《高考數(shù)學復習 17-18版 第10章 第54課 隨機事件的概率》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學復習 17-18版 第10章 第54課 隨機事件的概率（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第54課 隨機事件的概率 [最新考綱] 內容 要求 A B C 隨機事件與概率 √ 互斥事件及其發(fā)生的概率 √ 1．概率和頻率 (1)在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝為事件A出現(xiàn)的頻率． (2)對于給定的隨機事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)． 2．事件的關系與運算 定義 符號表示 包含關系 若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含

2、事件A(或稱事件A包含于事件B) B?A(或A?B) 相等關系 若B?A，且A?B，那么稱事件A與事件B相等 A＝B并事件 (和事件) 若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 (積事件) 若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B為不可能事件，那么稱事件A與事件B互斥 A∩B＝? 對立事件 若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件 A∩B＝? 且A∪B＝Ω 3.

3、概率的幾個基本性質 (1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式． ①如果事件A與事件B互斥，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)； ②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)＝1－P(B)． 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的．(　　) (2)在大量的重復實驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值．(　　) (3)對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件．(　　) (4)6張獎券中只有一張有獎，甲、乙先后各

4、抽取一張，則甲中獎的概率小于乙中獎的概率． [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．(教材改編)袋中裝有3個白球，4個黑球，從中任取3個球，則①恰有1個白球和全是白球；②至少有1個白球和全是黑球；③至少有1個白球和至少有2個白球；④至少有1個白球和至少有1個黑球． 在上述事件中，是對立事件的為________． ②　[至少有1個白球和全是黑球不同時發(fā)生，且一定有一個發(fā)生，∴②中兩事件是對立事件．] 3．(2016·天津高考改編)甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿開_______． 　[事件“甲不輸”包含“和棋”和“甲獲勝”這兩個互斥

5、事件，所以甲不輸?shù)母怕蕿椋?] 4．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，從A，B中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是________． 　[從A，B中各取一個數(shù)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6種情況， 其中和為4的有兩種情況(2,2)，(3,1)， 故所求事件的概率P＝＝.] 5．(2017·威海模擬)圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為，都是白子的概率是，則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________． 　[由題意知，所求概率P＝＋＝.] 隨機事件間的關系 　從1,2,3,4,5

6、這五個數(shù)中任取兩個數(shù)，其中：①恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù)；②至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；③至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；④至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù)．上述事件中，是對立事件的是________．(填序號) ③　[從1,2,3,4,5這五個數(shù)中任取兩個數(shù)有3種情況：一奇一偶，兩個奇數(shù)，兩個偶數(shù)， 其中“至少有一個是奇數(shù)”包含一奇一偶或兩個奇數(shù)這兩種情況，它與兩個都是偶數(shù)是對立事件． 又①②④中的事件可以同時發(fā)生，不是對立事件．] [規(guī)律方法]　1.本題中準確理解恰有兩個奇數(shù)(偶數(shù))，一奇一偶，至少有一個奇數(shù)(偶數(shù))是求解的關鍵，必要時可把所有試驗結果寫出來，看所求事件包

7、含哪些試驗結果，從而斷定所給事件的關系． 2．準確把握互斥事件與對立事件的概念． (1)互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但可以同時不發(fā)生． (2)對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件有且僅有一個發(fā)生． [變式訓練1]　口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同的小球，從中取出2球，事件A＝“取出的2球同色”，B＝“取出的2球中至少有1個黃球”，C＝“取出的2球至少有1個白球”，D＝“取出的2球不同色”，E＝“取出的2球中至多有1個白球”．下列判斷中正確的序號為________. 【導學號：62172298】 ①A與D為對立事件；②B與C是互斥事件；③C與E是對立事件；④P

8、(C＋E)＝1；⑤P(B)＝P(C)． ①④　[當取出的2個球中一黃一白時，B與C都發(fā)生，②不正確．當取出的2個球中恰有一個白球時，事件C與E都發(fā)生，則③不正確．顯然A與D是對立事件，①正確；C＋E為必然事件，④正確．由于P(B)＝，P(C)＝，所以⑤不正確．] 隨機事件的頻率與概率 　(2016·全國卷Ⅱ)某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下： 上年度出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 ?！≠M 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 隨機調查了該險種的200名

9、續(xù)保人在一年內的出險情況，得到如下統(tǒng)計表： 出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 頻數(shù) 60 50 30 30 20 10 (1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值； (2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”，求P(B)的估計值； (3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值． [解]　(1)事件A發(fā)生當且僅當一年內出險次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內出險次數(shù)小于2的頻率為＝0.55，故P(A)的估計值為0.55. (2)事件B發(fā)生當且僅當一年內出險次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內出

10、險次數(shù)大于1且小于4的頻率為＝0.3，故P(B)的估計值為0.3. (3)由所給數(shù)據(jù)得 保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 頻率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 調查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a. 因此，續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.192 5a. [規(guī)律方法]　1.解題的關鍵是根據(jù)統(tǒng)計圖表分析滿足條件的事件發(fā)生的頻數(shù)，計算頻率，用頻率估計概率． 2．頻率反映了一個隨機

11、事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù)(概率)，因此有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值． [變式訓練2]　(2017·西安質檢)隨機抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進行統(tǒng)計，結果如下： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天氣 晴 雨 陰 陰 陰 雨 陰 晴 晴 晴 陰 晴 晴 晴 晴 日期 16 17 18 19 20 21 22 23

12、 24 25 26 27 28 29 30 天氣 晴 陰 雨 陰 陰 晴 陰 晴 晴 晴 陰 晴 晴 晴 雨 (1)在4月份任選一天，估計西安市在該天不下雨的概率； (2)西安市某學校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)2天的運動會，估計運動會期間不下雨的概率． [解]　(1)由4月份天氣統(tǒng)計表知，在容量為30的樣本中，不下雨的天數(shù)是26， 以頻率估計概率，在4月份任選一天，西安市不下雨的概率為＝. (2)稱相鄰的兩個日期為“互鄰日期對”(如，1日與2日，2日與3日等)．這樣，在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16個，其中后一天不下雨的有1

13、4個，所以晴天的次日不下雨的頻率f＝＝. 以頻率估計概率，運動會期間不下雨的概率為. 互斥事件與對立事件的概率 　某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數(shù)據(jù)，如下表所示. 一次購物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及 以上 顧客數(shù)(人) x 30 25 y 10 結算時間 (分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%. (1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時間的平均值； (2)求一位顧客一次購物的結算

14、時間不超過2分鐘的概率．(將頻率視為概率). 【導學號：62172299】 [解]　(1)由題意，得 解得 該超市所有顧客一次性購物的結算時間組成一個總體，100位顧客一次購物的結算時間視為總體的一個容量為100的簡單隨機抽樣，顧客一次購物的結算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計． 又＝＝1.9， ∴估計顧客一次購物的結算時間的平均值為1.9分鐘． (2)設B，C分別表示事件“一位顧客一次購物的結算時間分別為2.5分鐘、3分鐘”．設A表示事件“一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率．” 將頻率視為概率，得P(B)＝＝， P(C)＝＝. ∵B，C互斥，且＝B＋C， ∴P

15、()＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝， 因此P(A)＝1－P()＝1－＝， ∴一位顧客一次購物結算時間不超過2分鐘的概率為0.7. [規(guī)律方法]　1.(1)求解本題的關鍵是正確判斷各事件的關系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出來． (2)結算時間不超過2分鐘的事件，包括結算時間為2分鐘的情形，否則會計算錯誤． 2．求復雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是間接法，先求該事件的對立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解．當題目涉及“至多”“至少”型問題，多考慮間接法． [變式訓練3]　某商場有獎銷

16、售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1 000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1張獎券的中獎概率； (3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率． [解]　(1)P(A)＝， P(B)＝＝， P(C)＝＝. 故事件A，B，C的概率分別為，，. (2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設“1張獎券中獎”這個事件為M，則M＝A＋B＋C. ∵A，B，C兩兩互斥， ∴P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝＝

17、， 故1張獎券的中獎概率約為. (3)設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件， ∴P(N)＝1－P(A＋B)＝1－＝， 故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為. [思想與方法] 1．對于給定的隨機事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)． 2．對立事件不僅兩個事件不能同時發(fā)生，而且二者必有一個發(fā)生． 3．求復雜的互斥事件的概率一般有兩種方法： (1)直接法：將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的求和公式計算．

18、 (2)間接法：先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即運用逆向思維(正難則反)． [易錯與防范] 1．易將概率與頻率混淆，頻率隨著試驗次數(shù)變化而變化，而概率是一個常數(shù)． 2．正確認識互斥事件與對立事件的關系：對立事件是特殊的互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件． 3．需準確理解題意，特別留心“至多……”“至少……”“不少于……”等語句的含義． 課時分層訓練(五十四) A組　基礎達標 (建議用時：30分鐘) 一、填空題 1．有一個游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、南、西、北四個方向前進，每人一個方

19、向．事件“甲向南”與事件“乙向南”是________事件． 互斥　[由于每人一個方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不可能的，故是互斥事件．] 2．從一箱產品中隨機地抽取一件，設事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的產品不是一等品”的概率為________． 0．35　[∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65， ∴事件“抽到的產品不是一等品”的概率為P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.] 3．給出下列三個命題，其中正確命題有________個． ①有一大批產品

20、，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品；②做7次拋硬幣的試驗，結果3次出現(xiàn)正面，因此正面出現(xiàn)的概率是；③隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率． 0　[①錯，不一定是10件次品；②錯，是頻率而非概率；③錯，頻率不等于概率，這是兩個不同的概念．] 4．已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結果． 經(jīng)隨機模擬產生了如下20組隨機數(shù)： 907　966　191　925

21、　271　932　812　458　569 683　431　257　393　027　556　488　730　113 537　989 據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為________. 【導學號：62172300】 　[20組隨機數(shù)中，恰有兩次命中的有5組，因此該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為P＝＝.] 5．(2017·云南昆明3月月考)中國乒乓球隊中的甲、乙兩名隊員參加奧運會乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率為，乙奪得冠軍的概率為，那么中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為________． 　[由于事件“中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事件“甲奪得冠軍”和“

22、乙奪得冠軍”，但這兩個事件不可能同時發(fā)生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式進行計算，即中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為＋＝.] 6．某袋中有編號為1,2,3,4,5,6的6個球(小球除編號外完全相同)，甲先從袋中摸出一個球，記下編號后放回，乙再從袋中摸出一個球，記下編號，則甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率是________． 　[設a，b分別為甲、乙摸出球的編號．由題意，摸球試驗共有n＝6×6＝36種不同結果，滿足a＝b的基本事件共有6種， 所以摸出編號不同的概率P＝1－＝.] 7.如圖54-1所示的莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數(shù)字被污損，則

23、甲的平均成績超過乙的平均成績的概率是________. 【導學號：62172301】 圖54-1 　[設被污損的數(shù)字為x，則 甲＝(88＋89＋90＋91＋92)＝90， 乙＝(83＋83＋87＋99＋90＋x)， 若甲＝乙，則x＝8. 若甲>乙，則x可以為0,1,2,3,4,5,6,7， 故P＝＝.] 8．拋擲一枚均勻的正方體骰子(各面分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過2”，則P(A＋B)＝________. 　[將事件A＋B分為：事件C“朝上一面的數(shù)為1,2”與事件D“朝上一面的數(shù)為3,5”．

24、則C，D互斥， 且P(C)＝，P(D)＝， ∴P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝.] 9．在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3，則下列說法正確的是________． ①A＋B與C是互斥事件，也是對立事件； ②B＋C與D是互斥事件，也是對立事件； ③A＋C與B＋D是互斥事件，但不是對立事件； ④A與B＋C＋D是互斥事件，也是對立事件． ④　[由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一個必然事件，故其事件的關系可由如圖所示的Venn圖表示，由圖可知，任何一個事件與其余3個事件的和事件必然是對立事件，任何兩個事件

25、的和事件與其余兩個事件的和事件也是對立事件，④正確．] 10．若隨機事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實數(shù)a的取值范圍是________． 　[由題意可知 解得

26、85 √ × × × 98 × √ × × (1)估計顧客同時購買乙和丙的概率； (2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率． [解]　(1)從統(tǒng)計表可以看出，在這1 000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙，所以顧客同時購買乙和丙的頻率為＝0.2. (2)從統(tǒng)計表可以看出，在這1 000位顧客中，有100位顧客同時購買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品，所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為＝0.3. 12．某班選派5人，參加學校舉行的數(shù)學競賽，獲獎的人數(shù)及其概率如下： 獲獎人數(shù)

27、0 1 2 3 4 5 概率 0.1 0.16 x y 0.2 z (1)若獲獎人數(shù)不超過2人的概率為0.56，求x的值； (2)若獲獎人數(shù)最多4人的概率為0.96，最少3人的概率為0.44，求y，z的值. 【導學號：62172302】 [解]　記事件“在競賽中，有k人獲獎”為Ak(k∈N，k≤5)，則事件Ak彼此互斥． (1)∵獲獎人數(shù)不超過2人的概率為0.56， ∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56， 解得x＝0.3. (2)由獲獎人數(shù)最多4人的概率為0.96，得 P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.

28、 由獲獎人數(shù)最少3人的概率為0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44， 即y＋0.2＋0.04＝0.44， 解得y＝0.2. B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．擲一個骰子的試驗，事件A表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點”，事件B表示“出現(xiàn)小于5的點數(shù)”，若表示B的對立事件，則一次試驗中，事件A＋發(fā)生的概率為________． 　[擲一個骰子的試驗有6種可能結果． 依題意P(A)＝＝，P(B)＝＝， ∴P()＝1－P(B)＝1－＝. ∵表示“出現(xiàn)5點或6點”的事件， 因此事件A與互斥， 從而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.] 2．某城市2017年的空氣

29、質量狀況如表所示： 污染指數(shù)T 30 60 100 110 130 140 概率P 其中污染指數(shù)T≤50時，空氣質量為優(yōu)；50

30、0 120 (1)若每輛車的投保金額均為2 800元，估計賠付金額大于投保金額的概率； (2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4 000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4 000元的概率． [解]　(1)設A表示事件“賠付金額為3 000元”，B表示事件“賠付金額為4 000元”，以頻率估計概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12. 由表格知，賠付金額大于投保金額即事件A＋B發(fā)生， 且A，B互斥， 所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27， 故賠付金額大于投保金額的概率為0.27.

31、 (2)設C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4 000元”，由已知，樣本車輛中車主為新司機的有0.1×1 000＝100(輛)，而賠付金額為4 000元的車輛中，車主為新司機的有0.2×120＝24(輛)， 所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4 000元的頻率為＝0.24， 因此，由頻率估計概率得P(C)＝0.24. 4．不透明袋中有3個白球，3個黑球，從中任意摸出3個球，求下列事件發(fā)生的概率： (1)摸出1個或2個白球； (2)至少摸出1個白球． [解]　將白球分別編號為1,2,3，黑球分別編號為4,5,6，則從6個球中任意摸出3個球，結果如下： 三白為(1,2,3)； 兩白一

32、黑為(1,2,4)，(1,2,5)，(1,2,6)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,3,6)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,3,6)；一白兩黑為(1,4,5)，(1,4,6)，(1,5,6)，(2,4,5)，(2,4,6)，(2,5,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(3,5,6)；三黑為(4,5,6)． 共有20種不同的結果． 從6個球中任取3個，記“恰有1個白球”為事件A1，“恰有2個白球”為事件A2，“恰有3個黑球”為事件B，事件A1與A2為互斥事件，則 (1)摸出1個或2個白球的概率P1＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝. (2)“至少摸出一個白球”的對立事件為“摸出的3個球都是黑球”，所以所求概率P2＝1－P(B)＝1－＝.