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1、 第21練圓錐曲線的綜合應(yīng)用【理】 一.題型考點(diǎn)對(duì)對(duì)練 1.(直線與圓錐曲線的位置關(guān)系)【黑龍江省齊齊哈爾2018屆模擬】已知橢圓，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，橢圓的左頂點(diǎn)為，直線分別與直線相交于兩點(diǎn).則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 本題選擇B選項(xiàng). 2.(圓錐曲線中的范圍、最值問(wèn)題)已知雙曲線右焦點(diǎn)為F，P為雙曲線左支上一點(diǎn)，點(diǎn),則周長(zhǎng)的最小值為 A. （B） C. （D） 【答案】A 3.(圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)、存在性問(wèn)題)如圖， 為橢圓長(zhǎng)軸的左、右

2、端點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為橢圓上不同于的三點(diǎn)，直線圍成一個(gè)平行四邊形，則（ ） A. 14 B. 12 C. 9 D. 7 【答案】A 【解析】設(shè)， 斜率分別為，則的斜率為，且，所以，同理，因此 .故選A． 4.(軌跡與軌跡方程)已知點(diǎn)，直線，直線垂直于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn). （1）求點(diǎn)的軌跡的方程； （2）已知點(diǎn)，過(guò)且與軸不垂直的直線交于兩點(diǎn)，直線分別交于點(diǎn)，求證：以為直徑的圓必過(guò)定點(diǎn). （2）由題意可設(shè)直線，代入，得， 設(shè)，則；又，設(shè)直線的斜率分別為，則，設(shè)， 令，得，同理，得，從而； .又以為直徑的圓的方程為： ，即，即，令，解

3、得或，從而以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)和. 5.(直線與圓錐曲線的位置關(guān)系)【2018屆南京市聯(lián)考】已知橢圓： 的右焦點(diǎn)為，過(guò)作直線（不過(guò)原點(diǎn)）交橢圓于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，直線交橢圓的右準(zhǔn)線于 （1）若直線垂直軸時(shí)， ，求橢圓的離心率； （2）若橢圓的離心率，當(dāng)直線斜率存在時(shí)設(shè)為，直線的斜率設(shè)為，試求的值。 6. (圓錐曲線中的范圍、最值問(wèn)題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓W： 的離心率為，直線l：y＝2上的點(diǎn)和橢圓W上的點(diǎn)的距離的最小值為1． (Ⅰ) 求橢圓W的方程； (Ⅱ) 已知橢圓W的上頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B，C是W上的不同于A的兩點(diǎn)，且點(diǎn)B，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線AB，AC分別交直線l

4、于點(diǎn)E，F(xiàn)．記直線與的斜率分別為， ． ① 求證： 為定值； ② 求△CEF的面積的最小值. 證法二：直線AC的方程為， 由得， 解得，同理，因?yàn)锽，O，C三點(diǎn)共線，則由， 整理得，所以． ②直線AC的方程為，直線AB的方程為，不妨設(shè)，則， 令y＝2，得，而， 所以，△CEF的面積 ． 由得，則 ，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，所以△CEF的面積的最小值為． 7. (圓錐曲線中的范圍、最值問(wèn)題)如圖，過(guò)橢圓： 的左右焦點(diǎn)分別作直線， 交橢圓于與，且. （1）求證：當(dāng)直線的斜率與直線的斜率都存在時(shí)， 為定值； （2）求四邊形面積的最大值. （2）當(dāng)?shù)膬A斜角為時(shí)，

5、與重合，舍去.當(dāng)?shù)膬A斜角不為0時(shí)，由對(duì)稱性得四邊形為平行四邊形， ，設(shè)直線的方程為，代入，得.顯然， ， .所以，設(shè)，所以， .所以.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以.所以平行四邊形面積的最大值為. 8.(圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)、存在性問(wèn)題)已知的頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸上移動(dòng)， ，且的中點(diǎn)在軸上． （Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程； （Ⅱ）已知過(guò)的直線交軌跡于不同兩點(diǎn)， ，求證： 與， 兩點(diǎn)連線， 的斜率之積為定值． 由得，所以， ，，同理，，所以與， 兩點(diǎn)連線的斜率之積為定值4． 9. (圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)、存在性問(wèn)題)【江蘇省如東2018屆期中】已知橢圓的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是坐標(biāo)平面

6、內(nèi)一點(diǎn)，且， （為坐標(biāo)原點(diǎn)）. （1）求橢圓的方程； （2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過(guò)該點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由. 【解析】（1）設(shè)， ， ，則由，得； 由得，即.所以. 又因?yàn)?，所?因此所求橢圓的方程為： . （2）設(shè)動(dòng)直線的方程為： ，由得. 設(shè)， ，則， .假設(shè)在軸上是否存在定點(diǎn)，滿足題設(shè)，則， . ，由假設(shè)得對(duì)于任意的， 恒成立，即解得.因此，在軸上存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過(guò)該點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為. 二.易錯(cuò)問(wèn)題糾錯(cuò)練 10.（忽略軌跡的純粹性）如圖，拋物線： 與圓： 相交于， 兩點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)

7、為.過(guò)劣弧上動(dòng)點(diǎn)作圓的切線交拋物線于， 兩點(diǎn)，分別以， 為切點(diǎn)作拋物線的切線， ， 與相交于點(diǎn). （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程. 【解析】（Ⅰ）由點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入，解得 （Ⅱ）利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可知方程為，其中， 滿足， ，再利用中點(diǎn)公式，可知滿足，代入得，考慮到，知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為， ． 【注意問(wèn)題】求出軌跡方程后注意范圍，不符合的點(diǎn)． 11. （忽略對(duì)直線斜率不存在的情況）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，并且內(nèi)切于定圓. （1）求動(dòng)圓圓心的軌跡方程； （2）若上存在兩個(gè)點(diǎn)，（1）中曲線上有兩個(gè)點(diǎn)，并且三點(diǎn)共線， 三點(diǎn)共線， ，求四邊形的面積的最

8、小值. （2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的斜率為0，易得，四邊形的面積. 當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，聯(lián)立方程得 ，消元得 設(shè)，則， ∵，∴直線的方程為，，得 設(shè)，則， 四邊形的面積， 令， ，上式， 令， （），∴，∴，綜上可得，最小值為8. 【注意問(wèn)題】設(shè)直線方程時(shí)，用到斜率需討論率不存在時(shí)． 12.（直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)忽略）已知橢圓： 的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為， ，過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)， 的面積為，橢圓的離心力為． （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線： 與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于， 兩個(gè)不同的點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的取值范圍．

9、 【解析】（Ⅰ）根據(jù)已知橢圓的焦距為，當(dāng)時(shí)， ，由題意的面積為，由已知得，∴，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 且， ，由，得，即，∴，∴，即． 當(dāng)時(shí)， 不成立，∴，∵，∴，即，∴，解得或．綜上所述， 的取值范圍為． 【注意問(wèn)題】在解直線與二次曲線位置關(guān)系是，需考慮直線與二次曲線有有兩個(gè)交點(diǎn)即． 三.新題好題好好練 13. 【四川省成都市2018屆一診】已知兩點(diǎn)分別在軸和軸上運(yùn)動(dòng)，且，若動(dòng)點(diǎn)滿足 （1）求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）直線與曲線交于兩點(diǎn)， ，試問(wèn)：當(dāng)變化時(shí)，是否存在一直線，使得面積為？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由. （2）由方程組得

10、設(shè)則 所以 因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以的面積，令則不成立，不存在直線滿足題意. 14. 【2018屆遼寧省沈陽(yáng)聯(lián)考】平面直角坐標(biāo)系中，橢圓： （）的離心率是，拋物線： 的焦點(diǎn)是的一個(gè)頂點(diǎn)． （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)是上動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限， 在點(diǎn)處的切線與交于不同的兩點(diǎn)， ，線段的中點(diǎn)為，直線與過(guò)且垂直于軸的直線交于點(diǎn)． （i）求證：點(diǎn)在定直線上； （ii）直線與軸交于點(diǎn)，記的面積為， 的面積為，求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)． ，由，得且，因此,將其代入得，因?yàn)?，所以直線方程為.聯(lián)立方程，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)在定直線上 （Ⅱ）由（Ⅰ）知直線方程為，令得，所以， 又 ，所以， ，所以， 令，則，當(dāng)，即時(shí)， 取得最大值，此時(shí)，滿足，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為 16.已知點(diǎn)是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓： 上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且直線與的斜率之積恒為. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)過(guò)左焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是，求的最小值. 設(shè)， 中點(diǎn)，∴. ∴ ∴的垂直平分線方程為，令，得 ∵，∴，∴． ， ． - 15 -