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1、第一部分第一部分 教材知識梳理教材知識梳理第三章第三章 函函 數數第五節(jié)第五節(jié) 二次函數的應用二次函數的應用考點一考點一中招考點清單二次函數的實際應用二次函數的實際應用1. 解題步驟解題步驟： (1)先分析問題中的數量關系，列出函數解析式；先分析問題中的數量關系，列出函數解析式； (2)研究自變量的取值范圍；研究自變量的取值范圍； (3)研究所得的函數；研究所得的函數； (4)檢驗檢驗x的取值是否在自變量的取值范圍內，并求相的取值是否在自變量的取值范圍內，并求相 關的值；關的值； (5)解決提出的實際問題解決提出的實際問題.2. 主要考查方向有主要考查方向有： (1)和實際生活相結合的最大和實

2、際生活相結合的最大(小小)值問題；值問題； (2)結合動點計算幾何圖形的長度和面積的考題；結合動點計算幾何圖形的長度和面積的考題； (3)和其他函數相結合的考題；和其他函數相結合的考題； (4)其他類型其他類型.考點二考點二 二次函數與幾何圖形的綜合二次函數與幾何圖形的綜合(高頻考點高頻考點) 函數與幾何知識的綜合應用題型很多，最常見的函數與幾何知識的綜合應用題型很多，最常見的類型有存在性問題、動點問題、動手操作問題，涉及類型有存在性問題、動點問題、動手操作問題，涉及的內容有方程、函數、等腰三角形、直角三角形、相的內容有方程、函數、等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、特殊的平行四邊

3、形等多種知似三角形、平行四邊形、特殊的平行四邊形等多種知識識.解決這類綜合應用問題，關鍵是要善于借助題中所解決這類綜合應用問題，關鍵是要善于借助題中所隱含的數形結合、轉化、方程等重要的數學思想建立隱含的數形結合、轉化、方程等重要的數學思想建立函數模型函數模型.通常情況下，它們的應對策略如下：通常情況下，它們的應對策略如下：1. 對于存在性問題對于存在性問題：注意靈活運用數形結合思想，可先假：注意靈活運用數形結合思想，可先假 設存在，然后再借助已知條件求解，如果有解設存在，然后再借助已知條件求解，如果有解(求出的結求出的結 果符合題目要求果符合題目要求)，則假設成立，即存在；如果無解，則假設成立

4、，即存在；如果無解(推出推出 矛盾或求出的結果不符合題目要求矛盾或求出的結果不符合題目要求)，則假設不成立，即，則假設不成立，即 不存在不存在.2. 對于動點問題對于動點問題：通常利用數形結合、分類和轉化思想，：通常利用數形結合、分類和轉化思想， 借助圖形，切實把握圖形運動的全過程，動中取靜，選借助圖形，切實把握圖形運動的全過程，動中取靜，選 取某一時刻作為研究對象，然后根據題意建立方程模型取某一時刻作為研究對象，然后根據題意建立方程模型 或者函數模型求解或者函數模型求解.3. 對于特殊圖形判斷題對于特殊圖形判斷題:首先把握特殊圖形的特點，如等首先把握特殊圖形的特點，如等 腰三角形按三邊分別相

5、等分類；直角三角形按三個內腰三角形按三邊分別相等分類；直角三角形按三個內 角分別為直角進行分類，再代入函數關系式中，利用角分別為直角進行分類，再代入函數關系式中，利用 方程思想來求解方程思想來求解.失分點失分點12 用坐標表示線段長不注意取絕對值用坐標表示線段長不注意取絕對值 由于線段長恒為非負數，學生在利用兩點坐標相減由于線段長恒為非負數，學生在利用兩點坐標相減時不取絕對值造成失分時不取絕對值造成失分. .1. 若線段平行若線段平行y軸，則線段的長等于上端點的縱坐標減去軸，則線段的長等于上端點的縱坐標減去下端點的縱坐標下端點的縱坐標；2. 若線段平行若線段平行x軸，則線段的長等于右端點的橫坐

6、標減軸，則線段的長等于右端點的橫坐標減去左端點的橫坐標去左端點的橫坐標；3. x軸上的動點與軸上的動點與x軸上一個定點之間的距離，用動點的橫軸上一個定點之間的距離，用動點的橫坐標減去定點的橫坐標，再放進絕對值中，然后按動點在坐標減去定點的橫坐標，再放進絕對值中，然后按動點在定點左側或者右側分類討論定點左側或者右側分類討論.?？碱愋推饰鲱愋鸵活愋鸵?二次函數實際應用題二次函數實際應用題例例1 (15畢節(jié)畢節(jié))某商場有某商場有A、B兩種商品，若買兩種商品，若買2件件A商品和商品和1件件B商品，共需商品，共需80元元;若買若買3件件A商品和商品和2件件B商品，共需商品，共需135元元.(1)設設A、

7、B兩種商品每件售價分別為兩種商品每件售價分別為a元、元、b元，求元，求a，b的值的值;(2)B商品每件的成本是商品每件的成本是20元元.根據市場調查：若按根據市場調查：若按(1)中求出中求出的單價銷售，該商場每天銷售的單價銷售，該商場每天銷售B商品商品100件件;若銷售單價每上若銷售單價每上漲漲1元，元，B商品每天的銷售量就減少商品每天的銷售量就減少5件件.求每天求每天B商品的銷售利潤商品的銷售利潤y(元元)與銷售單價與銷售單價x(元元)之間的函之間的函數關系；數關系；求銷售單價為多少元時，求銷售單價為多少元時，B商品每天的銷售利潤最大，商品每天的銷售利潤最大，最大利潤是多少？最大利潤是多少？

8、(1)【思路分析思路分析】由由2件件A商品和商品和1件件B商品需要商品需要80元元，3件件A商商品和品和2件件B商品需要商品需要135元元，列二元一次方程組求解列二元一次方程組求解.解解：根據題意列方程得：根據題意列方程得2a+b=803a+2b=135，解得解得a=25b=30.答：答：a、b的值分別為的值分別為25,30；(2)【思路分析思路分析】根據根據“利潤利潤(售價售價-成本成本)銷量銷量”列出列出y關關于于x的函數關系式的函數關系式；利用二次函數最值確定最大利潤利用二次函數最值確定最大利潤.解解：銷售單價為銷售單價為x元，元，銷售量為銷售量為100-5(x-30)件，件，根據題意得

9、根據題意得y=(x-20)100-5(x-30)=-5x2+350 x-5000,答：答：y關于關于x的函數關系式為的函數關系式為y=-5x2+350 x-5000(30 x50).由拋物線對稱軸為由拋物線對稱軸為 ， bx,a35035225 可知當售價為可知當售價為35元時，元時，B商品每天的銷售利潤最大，最大商品每天的銷售利潤最大，最大利潤為利潤為y=-5352+35035-5000=1125(元元). 答：答：當銷售單價為當銷售單價為35元時，元時，B商品每天的利潤最大，最大商品每天的利潤最大，最大利潤為利潤為1125元元.【方法指導方法指導】對于二次函數的實際應用的題目，通常的對于二

10、次函數的實際應用的題目，通常的方法是根據題中數量間的相等關系列出函數關系式，即方法是根據題中數量間的相等關系列出函數關系式，即建立二次函數模型，然后運用二次函數的性質解決問題建立二次函數模型，然后運用二次函數的性質解決問題.類型二類型二 二次函數與幾何圖形結合問題二次函數與幾何圖形結合問題例例2 (15甘肅省卷甘肅省卷)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點經過點A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其對稱軸與，其對稱軸與x軸相軸相交于點交于點M.(1)求此拋物線的解析式和對稱軸；求此拋物線的解析式和對稱軸；(2)在此拋物線的對稱軸上是否存在一點在此拋物線的

11、對稱軸上是否存在一點P，使，使PAB的的周長最??？若存在，請求出點周長最??？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請的坐標；若不存在，請說明理由；說明理由；(3)連接連接AC，在直線，在直線AC下方的拋物線上，是否存在一點下方的拋物線上，是否存在一點N，使，使NAC的面積最大？若存在，請求出點的面積最大？若存在，請求出點N的坐標；的坐標；若不存在，請說明理由若不存在，請說明理由.解解：設拋物線的解析式為：設拋物線的解析式為ya(x-1)(x-5)，把點把點A(0，4)代入上式，解得代入上式，解得a ， ,拋物線的對稱軸是拋物線的對稱軸是x3.45 yxxxxx224424416154355555

12、(1)【思路分析思路分析】由題意可設交點式由題意可設交點式y=a(x1)(x5),再將再將A點的坐標代入即可點的坐標代入即可；(2)【思路分析思路分析】AB的長度是不變的，所以只有當的長度是不變的，所以只有當PA+PB最最小時小時，ABP的周長最小，因為點的周長最小，因為點B與點與點C關于對稱軸對稱關于對稱軸對稱，連接連接AC，則則AC與對稱軸的交點即為所求與對稱軸的交點即為所求P點點；解解：存在存在；P點坐標為點坐標為(3， ).85如解圖，連接如解圖，連接AC交對稱軸于點交對稱軸于點P，連接連接BP，BA，點點B與點與點C關于對稱軸對稱，關于對稱軸對稱，PB=PC，AB+AP+PBAB+A

13、P+PCAB+AC，AB為定值，為定值，此時此時PAB的周長最小，的周長最小，設直線設直線AC的解析式為的解析式為ykx+b (k0)，把把A(0，4)，C(5 ， 0)代入代入y=kx+b中中,b=45k+b=0得得解得解得kb 454直線直線AC的解析式為的解析式為y- x+4，點點P的橫坐標為的橫坐標為3，y- 3+4= .P(3， ).45458585(3)【思路分析思路分析】設存在點設存在點N(t, )使使NAC的的面積最大面積最大，用用t表示出表示出NAC面積的函數關系式，根據函面積的函數關系式，根據函數的性質求最大值，若存在最大值，則點數的性質求最大值，若存在最大值，則點N存在并

14、可求存在并可求出出N點坐標，反之不存在點坐標，反之不存在.tt2424455解解：在直線：在直線AC下方的拋物線上存在點下方的拋物線上存在點N，使，使NAC面積面積最大最大.如解圖，設如解圖，設N點的橫坐標為點的橫坐標為t，此時點此時點N(t， )(0t5).過點過點N作作y軸的平行線，分別交軸的平行線，分別交x軸、軸、AC于點于點F、G，過點，過點Att2424455作作ADNG,垂足為垂足為D.由由(2)可知直線可知直線AC的解析式為的解析式為yx 445把把x=t代入代入 得得 ，則則G(t， ).此時，此時，NG ，yx 445yt 445t445ttttt 2244244444555

15、5AD+CFOC5，SNAC =SANG +SCNG = NGAD+ NGCF NGOC121212ttttt 222144525210525222當當t 時，時，NAC面積的最大值為面積的最大值為 ，由由t ，得，得 ，N( ，-3).52252tt 242443555252【方法指導方法指導】探究最值的存在性問題的基本步驟：探究最值的存在性問題的基本步驟：第一步第一步：首先要確定所求三角形或四邊形面積最值，可設：首先要確定所求三角形或四邊形面積最值，可設動點運動的時間動點運動的時間t或動點的坐標或動點的坐標(t,at2+bt+c)；第二步第二步：(1)求三角形面積最值時要用含求三角形面積最

16、值時要用含t的代數式表示出三的代數式表示出三角形的底和高，此時就應先證明涉及到底和高的三角形與角形的底和高，此時就應先證明涉及到底和高的三角形與已知線段長度的三角形相似，從而求得用含已知線段長度的三角形相似，從而求得用含t的代數式表示的代數式表示底和高；底和高；(2)求四邊形的面積最值時，常用到的方法是利用求四邊形的面積最值時，常用到的方法是利用割補法將四邊形分成兩個三角形，從而利用三角形的方法割補法將四邊形分成兩個三角形，從而利用三角形的方法求得用含求得用含t的代數式表示線段的長度；的代數式表示線段的長度；第三步第三步：用含有未知數的代數式表示出圖形面積；用含有未知數的代數式表示出圖形面積；

17、第四步第四步：用二次函數的知識來求最大值或者最小值：用二次函數的知識來求最大值或者最小值.拓展題拓展題 (15東營東營)如圖，拋物線經過如圖，拋物線經過A(-2，0)，B(- ，0)，C(0，2)三點三點.拓展題圖拓展題圖 (1)求拋物線的解析式；求拋物線的解析式；(2)在直線在直線AC下方的拋物線上有一點下方的拋物線上有一點D，使得，使得DCA的面積的面積最大，求點最大，求點D的坐標；的坐標；(3)設點設點M是拋物線的頂點，試是拋物線的頂點，試判斷拋物線上是否存在點判斷拋物線上是否存在點H滿足滿足AMH90？若存在，請求？若存在，請求出點出點H的坐標；若不存在，請的坐標；若不存在，請說明理由

18、說明理由.12解：解：(1)該拋物線過點該拋物線過點C(0，2)，可設該拋物線的解析式為可設該拋物線的解析式為y=ax2+bx+2(a0).將將A(-2，0)，B(- ，0)代入，得代入，得124a-2b+2=0 ，ab112042a=2b=5，解得：解得：此拋物線的解析式為此拋物線的解析式為y=2x2+5x+2；(2)由由A(-2，0)，C(0，2)可求得直線可求得直線AC的解析式為的解析式為y=x+2如解圖，設如解圖，設D點的坐標為點的坐標為(t，2t2+5t+2)，過過D作作y軸的平行線交軸的平行線交AC于于E.E點的坐標為點的坐標為(t,t+2).DE=t+2-(2t2+5t+2)=-

19、2t2-4t，用用h表示點表示點C到線段到線段DE所在所在直線的距離，則直線的距離，則A到到DE的的距離為距離為2-h，拓展題解圖拓展題解圖SDAC =SCDE +SADE = DEh+ DE(2-h)= DE2=-2t2-4t=-2(t+1)2+2.-2t0，121212當當t=-1時，時，-2t2-4t能取到最大值，能取到最大值，此時此時DAC面積最大，點面積最大，點D的坐標為的坐標為(-1，-1).(3)存在點存在點H滿足滿足AMH=90理由如下：由理由如下：由(1)知，點知，點M的坐標為的坐標為( ，- )，如解圖，如解圖，假設存在點假設存在點H，滿足，滿足AMH=90.作直線作直線M

20、H交交x軸于點軸于點K(x，0)，作，作MNx軸于點軸于點N.AMN+KMN=90,NKM+KMN=90,AMN=NKM.ANM=MNK=90,AMNMKN, 5498ANMNMNNK 拓展題解圖拓展題解圖MN2=ANNK,( )2=(2- )(x+ ),解得解得x= ,點點K的坐標為的坐標為( ,0).直線直線MK的解析式為的解析式為y= x- .98545471671623724聯立聯立 y=2x2+5x+2 ,y= x-23724把代入，化簡得：把代入，化簡得：48x2+104x+55=0.=1042-44855=644=2560.x1=- (舍去舍去)，x2=- .將將x2=- 代入代入 中，中，解得解得y=- .直線直線MK與拋物線有兩個交點與拋物線有兩個交點M、H.5411121112yx273246572拋物線上存在點拋物線上存在點H，滿足，滿足AMH90，此時點，此時點H的坐的坐標為標為(- ,- ).11126572