB 17 sinA cosA tanA 隨堂檢測1 在直角 ABC中 C 90 A B與 C的對邊分別是a b和c 那么下列關(guān)系中 正確的是 A cosA B tanA C sinA D cosA C 2 如圖 在Rt ABC中 ACB 90 CD AB 垂足為D 若AC 2 BC 1 則sin ACD A B C D 3 如圖 點A t 3 在第一象限 OA與x軸所夾的 銳角為 tan 則t的值是 A 1B 1 5C 2D 3第2題第3題4 隨著銳角 的增大 cos 的值 A 增大B 減小C 不變D 增大還是減小不確定 B C C 5 在Rt ABC中 C 90 CD是斜邊AB上的高 如果CD 3 BD 2 那么cos A的值是 6 如圖 在 ABC中 C 90 點D在BC上 AD BC 5 cos ADC 求sinB的值 解 AD BC 5 cos ADC CD 3在Rt ACD中 AD 5 CD 3 AC 4在Rt ACB中 AC 4 BC 5 AB sinB 28 1 2特殊角的三角函數(shù) 30 9 44 D B 課前預(yù)習(xí)1 sin45 的值是 A B 1C D 2 已知 為等腰直角三角形的一個銳角 則cos 等于 A B C D 3 計算 2sin60 tan45 4 Rt ABC中 C 90 cosA 則 A 5 用科學(xué)計算器計算 8 sin56 精確到0 01 課堂精講知識點130 45 60 角的三角函數(shù)值及有關(guān)計算利用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義 可求出30 45 60 角的三角函數(shù)值 1 熟記特殊角的銳角三角函數(shù)值是進(jìn)行三角函數(shù)計算的關(guān)鍵 注意 1 要會借助兩個基本直角三角形 如圖所示 推導(dǎo)30 45 60 角的三角函數(shù)值 2 上表的含義是會求30 45 60 的正弦值 余弦值及正切值 并用來計算 反過來 已知一個特殊角的正弦值 余弦值及正切值 要會求出相應(yīng)的銳角 例1 計算 1 2 2cos30 tan60 2tan45 tan60 解析 根據(jù)特殊角三角函數(shù)值 可得答案 解 1 把sin30 cos45 tan60 tan45 1代入原式得 4 2 把cos30 tan60 tan45 1代入原式得2cos30 tan60 2tan45 tan60 2 2 0 變式拓展1 計算 sin45 tan45 2cos60 2 計算 sin260 tan30 cos30 tan45 解 原式 解 原式 知識點2用計算器求銳角三角函數(shù)值或根據(jù)銳角三角函數(shù)值求銳角掌握利用計算器求銳角三角函數(shù)值的方法 熟練使用計算器是做題的關(guān)鍵 例2 用計算器求下列各式的值 1 sin47 2 sin12 30 3 cos25 18 4 tan44 59 59 解析 本題要求同學(xué)們 熟練應(yīng)用計算器 對計算器給出的結(jié)果 根據(jù)有效數(shù)字的概念用四舍五入法取近似數(shù) 解 根據(jù)題意用計算器求出 1 sin47 0 7314 2 sin12 30 0 2164 3 cos25 18 0 9003 4 tan44 59 59 1 0000 變式拓展3 已知下列銳角三角函數(shù)值 用計算器求銳角A B的度數(shù) 1 sinA 0 7 sinB 0 01 2 cosA 0 15 cosB 0 8 3 tanA 2 4 tanB 0 5 解 1 由sinA 0 7 得A 44 4 由sinB 0 01得B 0 57 2 由cosA 0 15 得A 81 3 由cosB 0 8 得B 36 8 3 由tanA 2 4 得A 67 4 由tanB 0 5 得B 26 5 隨堂檢測1 sin30 對應(yīng)數(shù)值的絕對值是 A 2B C D 2 在Rt ABC中 ACB 90 BC 1 AC 2 則下列結(jié)論正確的是 A sinA B tanA C cosB D tanB 3 在 ABC中 A B C的對邊分別是a b c 已知a 1 b 1 c 則sinA B B 3 31 解 原式 解 6tan230 sin60 2sin45 28 2解直角三角形及其應(yīng)用28 2 1解直角三角形 課前預(yù)習(xí)1 如圖 在Rt ABC中 C 90 AC 4 sinB 則AB的長為 A 6B C D 2 在Rt ABC中 C 90 若BC 1 AB 則tanA的值為 A B C D 23 在Rt ABC中 C 90 cosB 則a b A C 3 4 等腰三角形底邊長為10cm 周長為36cm 則底角的正弦值為 5 在Rt ABC中 C 90 當(dāng)已知 A和a時 求c 則c 課堂精講知識點解直角三角形1 一般地 直角三角形中 除直角外 共有五個元素 即三條邊和兩個銳角 由直角三角形中的已知元素 求出其余未知元素的過程 叫做解直角三角形 1 在直角三角形中 除直角外的五個元素中 已知其中的兩個元素 至少有一條邊 可求出其余的三個未知元素 知二求三 2 一個直角三角形可解 則其面積可求 但在一個解直角三角形的題中 如無特別說明 則不包括求面積 2 直角三角形的邊角關(guān)系如圖所示 在Rt ABC中 A B為銳角 C 90 它們所對的邊分別為a b c 其中除直角 C外 其余的5個元素之間有以下關(guān)系 1 三邊之間的關(guān)系 勾股定理 2 銳角之間的關(guān)系 A B 90 3 邊角之間的關(guān)系 sinA cosB cosA sinB tanA tanB 4 如果 A 30 那么或 3 解直角三角形的類型與解法 歸納 1 在遇到解直角三角形的實際問題時 最好是先畫一個直角三角形的草圖 按題意標(biāo)明哪些元素是已知的 哪些元素是未知的 然后先確定銳角 再確定它的對邊和鄰邊 2 運用關(guān)系式解直角三角形時 常用到下列變形 銳角之間的關(guān)系 A 90 B B 90 A 三邊之間的常用變形 邊角之間的常用變形 a c sinA b c cosA a b tanA a c cosB b c sinB b a tanB 3 計算邊時可選用以下口訣來解題 有斜求對乘正弦 有斜求鄰乘余弦 無斜求對乘正切 有斜求對乘正弦 意思是 在一個直角三角形中 對一個銳角而言 如果已知斜邊長 要求出銳角的對邊 那么就用斜邊長乘該銳角的正弦 其他的意思可類推 例1 如圖 在 ABC中 ABC 90 A 30 D是邊AB上一點 BDC 45 AD 4 求BC的長 結(jié)果保留根號 解析 由題意得到三角形BCD為等腰直角三角形 得到BD BC 在直角三角形ABC中 利用銳角三角函數(shù)定義求出BC的長即可 解 B 90 BDC 45 BCD為等腰直角三角形 BD BC在Rt ABC中 tan A tan30 即解得BC 2 1 例2 2015響水縣一模 如圖 在 ABC中 AD是BC上的高 tanB cos DAC 1 求證 AC BD 2 若sinC BC 36 求AD的長 解析 1 根據(jù)高的定義得到 ADB ADC 90 則分別利用正切和余弦的定義得到tanB cos DAC 再利用tan B cos DAC得到 所以AC BD 1 證明 AD是BC上的高 ADB ADC 90 在Rt ABD中 tanB 在Rt ACD中 cos DAC tan B cos DAC AC BD 2 在Rt ACD中 根據(jù)正弦的定義得sinC 可設(shè)AD 12k AC 13k 再根據(jù)勾股定理計算出CD 5k 由于BD AC 13k 于是利用BC BD CD得到13k 5k 36 解得k 2 所以AD 24 2 解 在Rt ACD中 sinC 設(shè)AD 12k AC 13k CD 5k BD AC 13k BC BD CD 13k 5k 36 解得k 2 AD 12 2 24 變式拓展1 如圖 ABC中 AD BC 垂足是D 若BC 14 AD 12 tan BAD 求sinC的值 解 在直角 ABD中tan BAD BD AD tan BAD 12 9 CD BC BD 14 9 5 AC 13 sinC 2 2015 崇明縣二模 在Rt ABC中 BAC 90 點E是BC的中點 AD BC 垂足為點D 已知AC 9 cosC 1 求線段AE的長 2 求sin DAE的值 解 1 在Rt ABC中 cosC BC 9 15 點E是斜邊BC的中點 AE BC 2 AD BC ADC ADE 90 在Rt ADC中 cosC CD 9 點E是BC的中點 CE BC DE CE CD 在Rt ADE中 sin DAE 隨堂檢測1 在 ABC中 A 120 AB 4 AC 2 則sinB的值是 A B C D 2 在Rt ABC中 C 90 cosB 若BC 1 則AC A 1B 2C D 3 在 ABC中 a 1 b A 30 則 B 4 將一副三角板如圖所示放在一起 連接AD 則 ADB的正切值是 B C 60或120 5 2015 常州模擬 如圖 BD是 ABC的高 AB 6 AC 5 A 30 1 求BD和AD的長 2 求tanC的值 解 1 BD AC ADB BDC 90 sinA cosA AB 6 A 30 BD 3 AD 3 2 AC 5 CD 2在Rt BCD中 tanC 28 2 2應(yīng)用舉例 第1課時 課前預(yù)習(xí)1 如圖 某課外活動小組在測量旗桿高度的活動中 已測得仰角 CAE 33 AB a BD b 則下列求旗桿CD長的正確式子是 A CD bsin33 aB CD bcos33 aC CD btan33 aD CD a C 2 如圖 在高出海平面100m的懸崖頂A處 觀測海平面上一艘小船B 并測得它的俯角為45 則船與觀測者之間的水平距離BC m A 100B 50C 100D 100第2題第3題3 如圖 若某人在距離大廈BC底端C處200米遠(yuǎn)的A地測得塔頂B的仰角是30 則塔高BC 米 1 732 精確到0 1米 D 115 5 小杰在樓上點A處看到樓下點B處的小麗的俯角是36 那么點B處的小麗看點A處的小杰的仰角是度 36 課堂精講知識點仰角 俯角的概念在測量中 我們把在視線與水平線所成的角中 視線在水平線上方的叫做仰角 視線在水平線下方的叫做俯角 如圖所示 PQ為水平線 視線為PA時 則 APQ叫做仰角 視線為PB時 則 BPQ叫做俯角 甲看乙的俯角等于乙看甲的仰角 例1 如圖 某同學(xué)在大樓AD的觀光電梯中的E點測得大樓BC樓底C點的俯角為45 此時該同學(xué)距地面高度AE為20米 電梯再上升5米到達(dá)D點 此時測得大樓BC樓頂B點的仰角為37 求大樓的高度BC 參考數(shù)據(jù) sin37 0 60 cos37 0 80 tan37 0 75 解析 首先過點E D分別作BC的垂線 交BC于點F G 得兩個直角三角形 EFC和 BDG 由已知大樓BC樓底C點的俯角為45 得出EF FC AE 20 DG EF 20 再由直角三角形BDG 可求出BG GF DE 5 CO從而求出大樓的高度BC 解 過點E D分別作BC的垂線 交BC于點F G在Rt EFC中 因為FC AE 20 FEC 45 所以EF 20在Rt DBG中 DG EF 20 BDG 37 因為tan BDG 0 75所以BG DG 0 75 20 0 75 15而GF DE 5所以BC BG GF FC 15 5 20 40答 大樓BC的高度是40米 例2 2015 宛城區(qū)模擬 如圖 某飛機(jī)于空中探測某座山的高度 在點A處飛機(jī)的飛行高度是AF 3700米 從飛機(jī)上觀測山頂目標(biāo)C的俯角是45 飛機(jī)繼續(xù)以相同的高度飛行300米到B處 此時觀測目標(biāo)C的俯角是50 求這座山的高度CD 參考數(shù)據(jù) sin50 0 77 cos50 0 64 tan50 1 20 解析 此題考查了解直角三角形的應(yīng)用 解答本題的關(guān)鍵是兩次利用三角函數(shù)的知識 求出BE及AE的表達(dá)式 屬于基礎(chǔ)題 要能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)計算 設(shè)EC x 則在RT BCE中 可表示出BE 在Rt ACE中 可表示出AE 繼而根據(jù)AB BE AE 可得出方程 解出即可得出答案 解 設(shè)EC x在Rt BCE中 tan EBC 則BE x在Rt ACE中 tan EAC 則AE x AB BE AE 300 x x解得x 1800這座山的高度CD DE EC 3700 1800 1900 m 答 這座山的高度是1900m 變式拓展如圖 某幢大樓的外墻邊上豎直安裝著一根旗桿CD 小明在離旗桿下方大樓底部E點24m的點A處放置一臺測角儀 測角儀的高度AB為1 5m 并在點B處測得旗桿下端C的仰角為40 上端D的仰角為45 求旗桿CD的長度 結(jié)果精確到0 1米 參考數(shù)據(jù) sin40 0 64 cos40 0 77 tan40 0 84 解 過點B作BF DE于點F則四邊形ABFE為矩形在 BCF中 CBF 40 CFB 90 BF AE 24m tan40 CF 0 84 24 20 16 m 在 BDF中 DBF 45 DF 24m則CD DF CF 24 20 16 3 8 m 答 旗桿CD的長為3 8m 2 2015 長春模擬 如圖所示 課外活動中 小明在離旗桿AB10m的C處 用測角儀測得旗桿頂部A的仰角為40 已知測角儀器的高CD 1 5m 求旗桿AB的高 精確到0 1米 供選用的數(shù)據(jù) sin40 0 64 cos40 0 77 tan40 0 84 解 CD BC AB BC DE AB 四邊形DCBE是矩形 DE BC 10m在Rt ADE中 DE 10m ADE 40 AE DE tan40 10 0 84 8 4 m AB AE BE 8 4 1 5 9 9 m 答 旗桿AB的高是9 9米 隨堂檢測1 小明為了測量水面寬度AB 從C點分別測得A B兩點的俯角分別為60 30 C點到水面的距離CD 8m 則AB等于 A B C D C 59 5 5 4 2015 興化市一模 某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在一次數(shù)學(xué)活動中 為了測量某建筑物AB的高 他們來到與建筑物AB在同一平地且相距12m的建筑物CD上的C處觀察 測得某建筑物頂部A的仰角為30 底部B的俯角為45 求建筑物AB的高 精確到1m 可供選用的數(shù)據(jù) 1 4 1 7 解 過點C作AB的垂線 垂足為E CD BD AB BD 四邊形CDBE是矩形 CD 12m ECB 45 BE CE 12m AE CE tan30 12 m AB 12 19 m 答 建筑物AB的高為19米 5 2015 大連模擬 如圖 某建筑物BC上有一旗桿AB 小明在與BC相距12m的F處 由E點觀測到旗桿頂部A的仰角為60 底部B的仰角為45 小明的觀測點E與地面的距離EF為1 6m 注 結(jié)果精確到0 1m 參考數(shù)據(jù) 1 41 1 73 1 求建筑物BC的高度 2 求旗桿AB的高度 解 1 過點E作ED BC于D則四邊形DCFE是矩形 DE CF 12mEF CD 1 6m根據(jù)題意得 BED 45 EBD 45 BD ED FC 12m BC BD DC BD EF 12 1 6 13 6 m 答 建筑物BC的高度為13 6m 2 由題意得 AED 60 AD ED tan60 12 12 1 73 20 8 m AB AD BD 20 8 12 8 8 m 答 旗桿AB的高度約為8 8m 28 2 3應(yīng)用舉例 第2課時 課前預(yù)習(xí)1 如圖 小明從點A沿坡度i 1 2的斜坡走到點B 若AB 10米 則上升高度是 米 A 5B 2C D 2 一斜坡長為米 高度為1米 那么坡比為 A 1 3B 1 C 1 D 1 3 某河壩橫截面如圖 堤高BC 6米 迎水坡AB 米 則迎水坡AB的坡度為 A 30 B 45 C D 1 C A D 4 如圖 斜坡AB的坡度i 1 3 該斜坡的水平距離AC 6米 那么斜坡AB的長等于m 5 如圖所示 一水庫迎水坡AB的坡度i 1 2 則求坡角 的正弦值sin 第4題第5題 2 課堂精講知識點坡度 坡角的概念 1 坡角 坡面與水平面所成的夾角 如圖中的 2 坡度 我們通常把坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度 如圖所示 坡度也可寫成 的形式 在實際應(yīng)用中常表示成1 的形式 3 坡度與坡角的關(guān)系 即坡度是坡角的正切值 坡角越大 坡度也就越大 注意 坡度的結(jié)果不是一個度數(shù) 而是一個比值 不要與坡角相混淆 例1 已知一水壩的橫斷面是梯形ABCD 下底BC長14m 斜坡AB的坡度為3 另一腰CD與下底的交角為45 且長為4m 求它的上底的長 精確到0 1m 1 414 1 732 解析 過點D作DF BC 過點A作AE BC 根據(jù)已知條件求出AE DF的值 再根據(jù)坡度與特殊角的三角函數(shù)值求出BE 最后根據(jù)EF BC BE FC 即可得出答案 解 過點D作DF BC 過點A作AE BC CD與BC的夾角為45 DCF 45 CDF 45 CD DF CF AE DF 斜坡AB的坡度為3 tan ABE BE 4m BC 14m EF BC BE FC 14 4 4 10 4 AD EF AD 10 4 3 1 m 答 它的上底的長3 1m 例2 2015 安徽模擬 如圖 某滑板愛好者訓(xùn)練時的斜坡示意圖 出于安全因素考慮 決定將訓(xùn)練的斜坡的傾角由45 降為30 已知原斜坡坡面AB的長為5米 點D B C在同一水平地面上 1 改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB會加長多少米 2 若斜坡的正前方能有3米長的空地就能保證安全 已知原斜坡AB的前方有6米長的空地 進(jìn)行這樣的改造是否可行 說明理由 精確到0 01 參考數(shù)據(jù) 1 414 1 732 2 449 解析 1 滑滑板增加的長度實際是 AD AB 的長 在Rt ABC中 通過解直角三角形求出AC的長 進(jìn)而在Rt ACD中求出AD的長得解 2 分別在Rt ABC Rt ACD中求出BC CD的長 即可求出BD的長 進(jìn)而可求出改造后滑滑板前方的空地長 若此距離大于等于3米則這樣改造安全 反之則不安全 解 1 在Rt ABC中 BC AC AB sin45 m在Rt ADC中AD mCD m AD AB 5 1 414 5 2 07m 改善后的斜坡會加長2 07m 2 這樣改造能行 CD BC 2 449 1 414 2 59 6 3 這樣改造能行 答 改善后的斜坡坡面會加長2 07m 這樣改造能行 變式拓展1 如圖所示 鐵路的路基橫斷面是等腰梯形 斜坡AB的坡度為1 斜坡AB的水平寬度BE m 那么斜坡AB長為m 1 6 2 2015 淄博模擬 如圖 有一段斜坡BC長為10m 坡角 CBD 12 為方便殘疾人的輪椅車通行 現(xiàn)準(zhǔn)備把坡角降為5 1 求坡高CD 2 求斜坡新起點A到原起點B的距離 精確到0 1m 參考數(shù)據(jù) sin12 0 21 cos12 0 98 tan5 0 09 解 1 在Rt BCD中 CD BC sin12 10 0 21 2 1m 2 在Rt BCD中 BD BC cos12 10 0 98 9 8m在Rt ACD中AB AD BD 23 33 9 8 13 53 13 5m 答 坡高2 1米 斜坡新起點與原起點的距離為13 5米 隨堂檢測1 如圖 傳送帶和地面所成斜坡的坡度為1 3 若它把物體從地面點A處送到離地面2m高的B處 則物體從A到B所經(jīng)過的路程為 A 6mB mC 2mD 3m2 如圖 防水堤壩的軸截面是等腰梯形ABCD DA CB DC AB DA 5 DC 4 AB 9 則斜坡DA的坡角為 第1題第2題 C 60 3 某建筑物門口有一無障礙通道 通道的斜坡長為am 通道的最高點距水平地面bm 若a b 1 該通道的坡比是 4 2014 巴中 如圖 一水庫大壩的橫斷面為梯形ABCD 壩頂BC寬6m 壩高20m 斜坡AB的坡度i 1 2 5 斜坡CD的坡角為30 求壩底AD的長度 精確到0 1m 參考數(shù)據(jù) 1 414 1 732 提示 坡度等于坡面的鉛垂高度與水平長度之比 解 作BE AD CF AD 垂足分別為點E F則四邊形BCFE是矩形由題意得 BC EF 6m BE CF 20m斜坡AB的坡度i為1 2 5在Rt ABE中 AE 50m在Rt CFD中 D 30 DF CF cot D 20m AD AE EF FD 50 6 20 90 6m 答 壩底AD的長度約為90 6m 5 2015 泰州校級一模 如圖 一堤壩的坡角 ABC 62 坡面長度AB 30m 圖為橫截面 為了使堤壩更加牢固 一施工隊欲改變堤壩的坡面 使得坡面的坡角 ADB 50 則此時應(yīng)將壩底向外拓寬多少米 結(jié)果保留到1m 參考數(shù)據(jù) sin62 0 88 cos62 0 47 tan50 1 20 解 過A點作AE CD于E在Rt ABE中 ABE 62 AE AB sin62 30 0 88 26 4mBE AB cos62 30 0 47 14 1m在Rt ADE中 ADB 50 DE 22m DB DE BE 8m答 此時應(yīng)將壩底向外拓寬大約8m 28 4應(yīng)用舉例 3 1 如圖 C D分別是一個湖的南 北兩端A和B正東方向的兩個村莊 CD 6km 且D位于C的北偏東30 方向上 則AB的長為 A 2kmB 3kmC kmD 3km 2 小軍從A地沿北偏西60 方向走10m到B地 再從B地向第1題正南方向走20m到C地 此時小軍離A地 A 5mB 10mC 15mD 10m B D 3 已知東西海岸線上有相距7km的A B兩個碼頭 燈塔P距A碼頭13km 在B碼頭測得燈塔P在北偏東45 方向 則燈塔P到海岸線的距離為km 4 一只兔子沿OP 北偏東30 的方向向前跑 已知獵人在Q 1 點挖了一口陷阱 問 如果兔子繼續(xù)沿原來的方向跑 填 有 或 沒有 危險 5或12 有 課堂精講知識點方位角的概念指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90 的水平角 叫方向角 如圖所示目標(biāo)方向線OA OB OC的方向角分別可以表示為北偏東30 南偏東45 北偏西30 其中南偏東45 習(xí)慣上又叫做東南方向 北偏東45 習(xí)慣上又叫做東北方向 北偏西45 習(xí)慣上又叫做西北方向 南偏西45 習(xí)慣上又叫做西南方向 注意 因為方向角是指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的角 所以方向角都寫成 北偏 南偏 的形式 而一般不寫成 西偏 東偏 的形式 解決實際問題時 可利用正南 正北 正西 正東方向線構(gòu)造直角三角形來求解 例1 如圖 一艘海輪位于燈塔P的北偏東30 方向 距離燈塔80海里的A處 它沿正南方向航行一段時間后 到達(dá)位于燈塔P的南偏東45 方向上的B處 這時 海輪所在的B處與燈塔P的距離為海里 結(jié)果保留根號 解析 作PC AB于C 由已知條件易求PC的長 在Rt PBC中 PC 40 PBC BPC 45 則PB可求出 解 作PC AB于C 在Rt PAC中 PA 80 PAC 30 PC 40在Rt PBC中 PC 40 PBC BPC 45 PB 40答案 40 例2 2015 泰安模擬 甲 乙兩條輪船同時從港口A出發(fā) 甲輪船以每小時30海里的速度沿著北偏東60 的方向航行 乙輪船以每小時15海里的速度沿著正東方向行進(jìn) 1小時后 甲船接到命令要與乙船會合 于是甲船改變了行進(jìn)的速度 沿著東南方向航行 結(jié)果在小島C處與乙船相遇 假設(shè)乙船的速度和航向保持不變 求 1 港口A與小島C之間的距離 2 甲輪船后來的速度 解析 1 根據(jù)題意畫出圖形 再根據(jù)平行線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)解答即可 2 根據(jù)甲乙兩輪船從港口A至港口C所用的時間相同 可以求出甲輪船從B到C所用的時間 又知BC間的距離 繼而求出甲輪船后來的速度 解 1 作BD AC于點D 如圖所示 由題意可知AB 30 1 30 BAC 30 BCA 45 在Rt ABD中 AB 30 BAC 30 BD 15 AD AB cos30 15在Rt BCD中 BD 15 BCD 45 CD 15 BC 15 AC AD CD 15 15即A C間的距離為 15 15 海里 2 AC 15 15 輪船乙從A到C的時間為 1 輪船甲由B到C的時間為 1 1 BC 15 輪船甲從B到C的速度為 5 海里 小時 答 港口A與小島B之間的距離為 15 15 海里 甲輪船后來的速度為5海里 小時 10 解 由已知得在Rt PBC中 PBC 60 PC BC tan60 BC在Rt APC中 PAC 30 AC PC 3BC 500 BC解得BC 250 PC 250 米 答 燈塔P到環(huán)海路的距離PC等于250米 隨堂檢測1 如圖 一艘海輪位于燈塔P的東北方向 距離燈塔40海里的A處 它沿正南方向航行一段時間后 到達(dá)位于燈塔P的南偏東30 方向上的B處 則海輪行駛的路程AB為 海里 A 40 40B 80C 40 20D 80 2 如圖 機(jī)器人從A點出發(fā) 沿著西南方向行了4m到達(dá)B點 在點B處觀察到原點O在它的南偏東60 的方向上 則OA m 結(jié)果保留根號 A 如圖 在B處觀測燈塔A位于南偏東75 方向上 輪船從B以每小時60海里的速度沿南偏東30 方向勻速航行 輪船航行半小時到達(dá)C處 在C處觀測燈塔A位于北偏東60 方向上 則C處與A處的距離是海里 30 4 2015 東營模擬 如圖 某海監(jiān)船向正西方向勻速航行 在A處望見一艘正在作業(yè)的漁船D在南偏西45 方向 海監(jiān)船航行到B處時望見漁船D在南偏東45 方向 又航行了半小時到達(dá)C處 望見漁船D在南偏東60 方向 若海監(jiān)船的速度為50海里 小時 求A B之間的距離 取 1 7 結(jié)果精確到0 1海里 解 DBA DAB 45 DAB是等腰直角三角形 過點D作DE AB于點E 則DE AB 設(shè)DE x 則AB 2x在Rt CDE中 DCE 30 則CE DE x在Rt BDE中 DBE 45 則DE BE x CB CE BE x x 25解得x AB 25 1 67 5 海里 答 A B之間的距離約為67 5海里 5 2015 吳興區(qū)一模 如圖 燈塔A周圍1000m水域內(nèi)有暗礁 一般船由西向東航行 在O處測得燈塔A在北偏東60 方向上 這時OA 2100m 若不改變航向 此船有無觸礁的危險 解 此船無觸礁的危險 過點A作AB OB于點B 由題意可得OA 2100 AOB 90 60 30 AB OA 1050 m 1050 1000 此船無觸礁的危險