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遼寧省中考數(shù)學(xué) 第19講 特殊三角形課件

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1、第19講特殊三角形第五章圖形的性質(zhì)(一)等腰(邊)三角形、直角三角形的性質(zhì)及判定性質(zhì)判定等腰三角形(1)兩腰相等,兩底角相等;(2)頂角的平分線,底邊上的中線,底邊上的高互相重合;(3)是軸對(duì)稱(chēng)圖形,有一條對(duì)稱(chēng)軸(1)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形;(2)有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形等邊三角形(1)三邊相等;(2)各角相等,且都等于60;(3)是軸對(duì)稱(chēng)圖形,有三條對(duì)稱(chēng)軸(1)三條邊相等的三角形是等邊三角形;(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形;(3)有一個(gè)角等于60的_是等邊三角形直角三角形(1)兩銳角之和等于90;(2)斜邊上的中線等于斜邊的_;(3)30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

2、;(4)若有一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于_;(5)兩直角邊的平方和等于斜邊的平方(1)有一個(gè)角為90的三角形是直角三角形;(2)一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形;(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形等腰三角形一半301計(jì)算有關(guān)線段長(zhǎng)問(wèn)題,如果所求線段是在直角三角形中,一般應(yīng)用勾股定理求解,即直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和2有關(guān)等腰三角形的問(wèn)題,若條件中沒(méi)有明確底和腰時(shí),一般應(yīng)從某一邊是底還是腰這兩個(gè)方面進(jìn)行討論,還要特別注意構(gòu)成三角形的條件;同時(shí),在底角沒(méi)有被指定的等腰三角形中,應(yīng)就某角是頂角還是底角進(jìn)行

3、討論注意運(yùn)用分類(lèi)討論的方法,將問(wèn)題考慮全面,不能想當(dāng)然3面積法:用面積法證題是常用的技巧方法之一,使用這種方法時(shí)一般是利用某個(gè)圖形的多種面積求法或面積之間的和差關(guān)系列出等式,從而得到要證明的結(jié)論1(2014盤(pán)錦)如圖,ABC中,ABAC6,點(diǎn)M在BC上,MEAC,交AB于點(diǎn)E,MFAB,交AC于點(diǎn)F,則四邊形MEAF的周長(zhǎng)是()A6 B8 C10 D12D2(2014丹東)如圖,在ABC中,ABAC,A40,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連接BE,則CBE的度數(shù)為()A70 B80 C40 D30DD 4(2015遼陽(yáng))如圖,在ABC中,BDAC于D,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),AD6,D

4、E5,則線段BD的長(zhǎng)等于_5(2014鞍山)如圖,H是ABC的邊BC的中點(diǎn),AG平分BAC,點(diǎn)D是AC上一點(diǎn),且AGBD于點(diǎn)G,已知AB12,BC15,GH5,則ABC的周長(zhǎng)為_(kāi).8496(2014遼陽(yáng))如圖,ABC中,AD是中線,AE是角平分線,CFAE于F,AB5,AC3,則DF的長(zhǎng)為_(kāi)12 8(2013沈陽(yáng))已知等邊三角形ABC的高為4,在這個(gè)三角形所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)P到AB的距離是1,點(diǎn)P到AC的距離是2,則點(diǎn)P到BC的最小距離和最大距離分別是_1,79(2014錦州)如圖,在ABC中,點(diǎn)D在AB上,且CDCB,點(diǎn)E為BD的中點(diǎn),點(diǎn)F為AC的中點(diǎn),連接EF交CD于點(diǎn)M,連接AM

5、.(1)求證:EFAC.(2)若BAC45,求線段AM,DM,BC之間的數(shù)量關(guān)系等腰三角形有關(guān)邊角的討論 【例1】(1)(2015荊門(mén))已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和4,則該等腰三角形的周長(zhǎng)為()A8或10 B8C10 D6或12(2)(葫蘆島模擬)等腰三角形一條邊的邊長(zhǎng)為3,它的另兩條邊的邊長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x212xk0的兩個(gè)根,則k的值是()A27 B36 C27或36 D18解析:分兩種情況:當(dāng)其他兩條邊中有一個(gè)為3時(shí),將x3代入原方程,得32123k0,k27,將k27代入原方程,得x212x270,解得x3或9.3,3,9不能夠組成三角形;當(dāng)3為底時(shí),則其他兩條邊相等,

6、即0,此時(shí)1444k0,k36.將k36代入原方程,得x212x360,解得x6,3,6,6能夠組成三角形,故答案為BCB【點(diǎn)評(píng)】在等腰三角形中,如果沒(méi)有明確底邊和腰,某一邊可以是底,也可以是腰同樣,某一角可以是底角也可以是頂角,必須仔細(xì)分類(lèi)討論對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1(1)(2015南寧)如圖,在ABC中,ABADDC,B70,則C的度數(shù)為()AA35B40C45D50(2)(朝陽(yáng)模擬)等腰三角形的一個(gè)外角是60,則它的頂角的度數(shù)是_120等腰三角形的性質(zhì) 【例2】(2015北京)如圖,在ABC中,ABAC,AD是BC邊上的中線,BEAC于點(diǎn)E.求證:CBEBAD.證明:ABAC,AD是BC邊上的中線,A

7、DBC,AD平分BAC,BEAC,CBECCADC90,又CADBAD,CBEBAD【點(diǎn)評(píng)】等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合對(duì)應(yīng)訓(xùn)練2(2014菏澤)如圖,在ABC中,AD平分BAC,BDAD,垂足為點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DEAC,交AB于點(diǎn)E,若AB5,求線段DE的長(zhǎng)解:AD平分BAC,BADCAD,DEAC,CADADE,BADADE,AEDE,ADDB,ADB90,EADABD90,ADEBDEADB90,ABDBDE,DEBE,AB5,DEBEAE2.5等邊三角形 【例3】如圖,在等邊ABC中,ABC與ACB的平分線相交于點(diǎn)O,且ODAB,OEAC.(1)試判定ODE的

8、形狀,并說(shuō)明你的理由;(2)線段BD,DE,EC三者有什么關(guān)系?寫(xiě)出你的判斷過(guò)程解:(1)ODE是等邊三角形,理由:ABC是等邊三角形,ABCACB60,ODAB,OEAC,ODEABC60,OEDACB60ODE是等邊三角形(2)BDDEEC,理由:OB平分ABC,且ABC60,ABOOBD30,ODAB,BODABO30,DBODOB,DBDO,同理,ECEO,DEODOE,BDDEEC【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查等邊三角形的判定及性質(zhì)的理解及運(yùn)用對(duì)應(yīng)訓(xùn)練3(1)(沈陽(yáng)模擬)如圖,將等邊ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),使邊AB與AC重合得ACD,BC的中點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F,則EAF的度數(shù)是_ 60(2

9、)(大連模擬)如圖,點(diǎn)D在等邊三角形ABC的邊AB上,點(diǎn)F在邊AC上,連接DF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,EFFD.求證:ADCE.直角三角形、勾股定理 【例4】(1)(本溪模擬)如圖,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開(kāi)若測(cè)得AM的長(zhǎng)為1.2 km,則M,C兩點(diǎn)間的距離為()A0.5 km B0.6 km C0.9 km D1.2 km(2)(2015桂林)下列各組線段能構(gòu)成直角三角形的一組是()A30,40,50 B7,12,13 C5,9,12 D3,4,6【點(diǎn)評(píng)】(1)在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半理解題意,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是解題的關(guān)鍵(2)在應(yīng)用

10、勾股定理的逆定理時(shí),應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系,確定最大邊后,再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系,進(jìn)而作出判斷DA對(duì)應(yīng)訓(xùn)練4(1)(撫順模擬)在ABC中,AB13 cm,AC20 cm,BC邊上的高為12 cm,則ABC的面積為_(kāi)cm2.(2)(2015蘇州)如圖,四邊形ABCD為矩形,過(guò)點(diǎn)D作對(duì)角線BD的垂線,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,取BE的中點(diǎn)F,連接DF,DF4.設(shè)ABx,ADy,則x2(y4)2的值為_(kāi) 126或66166.從不同的視角來(lái)證明幾何命題 試題(2015營(yíng)口)【問(wèn)題探究】(1)如圖,銳角ABC中分別以AB,AC為邊向外作等腰ABE和等腰ACD,使AEAB,AD

11、AC,BAECAD,連接BD,CE,試猜想BD與CE的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由【深入探究】(2)如圖,四邊形ABCD中,AB7 cm,BC3 cm,ABCACDADC45,求BD的長(zhǎng)審題視角(1)首先根據(jù)等式的性質(zhì)證明EACBAD,則根據(jù)SAS即可證明EAC BAD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明;(2)在ABC的外部,以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角BAE,使BAE90,AEAB,連接EA,EB,EC,證明EAC BAD,證明BDCE,然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解答題思路第一步:通讀問(wèn)題,根據(jù)問(wèn)題選擇合理的幾何分析方法;第二步:(1)綜合法(由因?qū)Ч?:從命題的題設(shè)出發(fā),通過(guò)一系列的有關(guān)定

12、理、公理、定義的運(yùn)用,逐步向前推進(jìn),直到問(wèn)題的解決;(2)分析法(執(zhí)果索因),從命題的結(jié)論考慮,推敲使其成立需必備的條件,然后再把條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲,如此逐步向上逆推,直到已知的條件為止;(3)兩類(lèi)結(jié)合法,將分析法與綜合法合并使用比較起來(lái),分析法利于思考,綜合法宜于表達(dá)因此,在實(shí)際思考問(wèn)題時(shí),可綜合使用,靈活處理,以縮短題設(shè)與結(jié)論之間的距離,直到完全溝通;第三步:視問(wèn)題需要,添加合理的輔助線,把已知與未知集中在一起;第四步:從已知出發(fā),一步一步作推理,使得問(wèn)題得以證明;第五步:反思回顧,查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn),完善解題步驟19.三角形的高可能在形外三角形的高可能在形外 試題1在ABC中,高

13、AD和高BE相交于H,且BHAC,求ABC的度數(shù)錯(cuò)解解:如圖,在RtBHD和RtACD中,CCAD90,CHBD90,HBDCAD.又BHAC,BHD ACD,BDAD.ADB90,ABC45.剖析當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí),高AD和高BE的交點(diǎn)H在三角形內(nèi);當(dāng)ABC是為鈍角三角形時(shí),高AD和高BE的交點(diǎn)H在三角形外在解與高有關(guān)的問(wèn)題時(shí),應(yīng)考慮的全面試題2已知ABC是等腰三角形,由A所引BC邊上的高恰好等于BC邊長(zhǎng)的一半,試求BAC的度數(shù)剖析(1)對(duì)于等腰三角形問(wèn)題,當(dāng)給出的條件(如邊、角情況)不明時(shí),一般要分情況逐一考察,否則容易出現(xiàn)錯(cuò)解或漏解的錯(cuò)誤(2)當(dāng)頂角是銳角時(shí),腰上的高在三角形內(nèi);當(dāng)頂角為直角時(shí),腰上的高與另一腰重合;當(dāng)頂角為鈍角時(shí),腰上的高在三角形外這是在解與等腰三角形腰上的高有關(guān)的問(wèn)題時(shí),應(yīng)考慮的幾個(gè)方面

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