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1、學習好資料歡迎下載高考中的探索性問題江蘇省宿遷中學王愛斌、咼考大綱剖析2003 年以前數(shù)學考試說明中能力要求沒有創(chuàng)新意識。2004 年數(shù)學考試說明： 能力要求中指出，能力是指思維能力、運算能力、空間想象能力以 及實踐能力和創(chuàng)新意識。其中創(chuàng)新意識指對新穎的信息、情境和設(shè)問，選擇有效的方法和 手段收集信息，綜合與靈活地應(yīng)用所學的數(shù)學知識、思想和方法，進行獨立的思考、探索 和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題命題基本原則 中指出，創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力是理性思維的高層次表現(xiàn)在數(shù)學學習和研究過程中知識的遷移、組合、融匯的程度越高，展示能力的區(qū)域就越寬泛，顯現(xiàn)出的創(chuàng)造意識也就越強命題時要注意試題的多

2、樣性，設(shè)計考查數(shù)學主體內(nèi)容，體現(xiàn)數(shù)學素質(zhì)的題目；反映數(shù)、形運動變化的題目；研究 型、探索型或開放型的題目讓考生獨立思考，自主探索，發(fā)揮主觀能動性，研究問題的 本質(zhì)，尋求合適的解題工具 梳理解題程序，為考生展現(xiàn)其創(chuàng)新意識，發(fā)揮創(chuàng)造能力，創(chuàng) 設(shè)廣闊的空間.2005 年數(shù)學考試大綱（必修 +選 I ）:能力要求中創(chuàng)新意識增加了：創(chuàng)新意識是理性思維的高層次表現(xiàn)。對數(shù)學問題的“觀察、猜測、抽象、概括、證明”，是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要途徑，對數(shù)學知識的遷移、組合、融會的程度越高，顯示出的創(chuàng)造意識也就越強?？疾橐笾赋鰧?chuàng)新意識的考查是對高層次理性思維的考查。在考試中創(chuàng)設(shè)比較新穎的問題情境，構(gòu)造有一定深度

3、和廣度的數(shù)學問題，要注重問題的多樣化,體現(xiàn)思維的發(fā)散性。精心設(shè)計考察數(shù)學主體內(nèi)容，體現(xiàn)數(shù)學素質(zhì)的試題；反映數(shù)、形運動變化的試題；研究型、探 索型、開放型的試題。兩年考試大綱對比，說明今年高考對學生創(chuàng)新意識要求更高，近幾年高考試題中對這方面考查主要通過探索性問題來實現(xiàn)的。那么什么是探索性問題呢？如果把一個數(shù)學問題看作是由條件、依據(jù)、方法和結(jié)論四個要素組成的一個系統(tǒng)，那么把這四個要素中有兩個 是未知的數(shù)學問題稱之為探索性問題條件不完備和結(jié)論不確定是探索性問題的基本特征二、高考試題研究高考中的探索性問題主要考查學生探索解題途徑，解決非傳統(tǒng)完備問題的能力，是命 題者根據(jù)學科特點，將數(shù)學知識有機結(jié)合并賦

4、予新的情境創(chuàng)設(shè)而成的，要求考生自己觀察、分析、創(chuàng)造性地運用所學知識和方法解決問題由于這類題型沒有明確的結(jié)論，解題方向不明，自由度大，需要先通過對問題進行觀察、分析、比較、概括后方能得出結(jié)論，再對所 得出的結(jié)論予以證明. 其難度大、要求高，是訓練和考查學生的創(chuàng)新精神，數(shù)學思維能力、分析問題和解決問題能力的好題型.近幾年高考中探索性問題分量加重，在選擇題、填空題、解答題中都已出現(xiàn)女口2003年高考江蘇卷第 16 題（立幾）、第 20 題（解幾）；2003 年高考全國卷第 15 題（立幾）、學習好資料歡迎下載第 22 題（解幾）;2003 年高考上海卷第 12 題（填空題，解幾）、第 21 題（川）

5、（解幾）、 第 22題（理：集合與函數(shù)，文：數(shù)列與組合數(shù)）；2004 年高考江蘇卷第 6 題（統(tǒng)計圖）、第 13 題（表格）；2004 年高考上海卷第 12 題（填空題，數(shù)列）、第 16 題（選擇題，招 聘信息表） 、第 21 題（3）（立幾）、第 22 題（3）（圓錐曲線）；2004 年高考北京卷第 14 題（填空題，數(shù)列）、第 20 題（不等式證明）；2004 年高考福建卷第 15 題（概率）、 第 21 題（n）（導數(shù)與不等式）；2005 年春季高考上海卷第 9 題（數(shù)列）、第 16 題（函數(shù)）、第 21 題（2）（函數(shù)與直線）、第 22 題（3）（橢圓）等。題目設(shè)計背景新穎，綜 合性強

6、，難度較大，是區(qū)分度較高的試題，基本上都是每份試卷的壓軸題。高考常見的探索性問題，就其命題特點考慮， 可分為歸納型、題設(shè)開放型、結(jié)論開放型、題設(shè)和結(jié)論均開放型以及解題方法的開放型幾類問題.其中結(jié)論開放型探索性問題的特點是給出一定的條件而未給出結(jié)論，要求在給定的前提條件下，探索結(jié)論的多樣性，然后通 過推理證明確定結(jié)論；題設(shè)開放型探索性問題的特點是給出結(jié)論，不給出條件或條件殘缺，需在給定結(jié)論的前提下，探索結(jié)論成立的條件，但滿足結(jié)論成立的條件往往不唯一，答案 與已知條件對整個問題而言只要是充分的、相容的、獨立的.就視為正確的；全開放型， 題設(shè)、結(jié)論都不確定或不太明確的開放型探索性問題，與此同時解決問

7、題的方法也具有開 放型的探索性問題，需要我們進行比較全面深入的探索，才能研究出解決問題的辦法來。三、高考復(fù)習建議1. 復(fù)習建議：（1） 在第二輪復(fù)習的過程中要重視對探索性問題的專題訓練，題型要多樣化，題目涉及的知識覆蓋面盡量廣一些，難度由淺入深；（2） 近幾年高考探索性問題重點出在函數(shù)、數(shù)列、不等式、立體幾何和解析幾何，今年高考這些內(nèi)容還是出探索性問題的熱點（特別是解答題），應(yīng)加強對這些內(nèi)容的研究；（3）注意總結(jié)探索性問題的解題策略。2. 解題策略：解探索性問題應(yīng)注意三個基本問題：認真審題，確定目標；深刻理解題意；開闊思路，發(fā)散思維，運用觀察、比較、類比、聯(lián)想、猜想等帶有非邏輯思維成分的合理推

8、理，以便為邏 輯思維定向方向確定后，又需借助邏輯思維，進行嚴格推理論證，這兩種推理的靈活運用，兩種思維成分的交織融合，便是處理這類問題的基本思想方法和解題策略解決探索性問題，對觀察、聯(lián)想、類比、猜測、抽象、概括諸方面有較高要求，高考 題中一般解這類問題有如下方法： （1 1）直接法：直接從給出的結(jié)論入手，尋求成立的充分條件；直接從給出的條件入手，尋求 結(jié)論；假設(shè)結(jié)論存在（或不存在），然后經(jīng)過推理求得符合條件的結(jié)果（或?qū)С雒埽┑壤?1如圖，在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD 中，當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD 滿足條件 _ 時，有 A1C 丄 B1D1（注：填上你認為正確的條件即可，不必考慮所有可能的

9、情況）分析：本題是條件探索型試題，即尋找結(jié)論 A1C 丄 B1D1成立 的充分條件，由 AA1平面 A1C1以及 A1C 丄 B1D（平面 AQ1 的一條斜線 A1CAiD學習好資料歡迎下載與面內(nèi)的一條直線 B1D1互相垂直），容易聯(lián) 想到三垂線定理及其逆定理。因此，欲使 A1C 丄 B1D1，只需學習好資料歡迎下載BiDi與 CAi在平面 AiCi上的射影垂直即可。顯然，CAi在平面 AiCi上的射影為AQI,故當 BiDi丄 AiCi時，有 AidBiDi,又由于直四棱柱的上、下底面互相平行，從而BiDi/ BD , AiCi/ AC。因此，當 BD 丄 AC 時，有 AQ 丄 BiDi。

10、由于本題是要探求使 AQ 丄 BiDi成立的充分條件，故當四邊形ABCD 為菱形或正方形時，依然有 BD 丄 AC,從而有 AiC丄 BiDi，故可以填：AC 丄 BD 或四邊形 ABCD 為菱形，或四邊形 ABCD 為正方形 中的任一個條件即可。點評： ACL BD 是結(jié)論 AiC 丄 BID成立的充要條件， 而所填的 ABCD 是正方形或菱形則是使結(jié) 論 AiCLBiD 成立的充分而不必要的條件.本例中，滿足題意的充分條件不唯一，具有開 放性特點，這類試題重在考查基礎(chǔ)知識的靈活運用以及歸納探索能力。例 2. (2000 年全國高考試題)如圖，E、F 分別為正方體的面 ADDA 和面 BCC

11、Bi的中分析：本題為結(jié)論探索型的試題，要求有一定的空間想象能力。解：由于正方體的 6 個面可分為互為平行的三對，而四邊形BFDiE 的在互為平行的平面上的射影相同，因此可把問題分為三類：a：在上、下兩面上的射影為圖；b :在前、后兩面上的射影為圖；c :在左、右兩面上的射影為圖 .綜上可知，在正方體各面上的射影是圖或圖。點評：這也是一道結(jié)論探索型問題，結(jié)論不唯一，應(yīng)從題設(shè)出發(fā)，通過分類以簡化思維，bx ci例 3已知函數(shù)f(x)=r(a，cR,a0,b 是自然數(shù))是奇函數(shù)，f(x)有最大值一，且ax2十I2(i)求函數(shù) f(x)的解析式；(2)是否存在直線 I 與 y=f(x)的圖象交于 P、

12、Q 兩點,再利用射影的概念，得到正確的結(jié)論。bx cf(i)心，則四邊形的序號都填上)(要求把可能的圖形學習好資料歡迎下載5且使得 P、Q 兩點關(guān)于點(1，0)對稱，若存在，求出直線 I 的方程，若不存在，說明理分析: :本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、最值問題、直線方程及綜合分析問題的能力 解：(1)vf(x)是奇函數(shù)學習好資料歡迎下載bx cbx c-f( x)= f(x),即卩22，-bx+c= bx - c,. c=0ax +1ax +1bx f(x)=2.由 a0, b 是自然數(shù)得當 xw0 時，f(x)w0,ax +1當 x0 時，f(x) 0,. f(x)的最大值在 x0 時取得

13、. 2 - 2解之，得 X0=1 、2, P 點坐標為(1 、2,)或(1 - 2)44進而相應(yīng) Q 點坐標為 Q (1 - . 2,-)或 Q(1 、2,2).44過 P、Q 的直線 I 的方程：x- 4y- 1=0 即為所求.點評：充分利用題設(shè)條件是解題關(guān)鍵.本題是存在型探索題目，注意在假設(shè)存在的條件下推理創(chuàng)新，若由此導出矛盾，則否定假設(shè)，否則，給出肯定的結(jié)論，并加以論證.(2 2)觀察一一猜測一一證明QQ例 4.觀察 sin 20 +cos 50 +sin20 cos50 =,sin 15 +cos 45 +sin15 cos45 =,44寫出一個與以上兩式規(guī)律相同的一個等式3答案：si

14、n2a+cos2(a+30 )+sinacos(a+30 )= x 0 時,1f(x):a . 1xb bx 2a+2 5212b2- 5b+2v0 解得一vbv2,又 bN, b=1,a=1, f(x)=2(2)設(shè)存在直線 l 與 y=f(x)的圖象交于 P、Q 兩點，把代入得xX2+1且 P、Q 關(guān)于點(1, 0)對稱,P(xo,yo)則 Q ( 2 - xo, - yo),.X。2y0X。12 X。2y0(2-x。)21，消y0，得 X。2- 2x0- 1=0=1, a=b2學習好資料歡迎下載4例 5. (2003 高考上海卷)已知數(shù)列an(n 為正整數(shù))是首項是 a1,公比為 q 的等

15、比數(shù)列學習好資料歡迎下載0120123求和：aC2 V2C2玄3。2, aC3 a2C3a3C3- a4C3;(1)的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n 的一個結(jié)論，并加以證明例 6由下列各式:(1)(2)由(3)設(shè)qz1, Sn是等比數(shù)列a.的前 n 項和,求：sc；-g &cn S4C(1)nSn1Cn解：(1)aQ；aQ-a2c2a3C；-a2C3a3C322二a12ag aga1(1 q),-a4Cs=印_3ag 3aq2-ag3y(1-q)3.(2)歸納概括的結(jié)論為:若數(shù)列 an是首項為 a1，公比為 q 的等比數(shù)列，則aCn-a2Cn，a3Cn-a4Cn ， (-1)an 1Cn=a1(1

16、q) ,n 為正整數(shù). 證明：aQ：-a2Ca3C；-a4C；(-1)nan1C：= a1Cl-a1qCna1q2C - a1q3C二 aJCn-qCnq Cn-q Cn3(-1)/9；(-1)nqnC；=a1(1-q)nn(3)因為Sn“gQ1 -q所以SQ：-S2C1 -S3C：a1-ag0Cn1 -q二嚴C：-cnCn -C；1 -qa1q012 2Cn qCn*q Cn 1-q(-1)nSn1cn3a1_a1qc1a1pqc；(一1)1 -q1-q1 -q-S4C32cnn*na1 _a1qnCnaiqq3Cn3iGCn,鴛(1-q)n學習好資料歡迎下載r!1 11 11323 45

17、67211 1122 315III II你能得出怎樣的結(jié)論，并進行證明分析：對所給各式進行比較觀察，注意各不等式左邊的最后一項的分母特點:3=22-1，7=23-1，15=24-1，一般的有 2n-1，對應(yīng)各式右端為一般也有解：歸納得一般結(jié)論111 n _*1-(nN)232n-12證明：當 n=1 時，結(jié)論顯然成立.當 n 2 時，1 1 1 111 11111 n T ()(飛飛飛飛)川2 32n-12442323232(3(3)特殊一一般一特殊：其解法是先根據(jù)若干個特殊值，得到一般的結(jié)論，然后再用特殊值解決問題。例 7.設(shè)二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c (a,b,c R,a 0)滿

18、足條件:x +1當 x R 時，f(x-4)=f(2-x)，且 f(x) x;當 x (0,2)時，f(x) 1)，使得存在 t R，只要 x 1,m，就有 f(x+t) 1，由得 f(1) -21=21-12n專婦)1 a=4故結(jié)論得證.學習好資料歡迎下載24424假設(shè)存在 t R,只要 x 1,m，就有 f(x+t)wx學習好資料歡迎下載111取 x=1 時，有 f(t+1) 1，由得 f(1)w1 f(1)=1，即 a+b+c=1，又 a_b+c=012由 f(x+t)=(x+t+1)wx 在 x 1,m上恒成立4 4f(x+t)-x=x2+2(t-1)x+(t+1)2w0 當 x 1,

19、m時，恒成立2令 x=1 有 t +4tw0 二-4wtw0令 x=m 有 t2+2(m+1)t+(m-1)2w0 當 t -4,0時，恒有解令 t= -4 得，m210m+9w0= 1wmw9121即當 t= -4 時，任取 x 1,9恒有 f(x-4)-x= (x-10 x+9)=(x-1)(x-9)w044mmin=9點評：本題屬于存在性探索問題，處理這道題的方法就是通過x 的特殊值得出 t 的大致范圍，然后根據(jù) t 的范圍，再對 x 取特殊值，從而解決問題。(4) 聯(lián)想類比 例 8.8.在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè) ABC 的兩邊 AB , AC 互相垂直，則AB2+AC2=BC2”

20、拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可 以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐 A BCD 的三個側(cè)面 ABC、ACD、ADB 兩兩相互垂直,則 S.ABC S.AcD SADB- S ,BCD.”例 9 9 若數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足 bn=-(門，N*)，則bn也為等差1 a=1121112c= - f(x)=xx + :(x+1)442441b=2學習好資料歡迎下載n數(shù)列.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，若數(shù)列Cn是等比數(shù)列，且 cn0 ,數(shù)列dn滿足 dn=，則數(shù)學習好資料歡迎下載列dn也為等比數(shù)列. 答案：d dn= =nCOlHCn(n N N*)例

21、10.10.(2003 年上海市春季高考題)設(shè)f(x)二1_，禾 U 用課本中推導等差數(shù)列前n 項和2x+72的公式的方法，可求得f(-5)十(-4)十(-3)f(0MHff的值是分析：利用 f (1-x) +f (x) =_，可求f() f(4) f(_3) | f(0) | f(5) f(6)=3遼2(5) 賦值推斷例 11. (2004 年高考上海卷 16)某地 2004 年第一季度應(yīng)聘和招聘人數(shù)排行榜前5 個行業(yè)的情況列表如下行業(yè)名稱計算機機械營銷物流貿(mào)易應(yīng)聘人數(shù)2158302002501546767457065280行業(yè)名稱計算機營銷機械建筑化工招聘人數(shù)124620102935891

22、157651670436若用同一行業(yè)中應(yīng)聘人數(shù)與招聘人數(shù)比值的大小來衡量該行業(yè)的就業(yè)情況，則根據(jù)表中數(shù)據(jù),就業(yè)形勢一定是(B B )A 計算機行業(yè)好于化工行業(yè)B 建筑行業(yè)好于物流行業(yè)C.機械行業(yè)最緊張 D 營銷行業(yè)比貿(mào)易行業(yè)緊張例 12. (2004 年高考江蘇卷)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(x R R)的部分對應(yīng)值如下表：x-3-2-101234y60-4-6-6-406則不等式 ax2+bx+c0 的解集是(：，-2) (3,二).(6) 幾何意義法幾何意義法就是利用探索性問題的題設(shè)所給的數(shù)或式的幾何意義去探索結(jié)論，由于數(shù)學語言的抽象性，有些探索性問題的題設(shè)表述不易理解，在解題時若能積極

23、地考慮題設(shè)中 數(shù)或式的幾何意義所體現(xiàn)的內(nèi)在聯(lián)系，巧妙地轉(zhuǎn)換思維角度，將有利于問題的解決。例 13.13.設(shè) x、y 為實數(shù)，集合 A = (x,y)|y2 x仁 0,B=(x,y)|16x2+8x 2y+5=0,C=(x,y)|y = kx+b，問是否存在自然數(shù) k,b 使(AUB)nC=?分析：此題等價于是否存在自然數(shù)k , b,使得直線y= kx+b 與拋物線 y2x 仁 0 和216x +8x 2y+5=0 都沒有交點。5解：因為拋物線 y2 x 仁 0 和 16x2+8x 2y+5=0 在 y 軸上的截距分別為1、 ，所以取學習好資料歡迎下載2y = kx2此時方程組25無實數(shù)解故存在

24、 k=1 , b=2 滿足（AUB）nC .y =8x4xI2點評：與集合運算有關(guān)的一類探索性問題，它的題設(shè)往往都具有鮮明的幾何意義。四、高考命題展望隨著以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力為重點的素質(zhì)教育的深入發(fā)展和新課程改革 的不斷深入，高考命題將更加關(guān)注“探索性問題” 從最近幾年來高考中探索性問題逐年 攀升的趨勢，可預(yù)測探索性問題仍將是高考命題“孜孜以求的目標” 我們認為進行探索 性問題的訓練，是數(shù)學教育走出困境的一個好辦法由于數(shù)學開放探索題有利于學生創(chuàng)新 意識的培養(yǎng)和良好思維品質(zhì)的形成，它越來越受到教育界人士的關(guān)注和深入研究，在高考 中起著愈來愈重要的作用我們預(yù)測：1.從 2000 年200

25、4 年的高考中，探索性問題逐年攀升的趨勢，可預(yù)測今后將會加大開放 探索性考題的力度.2.在 2003 年和 2004 年連續(xù)兩年高考題中（特別是上海市高考題），出現(xiàn)以解析幾何、 立體幾何和函數(shù)為背景的結(jié)論開放型探索性的解答題，說明這類題型仍將是高考解答題的重點.3. 設(shè)計開放探索題，能考查學生的創(chuàng)新意識，特別應(yīng)鼓勵學生創(chuàng)新性的解答，這就反映 學生的創(chuàng)新意識，應(yīng)該很好鼓勵.4. 將在方法型開放探索題中有所突破，用非常規(guī)的解題方法，或者指定兩種以上方法解 同一個問題，或者在題設(shè)或結(jié)論開放型的問題中解決方法也具有一定的開放性問題，都可 能在高考中出現(xiàn).2005-3-24y二kx2b=2,由y2=x1無實數(shù)解，得13 :k:13，從而 k=1,2 2